ooi .3 5.ooi .3 5.ooi
ou 5.ooi .a5
Ces différences sont les mêmes pour toutes les colonnes ; elles sont U différence (log 10000 — log 9995),
Hist. de l'Jstr. mod. T. I. 63
o.ooo5o
.^Y = L:J= o.ooooo.oiaS
o.ooo5o. 013537.
Néper, en faisant la différence 5ooi35, ne se trompait donc que de 0.00000.000037.
Voilà donc 69 séries en proportion continue composées cbacune de ai termes; elles ne forment pas une progression unique, car le premier terme de chaque colonne diflêre toujours un peu du dernier de la colonne précédente. Les logarithmes de chaque colonne forment une progression arithmétique.
Tout dépend de l'exactitude avec laquelle Népcr aura calculé le logarithme de 9995, qui devait donner la différence constante. 11 avait trouvé
log 10000000 — 49995000 = 5ooo.oo C'était la supposition arbitraire, log 9995003. 5— 69999000 = 5ooa.5o moyenne arithmétique = 5ooi.a5.
Log/i— log(/t— -dn) est — ou -^j-, et par un milieu,
\ICOO/
dn 5coo 5ooo aooo
n — \dn ï(«9995oa.5) 9997601.35 10000002408.75 *4d$7$
IOOCCOO
Tous ces moyens étaient connus de Néper, quoiqu'il n'eût pas ces expressions algébriques; ce calcul est la traduction de ses raisonnemens ; c'en est le fond, si ce n'est pas la forme tout à fait; il ne négligeait que des quanlilés reconnues insensibles; la construction de ses tables préparatoires est donc démontrée. Ces tables renferment une suitede nombres décroissans, depuis 1 .0000000 jusqu'à 49986094034; lows ces nombres ont leurs logarithmes. Ces nombres diminuent assez lentement pour que l'on puisse, par interpolation, avoir les logarithmes de tous les nombres intermédiaires. Cette table, que Néper appelle radtcmle / lui fournira donc sans peine tous les logarithmes de fciaos, depuis 90e jusqu'à celui
JVÉPER. 499 Je 3o, qui est 7 rayon; et de ces logarithmes il trouvera des moyens simples pour conclure tous les autres.
Remarquez que pour construire sa table radicale il n'a employé que la soustraction , et les additions des parties proportionnelles trouvées par une simple division.
On peut dire que la plus ancienne des tables de logarithmes a été construite par des moyens analogues, jusqu'à un certain point, à ceux que M. de Prony a mis en usage pour les grandes tables du Cadastre. Les formules modernes ont fourni des procédés plus sûrs, plus exacts, mais non plus commodes. C'est ce qu'on ne peut dire de Briggs, dont le système est d'un usage plus facile, mais qui donne une construction bien plus pénible, puisqu'il faut commencer par chercher laborieusement un nombre plus ou moins considérable de moyennes proportionnelles, c'est-à-dire extraire un nombre effrayant de racines carrées. * Néper démontre que logsiuA>(i — sinA) et <(cosécÀ — 1). Il la prouve par ses Fluxions et ses Flucntes ; mais la première partie est une conséquence de ce que les logarithmes croissent plus rapidement que les termes ne décroissent ; la deuxième est un corollaire de la première, il suffit de concevoir la série prolongée de l'autre côté du zéro.
Soit i le rayon, A un arc quelconque, 1 — sinA=x, ou sinA=(i — jc).
On sait aujourd'hui que log(/i-fd^)=log«-f-(^ — *(^n) "^(ir) "—e,c' Soit n = 1 et dn = — x,
log(i — x) = o — x — \x* — ~x3 — Jï* — etc.;
mais Néper nous avertit qu'il fait les logarithmes positifs et croissans ; quand n diminue; ainsi
log (1 — x) = x -f- \ x* + {x3 + i x* + etc. = log sin A ;
telle serait donc la valeur exacte de log sin A. Mais 1 — sinA=ar; donc, log sin A >x, puisqu'il est x-f-fx'-f-etc.;
cosécA =8-nfÂ=~^ = i-f-x-f-^+^-f-xS cosécA — 1 =x-f-x*-r-x,-r-x*;
donc cosécA — 1 surpasse log sin A.
L'erreur de la première expression est J *4-f- \x3+\ x*, dont i^-sinA est trop faible.
5oo ASTRONOMIE MODERNE.
L'erreur de (coséc A — i) est rx'-H ■*'-+• yx«+elc, dont(coséc— KJ est trop forte.
La véritable valeur est donc renfermée entre les limites (i — sinA) et (coséc A— «i).
On voit même qu'elle n'est pas moyenne arithmétique entre ces deux valeurs, car la moyenne arithmétique serait la demi-somme des deux ou
(coséc A— Q -H \ — sinA) coséc A — sic A ..^.^ j ixi + » ^4 4. ±&
tandis que logsinA = <r-f-ïX,-f-3X3-f-^x*-f-±x5;
ainsi la moyenne arithmétique est en excès de
G - i)*3 + (î - + U - i)*4 + etc. , ou de ixs + ^ + ±x* -f etc. ;
elle n'est pas non plus moyenne géométrique , car la moyenne géométrique serait
[(coséc A— 1 )( 1 ~sin A)]^=[(x+*'4-xs+x4H-etc.)(x)]»
=(x,+x,+x4-r-x5-f-*'+ctc.)* =x( 1 -j-x-J-x*-t-jcs-r-Jc4-f-etc.)«=jr( 1 -f-/)^
' H- K^+^'H-^+^-H lc ■ ) — ï(*M-a*N-5xM-elc.)
i-f-ïJH-iJrM- ï
fx'- fx*- §x*f
La moyenne géométrique est donc ^-f-îJ:*-r-|jr,-r--^x*-f-1^xsf et k>gsin A = x-f-±x,-|-$xJ-r-i x*-J- £ x*,
excès du moyen géométrique = (| — |)xJ-r-(-^— ^)x* + ^x», excès du moyen géométrique = j^x3 -f- ~x* 4- -+7o x*, excès du moyen arithmétique = j + ; + h b*-
L'excès du moyen géométrique n'est donc pas tout à fait le quart de l'excès arithmétique ; quand ils ne différeront pas sensiblement l'un de l'autre, ce sera nue preuve que (g— r^^ou £ — Jç=:£ = ix' est une
NÉPER. 5oi quantité insensible; à pins forte raison sera-t-il insensible; on pourra donc 's'en tenir au moyen géométrique, et même au moyen arithmétique.
On a donc les deux limites (cosécÀ — i) et (i — sin A) , entre lesquelles est la vraie valeur; c'est le théorème de Néper. On a donc dans ]a moyenne arithmétique une valeur approchée, et dans la raoyenue géométrique une valeur encore plus approchée, et tant qu'elles difleV reront peu, on pourra s'en tenir à la moyenne géométrique; les deux approximations seront seulement un peu trop fortes.
La différence entre les deux moyennes =^x3; on en prendra le tiers on Je retranchera delà moyenne géométrique, et l'erreur sera bien plus négligeable encore.
Néper n'emploie pas ces expressions, qui n'étaient pas connues; mais
soit R le rayon; les limites seront -r— -r — R et R — sin A; la moyenne
arithmétique R*~ R ™* + ^L" ^R'-R^A+^inA-sin^ R^^A ^ osinA a asinA ssiuA
(R-f-HiA) (R — sin A) flsin A
Voici encore un antre théorème dont Néper a fait usage, et qu'il
présente un peu différemment.
y 4 1 • à, r* /sin A — sinA'\ . /sin A — sin AN
LogsinA — logsinA' est entre R( — j etR( — "^a: — 7)t
ou entre (J^)(sînA — sin A') et (J^g) (sin A — sin A') ; la moyenne
arithmétique serait (^-â)(s"iA — Sin A') +(^0X7 (5m ^ — «nA'),
i (coséc A coséc A')(sin A — sin A').
T , R(sinA— sin A') R(s!nA — «in A') R(sioA— »inA')
Lamoyennegeometnque =v=mr==-^^^J
à peu près, ou </log/»=
Par ces moyens on aura les deux limites d'un logarithme et sa valeur à peu près ; on aura aussi la différence de deux sinus connus, en sorte que si l'on a de plus le logarithme de l'un de ces sinus , on en conclura le logarithme de l'autre.
C'est ainsi que Néper a trouvé la différence constante des logarithmes pour les 69 colonnes de sa troisième table. D'une colonne à l'antre et sur la même ligne, la différence constante est ioo5o3. 3210291 ; ce logarithme est celui de Dans les Tables de Wolfram, calculées à 8 décimales, ou trouve log (,*/„) =; ioo5o5.5$855o. De. là viennent
Sq$ astronomie moderne.
sans doute quelques erreurs assez peu importantes, sur les dernières
figures des sinus logarithmiques de Néper.
Sa table III ne lut donne pas directement les lOg. des sinus pour toutes
les minutes du quart de cercle; mais la différence sera peu considérable
entre le nombre de la table cl le sinus en questipn; on se sert alors de la
„ . R(iinA— sin A')(sin A -f-sia A') , * r 1 «
formule — r— . •:■ — ■ -; on atout dans celle formule, elle
sin A sin A 7 '
donne la différence du sinus logarithmique (Je A, qui est connu, au sinus logarithmique de A', que l'on cherche, et qui sera connu par ce moyen.
Pour i' de différence, je me suis assuré que la formule est suffisamment exacte depuis A = 90* jusqu'à A = 3o\
Le sinus de 90% celui de 3oa et tous ceux qui sont entre eux comme a : 1 , ont pour la différence de leurs logarithmes le logarithme de 2; suivant la Table de Néper, ce logarithme est 693. 1469- 23 suivant la Table de Wolfram, il serait 695.1471. 81
l'erreur a «5g.
On voit que ces logarithmes ne sont pas de la dernière exactitude; mais ces erreurs étaient fort peu importantes, et la table n'en était pas moi us utile.
Si un sinus était trop petit pour se trouver dans la table radicale, pn pouvait le multiplier par a, 4> 8, etc., en sorte qu'il rentrât dans les limites; on prenait alors le logarithme du multiple dans la table, •n y ajoutait le logarithme de a, de 4 et de 8, et l'on avait le logarithme cherché; car plus le sinus est petit, plus son logarithme est grand. C'est le contraire dans le système actuel.
§*ar les sinus qui sont entre eux comme 1 10, on voit que le logarithme de 10 doit être... a.3o2584a5.34 \. il est, suivant Wolfram. ... a . SoaSS'ioo .09
la différence est 0.0000007675.
Néper s'aide de quelques théorèmes connus de tout tems , comme
sin A = asini A cos-jA, ou sin £ A = ^"V .
On aura donc ainsi tous les sinus des arcs au-dessous de 5o% caria Table donnera IogsinA>5o° et <6o*, sin£A> i5*, cos; A <sin6o*.
Ayant tous les sinus au-dessus de 45', on aura tout depuis 45e jusqu'à aa« 3o', de là jusqu'à n* i5', 5' 37' 3o", d'où celui de 5* 58', celui
de aVjg', a» 48', i* a4', 4a', ai', ao', io', 1'; car ces petits sinus sont proportionnels à leurs arcs. (
Au reste, Néper sentait lui-même qu'il n'avait pas mis dans l'exécution toute la précision dont sa méthode était susceptible. Il invitai,* les calculateurs exercés à refaire sa table a,vec .plus de; soin^.il désirait qu'on augmentât le nombre des chiffres ; qu'on fit la seconde table de 101 termes au lieu cte 5i ; qu'on donnât à la table troisième 35 colonnes de 101 termes, au lieu de C9 colonnes de ai. Tous les nombres y seraient dans la raison de 1 00000000 : 99990000, et d'une colonne à l'autre dans la raison 100 : 99. ;-, , A
A cela près, il ne (ait aucun changement à la méthode» Les calculs qu'il demandait ont été exécutés peu de tcms après, par Benjaminus Ursinus,
Ces moyens, suiTisans dans le système de, logarithmes q^'d avait, d'abord imaginé, ne s'adaptaient pas à un autre système dont il parle ensuite,. et qui depuis a prévalu. ■ • ■ , -,
I^e meilleur de lotis les systèmes est , à son av^s» celui qui dqnnfl 0 pour logarithme à l'unité, et 10.000.000.000 pour iogariwrne.de 40. Ces deux logarithmes donnés, tous les antres s'en déduisent.
Divisez le logarithme de 10 par 5, vous aurez
a. 000. 000. 000. . .Iog(io)5
4qo.ooo.ooo......(*o)6,
