VJ
Les points d'intersection de toutes ces cordes, formaient presque une figure circulaire ; il traça une circonférence qui les touchait toutes.
La corde de 8-»"3s est la même que celle de 3^27* = 117% elle est égale à 2sin 58' 3a1; le rayon du cercle tangent à toutes ces cordes scr*
cos 58'3o' = sin 5i° 3o' = o,5225 »
le rayon étant pris pour unité.
Le rayon du cercle inscrit au triangle équHatéral serait
cos { (1200) = cos 6o° = sin 3os = o,5.
Le rayon o,5a25 est au rayon du cercle à peu près dans le rapport de là distance de Jupiter à celle de Saturne. Le triangle est la première et la plus simple des figures régulières qu'on peut inscrire au cercle; il imagina que le triangle icacrit pouvait avoir déterminé le rapport des distances de Jupiler
KÉPLER. S17 cl de Saturne. Suivant celle idée, il essaya de rapporter an carré la distance de Mars; au pentagone, à l'hexagone et àl'eplagone, les distances des autres planètes; mais il n'alla pas bien loin sans reconnaître qu'il s'abusaiL
Cette tentative n'ayant poiut eu de succès, le conduisit à une idée qu'il jugea beaucoup plus heureuse; les figures lui plaisaient comme des quantités qui sont plus anciennes que les deux. Car la quantité a été créée le premier jour avec les corps, au lieu que les deux n'ont été formés que le second jour. Pour les six cieux de Copernic, il ne faudra que cinq figures; il s'agissait donc de trouver cinq quantités qui eussent des propriétés toutes particulières; mais ces figures ne doivent pas être planes, car quel rapport pourraienl-elîes avoir avec des orbes solides? H fut ainsi conduit aux cinq corps réguliers inscriptibles à la spbère : on sait qù'il est impossible d'en imaginer un plus grand nombre/
Prenez l'orbe de la Terre pour première mesure, circonscrivez-^ le? dodécaèdre, autour du dodécaèdre décrivez ua cercle, ce sera l'orbite de Mars; à cette orbite circonscrivez le tétraèdre, le cercle qui l'en* fermera sera l'orbite de Jupiter; à cette dernière orbite circonscrivez le cube, et le cercle que vous décrirez autour sera l'orbite de Saturne.
A présent , dans l'orbe de la Terre inscrive» l'kosaèdre , il comprendra l'orbite de Vénus; à cette orbite inscrivez l'octaèdre, qui renfermera l'orbe de Mercure ; vous aurez la raison du nombre des planètes.
Mais pourquoi commencer par la Terre? c'était la considérer encore comme une plapète distinguée de toutes les autres : rien n'empêchait do commencer par Mercure ou par Saturne.
A l'orbe de Mercure circonscrivez l'octaèdre, que vous enfermerez dans l'orbe de Vénus. -c. <
Autour de l'orbe de Véuus décrivez l'kosaèdre, que vous enfermer?* dans l'orbe de la Terre.
Autour de l'orbe de la Terre décrivez un dodécaèdre, qu'enfermera l'orbe de Mars. ->-: >: '
Autour de l'orbe de Mars décrivez un tétraèdre, qu'enfermera l'orbe de Jupiter.
Autour de l'orbe de Jupiter décrivez l'hexaèdre, il 6era enfermé par Forbe de Saturne. •
Dan6 ce nouvel arrangement, il n'avait plus besoin des deux ou troisplanètes qu'il avait rêvées; il confesse lui-mime, que dans son âme il avait toujours regardé celte supposition comme téméraire ; elle appro-
3i8 ASTRONOMIE MODERNE,
chah cependant bien plus de la vérité que sa nouvelle hypothèse. Au lieu de deux planètes, il y en a au moins cinq, car rieu ne nous autorise maintenant à affirmer que nous connaissons toutes celles qui existent ; mais cette richesse même l'aurait affligé, parce qu'elle eût dissipé un songe qui le ravissait.
Il ne trouve pas de mots pour exprimer le plaisir que lui cause celle prétendue découverte; il ne regrettait plus le tems perdu; il entreprenait avec ardeur tous les calculs nécessaires ; il y passait les jours et les nuits. Il £iit vœu, si son idée se trouvait* conforme au système de Copernic, de faire imprimer sans délai l'ouvrage où il exposerait cette nouvelle preuve de la sagesse du Créateur; U invite ses lecteurs à examiner ses preuves. Vous ne trouverez plus ici de* planètes inconnues, interposées parmi les autres , je n'étais pas trop content de cette audace; au lieu que sans rien faire quun peu de violence aux corps connus, je les enchaîna les uns aux autres. Vous aurez donc de quoi répondre à ce paysan, qui demandait quels liens (quels crocs) retenaient le monde et l'empêchaient de tomber.
IL expose dans son premier chapitre les raisons qui l'ont déterminé à suivre. Copernic. L'ancien système pouvait sauver quelques apparences, mais non pas toutes; il ne rend raison ni* des distances, ni du nombre, ni du tems, ni de la cause des rétrogradations, ni de celle qui fait que ces anonptlies s'accordent si bien avec le lieu moyen du- Soleil:
Le mouvement annuel de la Terre supprime tout d'an coup onze cercles dîfférens imaginés par les anciens. On pourrait .demander à Ptolémée pourquoi les excentriques du Soleil, de Vénus et de Mercure ont des révolutions égales? le mouvement de la Terre répond à- cette question. Pourquoi les planètes deviennent rétrogrades et non les luminaires? Copernic répondra que le Soleil est en repos, et que la Lune suit la Terre dans son mouvement annuel. Pourquoi Mars, Saturne et Jupiter sont" ils quelquefois rétrogrades? parce qu'ils vont plus lentement que la Terre; et parce que nous leur transportons le cercle où se meut la Terre; la Terre est pour elles une planète inférieure ; elle doit pour eux, comme Vénus et Mercure pour nous, rétrograder dans la partie inférieure de son orbite.
On demanderait inutilement à Ptolémée, pourquoi des orbes si grands ont des épicycles si petits, et pourquoi des orbes moindres en ont d'énormes; c'est-à-dire pourquoi les prostapbérèses de Mars sont plus grandes que celles de Jupiter, et celles-ci plus grandes que celles de
RÉPLËR. 3iy Saturne ? pourquoi celles de Mercure ne sont pas plus grandes que celles de Vénus, puisqu'elles augmentent à mesure que les orbes diminuent. Ici la réponse est facile; les anciens prenaient pour des épicycle* les orbes réels de Vénus et de Mercure.
Au contraire, plus une planète est éloignée de la Terre, plus l'orbe de la Terre doit lui paraître petit. (On voit que les proslaphérèses sont les parallaxes annuelles et les élongations.)
Les anciens voyaient avec étonnetnent que les planètes supérieures , en opposition, fussent toujours au périgée de leur épicycle,ct qu'elles fussent à l'apogée dans leurs conjonctions : c'est un effet nécessaire dans le système de Copernic. Mars n'est pas dans un épicycle , c'est la Terre qui occasionne cette apparence, par sa position relative dans son orbite.
Voyez avec quelle facilité Copernic explique la précession, et rend inutile cette neuvième sphère des Tables Alphonsines.
11 loue ensuite Copernic d'avoir expliqué si simplement la trépidation, et le changement d'obliquité, qui aurait exigé bien des calculs de la part de Ptoléraée ; mais cet avantage est chimérique , puisque Copernic expliquait ce qui en partie n'existe pas.
Donnons quelques développemens à ces idées de Kepler.
La Terre tourne en un an autour du Soleil ; ce mouvement combiné avec les mouvemens des autres planètes, qui ont des révolutions pareilles, mais plus ou moins longues, produit des apparences assea compliquées.
Pour expliquer ces apparences, en prenant pour axiome fondamental <iue la Terre est immobile, il a fallu transporter à chaque planète en particulier le mouvement de la Terre; c'est ce qu'on a fait sans même s en douter et par la force des choses.
On a donc donné des épicycles aux planètes et on les a fait tourner dans des cercles, autour du point qu'elles occupent réellement. Le rayon de cet épicycle était celui de l'orbe terrestre transporté dans la région de la planète.
Le rayon de l'orbe terrestre, pris pour unité, étant transporté à Saturne, est vu de la Terre sous un angle dont le sinus est environ ; c'est l'angle qu'on nomme aujourd'hui la parallaxe annuelle.
Transporté à Jupiter, il devait sons-tendre un angle dont le sinus est de } à peu près. Transporté à Marsyil devait «ou»- tendre un angle dont le sinus est 7-73 = \.
3ao ASTRONOMIE MODERNE.
Ces trois épicycles sont d'autant plus petits, que la distance est plus grande, et réciproquement.
Pour les planètes inférieures, qui tournent autour du Soleil dans des orbes enfermés dans l'orbe de la Terre, c'est au Soleil, centre de leurs mouvemens, qu'on a transporté le mouvement de la Terre. Leur rayon vecteur divisé par la distance du Soleil à la Terre a été de 0,7a et 0,39 ; il a donné la mesure de leurs élongations.
Les rayons des épicycles ont donc paru 0,1 , o,a, 0,67, 0,73 et o,3g.
On ne jugeait de la grandeur de l'épicycle que par la grandeur de l'angle qu'on nommait leur seconde inégalité.
Un angle ne suffit pas pour juger des distances; on pouvait donner aux côtés une longueur arbitraire ; plus l'épicycle aurait été éloigné, plus son rayon aurait été grand; pourvu que l'angle donné par l'observation fût conservé, le reste était arbitraire.
Les fractions y*» £» tH> ttïï» ^77» ne sont pas facilement comparables, parce qu'elles ont le même numérateur, au lien d'avoir le même dénominateur; le rayon de la Terre, transporté à des distances différentes et soos-tendanl des angles divers, devenait méconnaissable ; on avait calculé à l'aveugle, sans savoir au juste ce que l'on faisait, et sans se douter ni pouvoir reconnaître qu'on donnait à la planète un mouvement qui appartenait à la Terre : on 'n'avait aucune idée du système véritable.
En voyant que Vénus et Mercure avaient le centre du Soleil pour centre de leur épicycle , si l'on avait conçu qu'il en pouvait être de même de Mars, Jupiter et Saturne, on aurait conçu que la seconde inégalité était un même mouvement vu de plus près ou de plus loin; mais celte remarque, toute simple depuis le leras de Copernic, était bien plu» difficile au tems d'Hipparque. Aujourd'hui il ne faut pas' un grand effort pour concevoir l'ensemble du système ; mais on a cru ses yeux , on s'est figuré qu'on était au centre du monde; on a expliqué en gros les phénomènes qu'on observait grossièrement; mais l'explication avait bien des côtés faibles; Copernic en fui mécontent, il en trouva une autre et l'appuya de preuves suffisantes.
Tout est lié dans son système ; la Terre étant rangée au nombre des planètes , les rayons de tous les orbes étant exprimés en parties de U même unité, le rayon des orbes inférieurs divisé par la dislance du Soleil à la Terre, donnait la mesure des digressions; pour les supérieures, il donnait leur parallaxe annuelle; et en général, le plus petit des deux rayoos, divisé par le plus grand, donnait la mesure de la seconde io égalité.
KÉPLER. 3at Ces angles on leurs sinus, qui ne sont que des rapports, donnaient les distances de toutes les planètes en parties de la distance de la Terre au Soleil; tout était donc déterminé, rien n'était plus arbitraire; tout se conclut de la distance de la Terre au Soleil , au Heu que Ptolémée prenant poor unité la distance de la planète au Soleil, l'angle observé lui donnait le rajon de l'épicycle en parties de cette nouVelle distance; ainsi, à chaque calcul, les deux termes do rapport changeaient, et il était difficile que Ptolémée y entrevit une quantité constante.
Chaque planète formait ainsi une sphère indépendante de toutes les autres, et dont le rayon était même indéterminé ; le mouvement annuel de la Terre s'y montrait cependant partout , il était le mouvement du Soleil et celui du centre de l'épicycle ponr les planètes inférieures; et pour toutes les planètes, le mouvement sur l'épicycle était le mouvement relatif de la planète et du Soleil ; on se déguisait les mouvemens véritables, On les avait déplacés sans pouvoir les anéantir, on les avait rendus, en quelque sorte méconnaissables; mais l'erreur ne pouvait durer toujours, elle a été découverte par Copernic. Ptolémée avait trouvé une explication compliquée et incomplète; Copernic en a trouvé une qui ne laisse rien a désirer ni du côté de la simplicité, ni du coté de l'exactitude.
A toutes ces raisons, Kepler en aurait pu ajouter bien d'autres tirées de ses propres découvertes, qui font du centre du Soleil le foyer commun de tous les mouvemens planétaires, et donnent à ce système une simplicité, une précision , une beauté, qu'il n'avait pas été au pouvoir de Copernic de lui donner alors. Le mouvement que Copernic suppose à l'axe pour conserver îe parallélisme, n'est pas un mouvement, c'est un repos; mais ce repos n'est pas parfait, et ce qui s'en manque produit la précession.
Voilà quelques-unes des preuves mathématiques de la prééminence du système de Copernic. Kepler veut maintenant en donner de métaphysiques; elles ne seront ni aussi claires, ni aussi satisfaisantes.
if Le nombre des corps réguliers est borné , les autres sont en nombre infini; il était donc convenable qu'il y eût deux genres d'étoiles tout-àfait différentes, les unes en nombre indéfini, c'est à-dire les étoiles fixes ; les autres en très petit nombre et qui se meuvent; ce sont les planètes. Sans chercher pourquoi les unes se meuvent et les autres non, posons que les planètes doivent se mouvoir. Le mouvement produit la rondeur ; nous avons des corps par le nombre et la grandeitr; il nous reste à dire Bist. de VÂslr. mod. Tom. I. 4»
Sas ASTRONOMIE MODERNE,
avec Platon, que Dieu fait toujours de la Géométrie; et qu'en Fabricant tous ces corps, il les a inscrits les ans dans les autres, jusqu'à ce que le nombre^ des inscriptions possibles fût epaise ; nous ne pouvions donc avoir que 6 orbes. Y e-t-il rien de nias admirable que de penser que tout ce que-Gopernic a trouvé par les phénomènes, et comme un aveugle qui se sert de son baion'pour reconna tore son chemin , ainsi qu'il le disait lui-même à son disciple et confident Rbéticos, se trouve anémie démontré àpriorij et par des raisons tirées de l'idéeuiéme de ta création? »
C'est d'après les lois de Képler, démontrées par Newton, qu'on peut 'dire aujourd'hui ce qae Képler hasardait si témérairement ; et l'on peut ^être surpris et affligé que ce soit par des raisoanemens de cette espèce que Képler ait été conduit à ses lois admirables.
•« La distance de Mars au Soleil n'est pas le tiers de celle de Jupiter. Cherchons le corps qui donne la plus grande différence entre l'inscrit et le circonscrit; ce sera le tétraèdre ou la pyramide : h pyramide sera «donc entre Mars et Jupiter. »
Voilà donc l'exclusion donnée à cette planète inconnue et aux quatre antres nouvellement découvertes; aussi quand on s'est mis en devoir de chercher la planète inconnue, ce n'était pas d'après les idées de 'Képler, c'était d'après une loi presque aussi chimérique, mais au moins tien plus spécieuse. {Voyez mon Astronomie, tom. II, p. 55o).
« La distance de Jupiter est un peu plus que moitié de celle de Saturne; celte différence convient au cube : un cube sera donc circonscrit à Jupiter et inscrit à Saturne.
» La proportion est presque égale entre Mercure et'Vénus; l'octaèdre, qui nous offre ce rapport, sera inscrit à Vénus et circonscrit a Mercure.
» Entre Vénus et la Terre, entre la Terre et Mars les rapports sont presque égaux, comme dans l'icosaèdre et le tétraèdre; et par celte raison, Mars enfermera la Terre au moyen de l'un de ces corps; et par l'autre, la Terre enfermera Vénus.
» Les corps réguliers sont les uns primaires et les autres secondaires.
m Les primaires sont le cube, le tétraèdre et le dodécaèdre; les secon* daires sont l'octaèdre et l'icosaèdre. » Képler donne les raisons de cette division.
11 cherche ensuite pourquoi trois planètes sont supérieures à la Terre, «ju'il appelle la somme et V abrégé du ihonde et le plus noble des corps mobiles. 11 se déGe un peu de la réponse qu'il va faire à celte question
KEPLER. 5a5 oiseuse; car U commence par demander la permission de jouer quelque leins dans un sujet sérieux et de se livrer à l'allégorie.
« Le cube, comme le premier des cinq corps, devait être. entre les planètes les plus éloignées, à. la place la plus noble. Le cube est le seul qui soit engendré par sa base, tous ses angles sont droits, m
U prouve par des raisons de même force à peu près, que la pyramide doit être entre Jupiter et Mars; la régularité de la, pyramide dépend de ses seuls.cotés, comme celle du cube dépend de ses angles.
a Entre Mars et la Terre, nous ne pouvons mettre que le dodécaèdre, la seule qui nous reste des figures primaires; or, cette raison fixe son choix, qui d'abord paraissait un peu incertain. En suivant cette marche, il met l'octaèdre entre la Terre et Vénus ; car nous avons plus d'une raison qui placent l'octaèdre avant Ticosaèdre. On peut concevoir l'octaèdre connue dérivé du cube et de la pyramide, qui sont les premiers dans leur ordre; l'icossèdre vient de la pyramide et du dodécaèdre. »
On croirait en conséquence qu'il va placer l'octaèdre entre la Terro et Vénus; mais il a des raisons qui lui paraissent plus fortes encore, pour le placer entre Vénus et Mercure. Il trouve plus beau que la Terre soit touchée. par les deux corps qui ou* le plus- de facettes, et que les deux corps qui sont les premiers) chacun dans leur espèce, forment les sommets de deux espèces de pyramides, dont les bases soient sur la Terre et les sommets dans des* positions-opposées. Nous n'avons pas la moindre envie de le chicaimer là dessus,
Le chapitre IX est plus étrange encore que tout ce qui précède. Nous n'oserions dire ce que noue avons éprouvé en le lisant; mais nous trouvons à la fin cette note de l'auteur : Ce chapitre n'est rien qu'un jeu astrologique, et ne doit pas être censé faire partie de rouvrage. Cependant, l'auteur demande que l'on compare ses idées à celles du letrabible de Ptolémée, et se persuade qu'on lui accordera la palme.
Le chapitre X expose des idées pythagoriciennes sur les nombres nobles.
Dans le chapitre XI, on ne voit nul esprit de recherche, mais bien le soin d'entasser de mauvaises raisons, pour appuyer un système dont on sent que les bases sont peu 6o!ides. J'aurais pu omettre ce cliapitre, il n'est d'aucune utilité; mais je ne suis pas le premier qui me sois fatigué sur ces inutiles questions : pourquoi le zodiaque a-t-il cette position plutôt que toute autre ? pourquoi les planètes vont-elles en ce sens plutôt qu'en sens contraire?
3a4 ASTRONOMIE MODÉHNE.
11 montre ensuite que la division naturelle du zodiaque est en 120 par te carré , le triangle et le décagone ; ensuite , trois fois 1 20 font 56o. 11 arrive à ce même nombre 120, par les intervalles musicaux |, -j f, qu'il regarde comme les seuls naturels, parce qu'ils sont exprimés par des rapports indubitables. On n'a proprement en Musique que cinq concordes, comme cinq corps en Géométrie.
Il compare entre eux ces corps et ces consonnances ; il assimile la quinte à la pyramide, la quarte au cube, l'octave à l'octaèdre, la sixte mineure au dodécaèdre, il restera la sixte majeure pour l'icosaèdre; mais il convient qu'on peut établir tout autrement les comparaisons.
Digression sur les poljèdres réguliers inscriplibles à la sphère.
Ces polyèdres, qui ont (ait perdre à Kepler tant de tems et de calculs,' avaient attiré l'attention des anciens . géomètres. Us sont décrits par Euclide, qui en a déterminé le nombre, et nous a donné des moyens graphiques pour en trouver les arêtes et le» côtés; mais il n'en donne ni les surfaces ni les solidités.
Hypsicle d'Alexandrie, dont nous avons extrait X Anaphorique {tome I, page 246), nous apprend qu'Apollonius avait écrit sur la comparaison de l'icosaèdre et du dodécaèdre , et même qu'il s'y était trompé; mais il avait reconnu et rectifié son erreûr dans un ouvrage subséquent. Hypsicle ne nous donne pas l'extrait de ce dernier ouvrage , qui était alors entre les mains de tous les géomètres. Ce qu'il ajoute de lui-même à cette théorie, n'est pas d'une extrême importance, et se borne à la surface du dodécaèdre , à Celle de l'icosaèdre , et à des rapports entre les solidités des deux corps; mais d'après 6on maître Isidore, il y ajoute une méthode graphique pour déterminer les inclinaisons réciproques des faces de ces polyèdres. Au total, ce que nous avons de l'ancienne - théorie de ces corps est entièrement incomplet; les démonstrations sont d'une prolixité fatigante; les figures, d'une complication qui les rend à peu près inintelligibles. Clavius, dans son Commentaire sur Euclide et Hypsicle, n'est guère plus lumineux, et laisse encore beaucoup à désirer, quoiqu'il ait mis à contribution tous les commentateurs précédais, et notamment Foix de Candalle qui avait ajouté deux livres nouveaux à ceux d'Hypsicle.
Par la Trigonométrie sphérique, un triangle rectangle nous donnera la solution complète du problème, qui consiste à déterminer tous les angles et tous les côtés de ces corps; leurs surfaces et leurs solidités s'en
KÉPLER. 3a5 déduiront avec la plus grande facilité. Quoique ces solutions ne soient pas d'un usage bien général, nous sommes étonnés de ne les trouver dans aucun livre de Trigonométrie; c'est ce qui nous a déterminé à les placer ici.
Outre les expressions trigonométriques fournies par le triangle rectangle, et qui sont de beaucoup les plus commodes pour la pratique,' nous en donnerons d'autres, qui seront purement géométriques, c'està-dire affectées de radicaux, à la manière d'Euclide, et nous en verrous naître les constructions des anciens, et d'autres bien plus complètes et gplus faciles.
(i) Tou6 les côtés d'un solide régulier inscrit à la sphère, sont autant de cordes d'arcs de grand cercle ; toutes ce6 cordes sont égales , d'où résulte aussi l'égalité des arcs.
(a) Le problème de l'inscription des corps réguliers se réduit donc à diviser la surface d'une sphère en un nombre donné d'espaces égaux, terminés par des arcs égaux.
(3) Soit m le nombre de ces espaces , c'est-à-dire le nombre des
facettes du solide;
a le nombre des angles et des côtés de chaque facette;
n le nombre des angles sphériques qui ont leur sommet au même point de la surface de la sphère, ou le nombre des angles plans qui composent l'angle solide du polyèdre.
(4) On sait que a et m ne peuvent être des nombres moindres que 3; car il faut au moins trois côtés pour clore un espace et trois angles plans pour former un angle solide.
(5) La somme des angles sphériques formés autour d'un même point est toujours de 36o°. Soit G = 2 A chacun des angles sphériques
m tn
(6) Chacune des facettes du polyèdre est plane ; à ce plan on peut toujours circonscrire un petit cercle. Soit P le pôle de ce petit cercle, ou le pôle de ABCDE (fig. 54).
Chacun des angles en P aura pour valeur
\ a ) "~~ nombre dw côïéâ de la facette'
Dans la figure, a = 5 et = 72°, parce que la figure est nn pentagone; nous verrons que a ne peut surpasser cinq; d'où il résultera que toutes les facettes sont ou des triangles , ou des carrés, ou des pentagones.
3a6" ASTRONOMIE MODERNE.
(7) Soient A/tiB, BnC, CyD, etc., les arcs de grand cercle dont Ici côtés sont les cordes; AmBaCyDrfkAi sera l'espace spbérique qui est une aliquote de la surface entière.
(8) Du pôle P menons des arcs de grand cercle FA, PB, PC , etc. , à tous les angles de l'espace; l'arc PA partagera en deux angles égaux
chaque angle tel que BAE; ainsi, BAP = f BAE = f G = A = (~)
(voy. art. 5). -
(9) Les arcs perpendiculaires Pm, P«, Py, etc., partageront en deux également ebacnn des arcs AmB, BnC, etc.; ainsi, Am — îAB,v Bn = ± BC, etc.
(10) Ces mêmes perpendiculaires partageront en deux également les angles au pôle; ainsi,
APm = i APB r= (^f) = roPB, BP/i, elc.
(11) Chacun des triangles isoscèles APB, BPC, etc., sera doue partagé en deux triangles sphériques rectangles tels que mPA; nous aurons autour de chaque pôle aa de ces triangles rectangles, tous parfaitement
(ia) Dans chacun de ces triangles, "nous connaissons A = (~^)*
m et a seront déterminés par le nombre de faces que nous voudrons réunir autour d'un même sommet, et par le nombre des côtés que nous voudrons donner à chaque facette.
Connaissant les trois angles de chaque triangle, nous pourrons calculer les trois côtés.
. -s . co» APm \ a / . . „
(i5j cos km = j-3 s= — m -5- = cos. ^ AB.
SD \ m )
(i4) Corde ANB = asin Am =3 arête du polyèdre =» côté delà facette
= asin ^ AB.
Toutes ces arêtes seront égales, leur nombre sera f ont, car chaque arête sera commune à deux facettes contiguè's,
(x5) cos AP s col PA/n cot APm = col Ç-^f) cot (~)
sss cos . distance polaire =3 cos J.
KÉPLER. 5a7
»ia d= rin AP sera le rayon dui petit cercle ABC.
asin i rf= asin i AP fiera la distance rcctiligne de l'extrémité A de chaque arête à son pôle P.
co#AP = cos<i= A = hauteur du centre de la spbèrcsur le plan de chaque facette.
h sera la hauteur de chacune des pyramides partielles dont la réunion formera la solidité du-polyèdre.
(16) Enfin,
-(£Hg>(g) -c-a
co* AP
cos /«P = —
coa Am
cos
Cet arc mP sera le complément de la demi-inclinaison des deux faceltes qui auront une arête commune. Pour le prouver, prenez les arcs AQ = BQ =s AP = PB; Q sera le pôle de la facette contiguë; PmQ mesurera l'angle au centre de la sphère, entre les droites menées aux pôles P et Q; ces droites seront perpendiculaires aux deux facettes; leur angle sera le supplément de l'angle des deux facettes :
arc PmQ = aP/n = 180e— I, Pm = 90" — i I, 90 — Pm .== i I.
Nous aurons donc ,par notre triangle sphérique rectangle les inclinaisons, les angles et les côtés du polyèdre. 11 reste à calculer les surfaces et les solidités.
Dans le petit cercle circonscrit à chaque facette, imaginons les cordes AB, BG, etc., de chacun de ces arcs. La- surface de chaque facette sera divisée en a triangles isoscèles rectilignes, ou en ia triangles rectangles.
La surface NPA = f AN.NP = ± AN. AN.UugNAPssf AN colNPA
«i sm-Am cot(i^);
la surf, entière de la facette sera = î«ï sin' Am cot£~)
= a sin' Am col (~~)> mais nous aurons n facettes égales; la surface totale sera
(18) La solidité sera = \ han sin' Am col
= i an cos AP sin' Am cot '($f) = i an sin' Am col' col (~).
Le problème est donc entièrement résolu. Les formules ne dépendent que des trois indéterminées n , a , m , dont il nous reste à trouver les valeurs possibles.
(19) Nos espaces sphériques doivent couvrir en entier la aurJtce de lâ sphère*
Or, C étant la circonférence , D le diamètre et le rayon — 1 , on aura surface de la sphère = C .D = 36V. a =s 7ao%
chacun des n espaces E = = aaT;
car chaque espace E est partagé en 2a de triangles rectangles T.
720° 36oe
Donc n = ^Jt ~ TT'
mais la surface de chaque triangle T = (A + A' + A"- i &V) ,
A, A' et A" étant les trois angles.
Et l'un de ces angles est droit; donc
T = (A-t-A'-f-go'— 16V) = (A-f- A' — 90*);
donc
oCA+ , 90,- ^ + ^ ^ - <e+ ; t)
4jn
/ , am S ™ " Sa -f- a/71 — am'
v ' aa — m (a — a)
L'équation n = aa ^q flj n'exprime qu'une relation entre nos
trois indéterminées. Formons pour m et a les suppositions les plus simples , en commençant par les plus petites valeurs possibles a = 5 et m = 5.
Alors " = a,5-3(5-a- = 6^5 = T==^
ainsi, la plus petite valeur de n est de 4; nous aurons le tétraèdre formé de quatre triangles assemblés trots à trois.
(21) Pour le tétraèdre j n = 4» a = 3, m ^ Z.
Conservons d = 3 et soit m 5= 4;
* = a.8 J^5-aj = 6~=h = T = 8> nous aur0nS l'"****
KJÉPLER. 539 (aa) Pour Yoctaèdre, » = 8, « = 3, /n = 4; huit triangles assemblés 4 & 4*
Conservons a = 3, et soit m == 5;
B = «.S-Sp^a) = g^T5 = T = 30' nous aurons
(a3) Pour Yicosaèdre, n=20,/> = 3,m = 5jao triangles unis 5 à 5. Conservons a = 3, et soit m = 6;
Le polyèdre aurait une infinité de faces, chaque face se réduirait à un point; si Ton fait m = 7 ou plus grand, le dénominateur serait négatif ainsi que « ; ce qui serait absurde.
Il n'y a donc que trois polyèdres à bases triangulaires ; le tétraèdre, Y octaèdre et Yicosaèdre. Passons aux faces quadrangulaires; et soit/? = 4, m = 5;
n = fl 4^3(4— fl) ^ 8 — 6 = ^ = 6; nous aurons V hexaèdre.
(24) Pour Y hexaèdre, n = 6, p = 4 cl 01 = 5;
soitm=4=*, * = fl4 4(4__a)==8-=8=-= 00;
il n'y a donc que Yhexaèdre qui ait des facettes carrés, assemblées 3 à 3. Soit p =: 5, m = 3;
n = aTT^I^l) = T^=U = T= 12 '* uous auron8 Ie dode'ca^'
(a5) Pour le dodécaèdre, n=. 12, p = 5, m — 3; 1 a pentagones 3 à 3.
On peut voir qu'il serait bien inutile de pousser les suppositions plus loin; elles ne donneraient que des valeurs négatives et par conséquent impossibles.
(a6) H n'y a donc que cinq corps réguliers inscriptibles à la sphère :
Le tétraèdre, Yhexaèdre, Y octaèdre, le dodécaèdre et Yicosaèdre.
Nous connaissons a et m pour chacun de ces solides, nous avons tout ce qui est nécessaire pour l'évaluation de nos formules trigonomélriques.
Mais si nous considérons que tous les angles de nos polygones sont de 60% de 90* et de 72% dont les lignes trigonomélriques peuvent s ex- Jlist. de VAstr. mod, J'om. 1. 4 a
primer par des radicaux, nous pourrons mettre ces radicaux dans dos
formules et arriver à des expressions du genre de celles d'Euclide et
d'JIypsicle. Nos formules seront en plus grand nombre, et seront toutes
susceptibles d'être tracées graphiquement, c'est-à-dire avec la règle et le
compas.
Nous n'avons pas d'expression pour l'angle solide ; sa mesure naturelle serait la surface spbérique du triangle dont cet angle serait le sommet, au centre de la sphère.
(27) Ainsi, l'angle solide dont la base serait le triangle ABC, aurait pour mesure
(A+B + C- 16V) = excès sphérique.
Cette expression est plus curieuse que vraiment utile , et voilà sans doute pourquoi personne n'en a parlé.
(28) Avant d'appliquer nos formules trigonométriques aux divers polyèdres, il est important de remarquer que toutes ces formules sont pour des angles aigus; c'est le cas le plus ordinaire, il n'a même qu'une seule exception , et elle a lieu pour le tétraèdre.
Pour le tétraèdre, la distance de chaque facette à son pôle, surpasse go°.
La formule donnerait la distance au pôle le plùs voisin; elle serait plus petite que 90°; mais la formule sin j AB dopnerait AB > go*; or, dans ce polyèdre, AB est aussi la distance polaire d'une autre face, et toutes ces dislances sont égales : ainsi la dislance polai re > go* ; mais il est inutile de la calculer, puisqu'on la connaît par AB. Au reste , le remède serai! facile; ce serait pour ce cas unique de donner le signe — à cos AP; ou bien tout simplement, de prendre le supplément de AP donné par la formule.
Pour l'inclinaison , il est aisé de prouver qu'elle est moindre que go' ; il n'y a rien à changer à la formule.
Au lieu des lignes trigonométriques , mettons dans nos formules le» irrationnelles qui en sont les expressions trigonométriques. Pour être réduites à leurs plus simples expressions, ces substitutions exigeront des réductions, dont nous allons présenter le calcul.
Tétraèdre. n = 4, «s3 = m;
Coe Ca^ cos Go . f. .
cos Km = — ^s = = cot 60 = Une 30 = ✓*»
KÉPLER. 35* d'où sin Am = •/•, tang Am = i/â ;
asin Am = corde AB = arête = 2f/j = f/J;
c'est la règle dTSuclide.
sin AB = 2sin Am cos Am ='2 f/( \S\ ss 2 v/f = f/1 , cos AB =s f/J , Ung AB = t/8, séc AB = 5 ;
le triangle donnerait
cos AP = cot^^—^cot^^^p) sss cot 60 cot6o= tang»3o'= y,
asin* ï AP = 1 — cos AP = t — j = 3, sin* \ AP = 3, et sin i AP = 2sin \ AP= 2»/$ = •/*, corde AP = f/|;
mais nous savons qu'elle est f/f comme corde AP; il fallait dope faire
Ar obtus, cos AP = — 3, t — cos AP = ï+j = }= asin'^AP, sin»iAP = |, «ni AP^v/l, et asin \ AP = a^f = V\, sin AP = (1 — cos1 AP)* = (1 — = y/\ = rayon du petit cercle, AP = AB,
sin i I = cos mP = = = cot 6o« = tang 3o« = y/\
cos i I sb l/j, cot 7 1 = t/â, sin 1= 2sin \l cos i I = 2 1/| \/\ = *V\ = t/|, cos I = t/j, tan^I =
I est un angle aigu; en effet, le côté du polygone est \/\,
son apothème = |/f sin 60 = \/\ f/f = t/J =s y/ Z;
la hauteur totale du tétraèdre = | = 1 — cos AP;
cosl = f/| =3, 1 <— cos I ss= asin» i I = i — 7 = 7, sin* 11 = 3, HDils^i»
comme ci-dessus.
Surface facette = a sin» Amcotôo = 3. 3 «/£ = av/| = f/|» surface polyèdre = 4 .facette ses 4^1 = t/¥ ~ 8 j , solidité s= \h surface polyèdre = 3.£ «/V = 5
35a ASTRONOMIE MODERNE,
ou autrement,
= base X £ hauteur totales |/|.|.| as =
Ainsi, pour la solidité, comme pour l'inclinaison, nous nous somme» procuré des vérifications indépendantes du triangle sphérique , et qui ont confirmé nos formules générales.
Hexaèdre. w = 6, a = 4> »» = 3;
sin A/n = tang Am = i/ï,
sin AB sss asin Am cos Am = a|/J. y/§ = a ^1 = Vl* cos AB *= \/\ = i, tang AB sa i/8, corde AB = asin Am = aj/] = j/j = arête;
c'est la règle d'Euclide.
h = cos AP = col (^~) cot (~) = cot 45«.cot 6V = tang 3o« = sin AP = tang AP = y/*,
sin AP = rayon = \/\, \ h = | cos AP = ± y/\ = y^,
cos f—
n . . . \ m ) cos 6o* sin 3o° {
cos^ = smiI = -^ = ^ = ^=^ = v/i,
cos^I= v^î, cot^=i, £1 s 45% 1 = 90'; ce qu'il était aisé de prévoir.
Surface facette = 4sin' Am cot 45* = 4s»a* Am =s 4 . \ = f , ou bien
carré de l'arête = surface facette = \ , surface du polyèdre =6.| = ^s=8=s solidité
= y A surface polyèdre = \Z£.8 = = cube de l'arête = $ }/\ = y^-
Ainsi, des formules particulières confirment nos formules générales, asin' I AP = i — y/î, co» i AP = Vj+i y\, sin i AP = VF=Ï7L tang i AP = y/ |-=^j,
KEPLER. 553 siniAP = >/\ — kVb
= = v/|- vTï =? ✓! - t/ï.
asin
Oclaèdre. n = 8, a = 5, m s= 4;
co» 6o° sin 3o
/i8o°\ cos f -~ J
3in f>8°*^ = siD45* ~ &in == y/] ^
sin*A/7i = 7 , Am = 45% lang A/n = i, aA/n = AB = go% corde AB — asin Am = ay/î = y/î = y/â a= arête j
c'est la formule d'Euclide.
A = cos AP == cot (~) cot (~!^ = cot6o,cot45# = lang3o4=v/|,
sîa AP = 1/5, tang AP a= y/a", i /« = | y/' = V^S* rayon du cercle circonscrit as sin AP = y/f , 1 — cos AP = asin' T AP a= 1 — y/f , sin» 7 AP a={ — W\t
sin i AP = VT^TT?, asin|AP = Vt-t|/I>
asin r AP = y£ -ay/I = Va — y/*, cos,APt= + i 1/*,
lang 1 AP v/t^î = v/fi^iflZjffi.
facette = /> sin* Am cot 6o# sas 3 .¥. tang 3o as £ y/\ sas y/^ = y/f = sin 6o% surf.potyèdrea= 8/1 = y/^p s= y/48,
solidité = y ^ y/48 a= y/H = y/? = |,
cosilïs y/j, cot ? l = y/I, sin I = asin T I cos f I = a y/f.i = a y/f a=c y/f, cos I = — y/« , tang I = — y/g.
Toutes les expressions de ces trois polyèdres sont très simples , celles des suivans le seront moins; c'est ce qui fait que la théorie des deux derniers est encore bien plus imparfaite chez les anciens. Nos formules trigonomélriques au contraire ont partout la même simplicité.
Dodécaèdre. n = ia, a ex 5, m = 5;
a 008 Ç*a~) cos 3o «î» S4 i +i t/5 ' + cos svm — ^ ^ j= jin 6q — — 4v/|
sin An. = (i - cos- A»)* = (, - \±^Ltîf cos Aro = 1/5,
8 V i + iv/5 V i+i\/5 v u+WWU-w^)
arête
corde AB
Il II
sin AB
cos AB
tang AB
sin* 1 AB
Va -'|f/5,
asin Am = a Vî — ? f/ S s= Va — S t/1 a» V*— t/*f ♦/a — v/^,
>V(i + i»/5;(i-iî7r) t= a vr="S = * /â^p
(i - sin' AB)* = («- \Y = « ^ = • ^5,
= ^ng 3o« tang 5/f° » j/j Vî^Ta y/\ *= Vî + s î/sr*
stn AP s Vf — f i/j = rayon du pelit cercle, asin'± AP = 1 — cos AP = i — y/ï+Wl> 8,ViAP = i~ix/ppj7T,
6in i AP x= v/f-iVi + ^ï, «in i AP = * f*7|,
6in i I = cos ni? = V m ' ^»6o'»in5o* 4
= — ^^/zrr
(io — ay/5)5 V io — al/5
V (io — a\/5)(io + av/5) V «co — 4-5
sinl = aiin * I cas U = VP^«Vf£ /X,
facette = a sin\Am col 36' = 5(1 — g t/5) (i +
= V/(-Vg--V/V/5)(i+3^|)==:iv/35o~i5ov/5)(i+av/::) = l y/55o — 1504/5 + 7004/1 — 5oov/f
= s VCSo— 104/5), surface = ^ \/5o— 104/5 = av/5o — 104/5 = V^oo — 4°V/5» solidité = V(3oo--4o 4/5)(^V+ 4/f) = î V^oo-fo ✓5)'>î + !
Icosacdre. nssao, a = 3, /n=5;
cos Am = ^J = ««g = »*£ = * r = " •
=^^==v/~^±!iilW£\/^
Vjo — 04/5 » 100 — ao
= Vï+ v7^ = vTTT^ , =
&inAm = \/r=V±, tangA/«=y/î=-£g.
=\/^Ez~z=a-v^)v/5,
lang A/n = iv/5 — V&=W5 — t»
asin Am = 3 \/i - =V*-W'-h = v^^^= N/a—^î = arête,
asioAwcos Km = sinAB = a S/\—\/^ Vj+Vt = Vï — tï = 3^=34/^=4/1,
co5AB= (. - si» AB)î = (. - })* = (^)'= ✓{ , tang AB = y/J~* =4/4 = 2, ft=cosAP = cot(^)cot ^)=cot6o'.cot36°=tang3olang54'
= Vj(* + VD = Vf+T7I> iA = Vï7+-.Wi* rayon = siu AP = — 5 V I »
KEPLER. 357 tang AP = \ / ÎZzL^i— % / a-aj/| . /(a-a^-Ôd-at/ô
ung AP =y/5(a-yi)(^^D =v5^17I=47H:l)
3S.n'-AP=,-coSAP==,-.y/'-f.it/5> siD^AP^^v^HTI, : sïd iAP^Vr^Wi+f^B, asiDiAP=v/a~av/Hn7Î
cosi!=y/j-.i y/s, ^
* cot±I= \ / bliKl=x/i3ÎV^=:% / O-EgjF"
cosI= (, - $)i = Vf =: - I V/5 ,
facette = asin' Aro cot ^ = 3 (i— y/T) cot6o«= 3(i— ^)^-
surface = 20 Và—^Z = V/iW^4"o^7£ = v/sôo- i!£
. V |/ao
= V9T40 - ^yg = 5 v/4o <; ^ ^
Toutes ces formules sont réunies dans la Table suivante. Uist. de VAstr. mod. Tom. I. ^
AB = zkm esl l'arc de grand cercle dont le coté est la corde. AP est la distance de chaque facette a son pôle. I est l'inclinaison de deux facettes contiguës. SinAP est le rayon du petit cercle circonscrit à chaque facette, asini AP esl la distance de l'extrémité de chaque arête a son pôle en
ligne droite. , ,
h esl la dislance de chaque facette au centre de la «pbere. Dans l'évaluation des facettes , des surfaces totales et des solidités, on
a pris pour unité le rayon de la sphère. Les facettes et les surfaces sont en mesures carrées, par exemple
en mètres carrés ; les solidités en mesures cubes, par exemple en
mètres cubes. . . ... , ,
Cette Table donne la théorie complète des corps inscnptibles a la sphère; elle renferme tous les théorèmes d'Euclide, d'Hypsicle et dlsidore ; elle conduit à toutes leurs constructions et en fournit de plus simples: enfin , elle donne des expressions variées de toutes les quantités qu'on peut avoir quelque intérêt de calculer. On y voit souvent reparaître les mêmes angles et les mêmes radicaux ; en sorte que le nombre de» inconnues du problème général n'est pas à beaucoup près aussi considérable qu'on l'aurait pensé à la première vue.
Cette Table enfin nous mettra a portée d'apprécier les idées de Kepler, et de juger s'il avait raison de dire (ci-dessus, page 5i8), que samr rien faire qu'un peu de violence aux corps connus, il avait au tes en c fia lier les uns aux autres.
Diqitized by Go(
Sin AM IfTangAm
Arête
SinAB CosAfi IfTang AU
lb=cosAP |fc=»inAP
I Tacg AP
UiniAP
Sin il ICosiI | Cot-i I Sin I Cos I Tangl
Facette
Solidité
Arête Rayon im J AP
