LIVRE V

Néper, Kepler et Briggs. .

Avawt de passer à l'ouvrage de Kepler, qui a suivi son Traité des Comètes, c'est-à-dire, à son Traité des Logarithmes, il est juste do faire connaître l'ouvrage du premier inventeur, et d'exposer les moyens que Néper avait imaginés pour changer les multiplications en additions, les divisions en soustractions, et les exlracliops de racines en simples divisions. Cette invention admirable n'est point encore asses répandue, et la cause en est sans doute la division bizarre et arbitraire des systèmes métriques des différens peuples; mais on parait s'acheminer vers l'uniformité et vers le système décimal, alors l'usage des logarithmes ne se bornera plus aux astronomes et aux géomètres. Bailly a dit que Néper leur a donné dn tems, ce qui est très vrai; il leur a, de plus, épargné les dégoûts et les erreurs des opérations longues et compliquées sans lesquelles on ne pouvait faire alors les calculs les plus ordinaires.

• On connaît peu de circonstances de la vie de Néper; il était écossais, baron de Merchiston ; il inventa les baguettes arithmétiques, pour faciliter les multiplications; il est auteur de quelques formules remarquables de Trigonométrie, mais le principal de ses ouvrages est sa Table de Logarithmes. En voici le titre :

Logarithmorum canonis descriptio , seu arithmeticorum Supputai 10 nu m mirabilis abbreviatio , ejuujue usûs in u truque Triton o rneiriê , ut etiam in ornni Logisticâ malhematicâ amplissimi , facillimi et expedUUsimi , explicatio, authore ac inventore Joanne Nepero, baronc Mercbistonii , Scolo. La première édition de cet ouvrage important est de 1614 ; je n'ai que celle de Lyon, 1620. Voici les principes de l'auteur.

Une ligne croit uniformément, quand le point qui la décrit avance également en tems égaux.

Si les tems sont équidiflërens, les incrémens le seront de même.

Une ligne décroît proportionnellement quand le poiut qui la parcourt

49a ASTRONOMIE MODERNE,

en retranche des scgmens égaux en tems égaux; les restes sont proportionnels entre eux, comme les parties retranchées.

Les quantités sourdes ou inexplicables en nombres , sont censées dé» terminées avec une approximation suffisante, si le dernier chiffre n'est pas en erreur d'une unité.

Le logarithme d'un sinus est le nombre qui approche le plus de la ligne qui a crû uniformément, tandis que le sinus total a diminué de manière à devenir le sinus en question , les deux mouyemens étant supposés synchrones ou exécutés dans lé même tems.

Ainsi, le sinus total a o pour logarithme. Les logarithmes des nombres supérieurs au sinus total sont négatifs ou moindres que rien.

Il était possible d'attribuer le log. o à tout autre sinus, mais la facilité et la brièveté des opérations demandaient que log. o fût donné au rayon.

Et comme les sinus sont de^ous les nombres (trigonométriques) ceux dont on fait l'usage le plus fréquent, on a fait leurs logarithmes positifs. On pouvait faire le contraire.

Quand des nombres sont en progression géométrique, leurs logarithmes sont cquidifférens.

Si trois nombres sont en progression géométrique, le logarithme du troisième est égal a deux fois le logarithme du second, moins le logarithme du premier.

Si quatre nombres sont en proportion géométrique, la somme des logarithmes des deux extrêmes est égale à la somme des logarithmes des deux moyens.

Ici l'auteur annonce qu'il réserve pour line autre occasion l'explication de sa méthode; il la développera quand les savans auront prononcé sur l'utilité de sa Table. 11 craint les attaques des cavieux, et se borne à indiquer les facilités qu'elle offre pour les calculs.

La première colonne renferme les arcs de minute en minute, depuis çp9 jusqu'à 45°.

La septième renferme les arcs de minute en minute, depuis 90' jusqu'à 45°.

Les arcs correspondant des deux colonnes sont complcmens les uns des autres.

A côté de chacun de ces arcs on trouve les sinus en nombres naturels à 7 chiffres, colonnes a et 6.

A côte des sinus on trouve leurs logarithmes, dans les colonnes 5 et 5. Us sont à 8 chiffres.

NÉPER. 4g5

Bans la colonne 4 on trouve la différence du logarithme cosinus au * ^jr),. ■ logarithme sinus; c'est-à-dire, les logarithmes des tangentes ou des co- "} ^ u'a,... ^ . tangentes, selon que la différence est prise positivement ou négativement. * ^ %. ?f*1-

Il nomme anti-logarithme le logarithme du cosinus qui se trouve tou- 91 Vm ^ . 'c**~* •

jours sur la même ligne que le logarithme sinus. Kepler a depuis nommé ^ ?"? ' " ' mesologarithme le nombre de la colonne du milieu, où le logarithme tangente = — logarithme cotangente.

La table donnant toujours sur une même ligne un sinus et son logarithme, elle peut tenir lieu d'une table des logarithmes pour les nombres. On y trouve, ou l'on en pourra déduire le logarithme d'un nombre, ou le nombre d'un logarithme.

11 applique sa table à la résolution des triangles reclilignes rectangles et obliquangles.

Pour les triangles sphériques quadrantaux, c'est-à-dire, qui ont un angle ou un côté de 90% il donne sa règle des parties adjacentes et des parties séparées, qui m'a toujours paru d'une utilité fort douteuse, pour ne rien dire de plus. {V oy. mon Astronomie, lom. I, pag. 204.)

11 partage les triangles obliquangles en deux rectangles, en abaissant un arc perpendiculaire; il démontre, par les propriétés de la projection sléréographique, l'analogie

tangi base *.lang± somme des côtés :: ta ng| différ. des côtés :tang£ différ. des segmcns de la base,

et, par là, celte formule devient un corollaire de l'analogie grecque £ base : i somme des côtés : : édifie r . des côtés : J différ. des segmens de la base, à laquelle elle se réduit d'ailleurs, quand les trois arcs sont extrêmement petits.

Cette analogie, curieuse autant qu'utile, appartient donc véritablement à Néper; on en donne aujourd'hui une démonstration plus courte. H dit, page 55, que l'on peut changer les côtés en angles, et réciproquement. C'est une espèce de triangle supplémentaire pour lequel il ren- %" ù C V*»'* voie à Pitiscus et à Métius. Ce n'est pas le triangle supplémentaire, tel OC*^ ï que nous le concevons aujourd'hui , et qui est dû à Snellius.

A la suite de sa Table , je trouve dans mon édition l'ouvrage annoncé par Néper, et qui ne fut publié qu'après sa mort, en 1619, par son fils.

Néper avait commencé par donner aux logarithmes la dénomination moins commode de nombres artificiels. Nous verrons plus loin l'explication et l'étyroologie du mot logarithme. Dans ses définitions et même daus ses calculs , il fait usage des fraction»

décimales, mais il n'en donne que la no la lion, sans aucune règle de calcul. C'est le premier exemple que j'en aie trouvé jusqu'ici j c'est un 'h premier pas, il est de la plus grande importance.

. Rien de si facile que de continuer une progression arithmétique ; il

n'en est pas de même d'une progression géométrique. Néper en trouve cependant un moyen fort aisé.

Soit a= iooooooq

n = 9M«Htë= iococoeO-1

lOOOOOO^ 1COOOOOO lOOOOOOO

Tous les termes de la progression géométrique qui commenceront par ces deux nombres, se trouveront en retranchant — - — du précédent.

a = iqoooooo log a = o

/l^-x. iy«~~«t-i stf^j ytjuy na = 9999999 log na = i

n*a = 9999998.000001... log«'<j = a 999998.000001

n*a — 9999997 • oooooa . 999999 . log n3a = 3 = flog na etc. , etc.

Remarquez que les logarithmes o, 1, a, 5, etc. , croissent uniformément, mais que les nombres décroissent d'une manière inégale, ou que les d log 1 sont égaux et que les dn diminuent continuellement.

Retranchez donc l'unité du premier, vous aurez le second ou m; de celui-ci retranchez sa dix-millionième partie, vous aurez le troisième, ou n'a; de n'a retranchez encore sa dix-millionième partie, vous aurez le quatrième , et ainsi de suite. Chacun des termes successifs aura pour logarithme un des termes de la suite naturelle des nombres 1, 3, 3, 4, 5, etc. Si vous faites cent soustractions pareilles, le logarithme du centième reste sera 100.

2 sera le logarithme de 9999998.000001, et sans erreur sensible celui de 9999998-

3 sera le logarithme de 9999997.000003.999999 et de 9999997, sans erreur, cl ainsi des autres jusqu'au centième reste, et 100 sera le logarithme de 9999900 , en sorte que

n = log (10000000 — n);

NÉPER. 49* ce ne sera qu'une approximation , car suivant la formule moderne

log(«^«fo) = log»-£— »

ou

lof — log<«-*) = * + *(£)'+

Soit n= ioooo, n — dn = 9999, = 0.0001 ;

lo»/i — log(/i— «fo) «= 0.0001 -f- £ (0000.0001)

Soit n =3 IOOO , dn = ;

log » — log (/» — dn) sa o . ooiooo5.

On pouvait arbitrairement choisir le logarithme du second terme, celui du premier étant o ; mais il n'y avait rien de plus simple que de faire la première différence logarithmique égale à la différence des deux premiers termes de la progression.

On voit clairement ici des exemples de la soustraction des fractions décimales.

(*) Le terme n*ay supposé 9999998, est un peu trop faible pour avoir le logarithme a. Ce logarithme appartient véritablement à 9999998.0000001; et comme les logarithmes augmentent quand les nombres diminuent, le vrai logarithme de 9999998 sera plus fort que a; le logarithme de 9999997 un Peu Pms *°rt 1ue 3> log (10000000— «n) un peu plus fort que /», et l'excès ira en augmentant; mais il pourra se négliger dans les cent premiers termes.

On voit combien est simple cette première idée; log (10000000— «)=", et l'erreur est insensible quand n ne surpasse pas 100; elle serait même à peine sensible à n=5oo. Mais cette marche serait trop lente. Soit dn=. 100; Néper forme de même une seconde suite dont les différences sont cent, et les logarithmes o, 1 , a, 3, etc. , mais avec un peu moins d'exactitude.

(*) C'est par anticipation que j'écris na, n'a, n'a , etc. ; on n'avait encore aucune idée des exposant.

Nombres.

Log.

99998-oû

99997 «oo

Le 5i* terme sera on peu plus fort que 99950.00. Soit 99950. oo-f-dnj le logarithme du Si* terme sera donc 5o + puisque le logarithme

augmente quand le nombre diminue.

Nepera donc une nouvelle série de 5o nombres fractionnaires accompagnés de leurs logarithmes, qui croissent en progression arithmétique. Pour en déduire le logarithme du nombre entier n, au dernier logarithme de

la table on ajoutera — , c'est-à-dire la petite fraction qu'on veut supprimer, divisée par le nombre dont on veut le logarithme. En effet, dn qui , dans l'origine , était égale à dlogn diminue continuellement dans la proportion de n au premier nombre; dn est donc <rflog», et pour

avoir dlogn on fait ^ = rflogn.

Ces deux tables, Tune de 101 termes et l'autre de 5i , ne sont encore que préparatoires. Nous avons, par la seconde, le logarithme de 1000000 et de 99950. Sur ces deux nombres, dont les logarithmes sont connus, établissons une nouvelle progression géométrique; nous aurons les logarithmes de la nouvelle progression , puisque nous avons les deux premiers.

IOCOOO I0Q3QO I I

QQ^DO lOOOO — 5ô 5o ~ I *

1 OOOO liOOO

Ainsi pour former la nouvelle progression , il faudra retrancher de

chaque terme de ce même terme; le calcul est un peu moins simple

et pourtant fort aisé.

Le ai' terme sera 9900473.5780, et vous aurez son logarithme.

Pour en conclure celui de 9900, vous y ajouterez ^—^Çj^* vous

aurez donc le logarithme de 9900000.

NÉPER. 497 Voilà bien une division de fraction décimale.

Établissez sur 9900000 une progression continue dont la raison soit la même que celle de la série précédente ; vous aurez la différence des logarithmes de tous les termes nouveaux. Le calcul sera tout semblable; en voici le commencement, le dernier terme sera 9801468.8423.

9900000 9895050 9890102.4750 9885i 57.4238 etc.

Voo. .«re. log98o, = ( log 980.468**) + 'ggflgfê. L'erreur du calcul, ou j(~J sera o.ooooo.oooi i44;

elle était, dans le calcul précédent... 0.00000.00011493.

Vous aurez donc le logarithme de 9801 , avec lequel vous pourrez commencer une nouvelle série de 21 termes, toujours dans la même raison et suivant les mêmes procédés; le 21e terme sera 9703.4541539 ;

log 97o3 = log 97o3.454i539 + 97f44'5^539 ,

Vous formerez ainsi 69 colonnes de termes dans la même raison géométrique ; la 69* ou dernière sera

. Nombres naturels.

Logarithmes.

Différence

5.048. 858. ftqoo 5.o46.333.46o6 5.o43.8i 1 .ssa3a 5.o4i . 280.3070,