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Soi ASTRONOME MODERNE.

c'esl-à-diré prenez A = y/Tô, ou prenez quatre moyennes proportionnelles entre 5o et i ; entre A et i cherchez la plus petite B de quatre moyennes proportionnelles ; entre B et l'unité', prenez la plus petite de quatre moyennes proportionnelles; prenez ensuite sept moyennes proportionnelles, vous aurez tous les nombres re'pondans à tous vos logarithmes; la difficulté est dans tontes ces extractions de racines. Le procédé est plus facile à comprendre, mais il est effrayant à pratiquer; au lieu que le premier, dans sa simplicité, était tel, qu'on pouvait en confier l'exécution à des ouvriers qui n'eussent que les plus simples nolions du calcul arithmétique. Si le nouveau système donne une table flu6 commode, il faut avouer qu'il était à désirer qu'on se créât de nouveaux moyens pour l'exécuter avec moins de peine. Les moyenj sont venus quand la besogne était terminée.

Nous avons déjà remarqué que Néper a le premier donné l'idée du calcul des fractions décimales, un peu plus développé depuis par Bi iggs; enfin pour éviter les racines cinquièmes, il indique un moyen de tout faire par des extractions de racines carrées.

Dans un chapitre intitulé : Habitudines logarithmorum et suorum na- < turalhtm invieem, il réunit plusieurs notions déjà exposées, et d'autres plus obscures qu'utiles; il finit par donner le logarithme vulgaire de a, qui est 301029995.

Briggs, en commentant ce chapitre, n'est pas beaucoup plus clair; ces subtilités n'ont ni Je mérite des premières idées de Néper, ni celui des formules modernes.

On trouve quelques propositions très remarquables (eminentissima>)t pour faciliter la résolutions des triangles sphériques. Ce sont les méthodes de Viètc pour les triangles obliquangles partagés en deux rectangles. * \

Dans un chapitre de l'excellence des sinus-verses, on retrouve quelques règles trouvées par les Arabes. U donne les formules

sinC" = sinC — sinC'= asin \ (C— C')cos i (C-f-C) , ^7^rjy sinC"'= sinC -+- sinC = asin i (C+C)cos J (C — C) ,

tout cela, présenté d'une manière obscure et calculé d'une manière tout aussi pénible.

Néper a le premier employé des arcs subsidiaires pour ramener au calcul logarithmique le calcul des formules bicornes ; ainsi

NÉPER. 5o5

sio»iC" = sin*i(C— C')-{-5in4 A"sinCsinC = sin x -f- sin;* = asin i (x+f) cos i (x— y) =» sin'i (C+C) — cos»i A"sinC sinC = sin? — sin 4- = asini(<p— 4)cosK<P+4)-

Ces formules viennent des Arabes. La règle suivante lui appartient tout entière.

Des cinq parties d'un triangle dont les trois moyennes sont données , déterminer les deux extrêmes par une même opération. Les règles qu'il donne pour ce problème sont :

Faites

Hnrx— »"î(A+A>u.(A-A>ngiC' fi. »■» ï (A-A')tang .

ensuite, C-f-C'=x-f-r> C—C'=x—j.

On n'a rien changé à la formule/, qui a toute la simplicité qu'on peut désirer; mais Brîggs a fait un changement heureux à la première ,

tan** ~ ""*(A+A>io j(A-A')co« i(A'-AQta,igiC'coa \ (A-A')tangj C lang x — as.n { (A+A,)cos i (A+A>inKA-A') ~~ ^TTÂ+Â7) '

Cette formule a beaucoup gagné, tant du côté de la simplicité que de la symétrie , qui aide à la retenir. Ces deux formules sont célèbres et connues uniquement sous le nom Néper; mais il faut avouer que le premier inventeur a quelques obligations h Brîggs. Celui-ci a, de plus, transporté ces formules au triangle supplémentaire.

Néper présente ces mêmes formules avec quelques modiGcations ,

|MI(M K A-hAQcos 1 ( A— A')taog;C* . sin;(A-A>og:(A-f-A>nRir/

,3D& isin(A+A') ->iang.X= i ain(A-J-A')

Sous celte forme, du moins, le dénominateur est commun, la symétrie est plus marquée, mais le dénominateur commun alonge inutilement l'opération.

Troisième manière. Soit <p = coséc(A-f-A')tangîC"sinA ,

% = coséc (A-f-A')tang;C"sioA', tangKC-f-CO^^-r-X, et tang *(C-C; = <P ; Hist. de VAstr. mod. T. I. Gi

c'est un corollaire des deux formules précédentes, Car

ce qui est peu commode pour l'opération logarithmique. Enfin, le procédé auquel Néper parait se fixer est celui-ci: Faites

sini(A-fA') : sinKÀ+À') :: sin(A-A') : sinA+sinA', sin (A-+-A') : (sinA+sioA') :: tang^C" : tangA(C-T-C'), sinKA+A') : sini(A-A') :: langiC" : taBgi(C-C').

Briggs a réduit les deux premières analogies à une seule j il donne ensuite les deux formules analogues pour trouver les deux angles par les côtés et l'angle compris.

Des quatre analogies connues sous le nom de Néper, il y en a trois qui appartiendraient à Briggs. Il est vrai qu'elles se déduisent si naturellement des trois analogies de Néper , qu'on a pu sans injustice lut en faire honneur; on peut même s'étonner que Néper n'ait pas su leur donner cette forme. Mais les choses les plus simples échappent souvent » l'esprit préoccupé qui envisage son objet sous un autre point de vue. Cependant l'inadvertance est d'autant plus singulière, que Néper a retourné ses formules de plusieurs manières; il a justement omis la plus simple, la plus naturelle et la plus facile à trouver.

Nous ignorons quel eflel produisit la découverte de Néper (*) sur l'esprit de ces envieux qu'il redoutait. Il parait qu'ils gardèrent le silence ; mais l'auteur eut la satisfaction de voir son invention adoptée par Briggs, professeur de mathématiques à Oxford, qui, l'ayant bien étudiée, fit exprès le voyage d'Edimbourg , pour en conférer avec lui et lui proposer ses idées pour un autre système de logarithmes. Nous en parlerous plus loin. Il parait aussi que celle admirable découverte frappa vivement Képler, qui, cinq ans après la publication du Miri/icus canon, fit imprimer à Marpurg l'ouvrage suivant, en i6a4-

Joannis Kepler i Chilias logarithmorum , ad totidem numéros rotundos, preemissâ démonstrations légitima ortûs logarithmorum eorumque usûs,

{*) On a varié sur l'orthographe du nom de Néper, qu'on a écrit Napier et Nepair ; on croit ce dernier mot l'équivalent de PeerUss, sans pair, donné à l'un de ses ancêtres ; mais il s'est appelé lui-même Nepertu dans son Ouvrage. Nous avons suivi l'usage constant des écrivains français qui écrivent Néper.

çuibus nova U-aditur Arithmelica , seu compendium , quo , post numerorum notitiam , nuilum nec adinirabilius nec ulilius solvendi pleraque problemata calculatoria , p'rœsertim in doctrinâ triangulorum , citra multiplicationis , divisionis , radicum extractionis , in numeris prolixis, labores molestissimos. Ce lilre un peu fastueux, suivant l'usage du tems, donne lieu à plusieurs réflexions; on est un peu étonné de n'y point voir le nom de Néper; celte citation était le seul moyen d'en justifier l'emphase. Kepler y promet une démonstration légitime ; il regarde donc comme insuffisante ou inexacte celle de Néper; il pouvait lui reprocher des longueurs, des inutilités; il lui reproche en effet cette idée détaxions et de fluentes , qu'on a depuis reprochée à Newton. Mais nous verrons que les principaux théorèmes trouvés et démontres par Néper n'ont pas été inutiles à la nouvelle démonstration.

L'ouvrage se compose de demandes, d'axiômes , de corollaires et de propositions, le tout démontré rigoureusement et chastement (cha$tely), comme dit Ilullon, et à la manière des anciens.

Demande i. Qu'il soit permis d'exprimer par une même quantité toutes les proportions égales entre elles, quels que soient les deux termes

sous lesquels elles se présentent ; ainsi -y = | = n.

Axiôme i. Dans une suite de quantités croissantes de même genre , la proportion des extrêmes se compose de toutes les proportions intermédiaires. Soit, par exemple, a, b, c, d, e, /, et

b—nuiy c=nb=mna} d=pc=jnnpa , ez=ufd=mnpqa , f=re=smnpqra ;

la série se changera en a, ma, mnay mnpa, mnpqa, mnpqra% et a : f :: a : mnpqra :: i : mnpqr.

Ainsi plus on insérera de termes entre deux nombres donnés, plus les raisons seront petites, puisque le produit étant déterminé , les facteurs seront moindres s'ils sont plus nombreux.

Proposition i. La moyenne proportionnelle entre deux nombres, partage la proportion en deux portions égales ,

a : b :: b :c, ou aina:: na: c=^=«\», log<i +logc=alog&, logb — log« = logc — logft.

Axiôme a. Dans toute série telle que celle de l'axiome i , le nombre des raisons partielles surpasse de l'unité le nombre des moyeunes insé-

5o8 ASTRONOMIE MODERNE,

rées; nous avions quatre moyennes b, c, d, et nous avons cinq raisons partielles , m , n , p , q , r.

Demande a. ( Remarquons d'abord que Kepler se sert partout du mot proportion , en avertissant qu'il traduit ainsi le mot Ao^of , qu'on traduit ordinairement par le mol raison.)

Qu'il nous soit permis de diviser une proportion en un nombre de parties telles, que les parties soient moindres qu'une quantité donnée. En effet, supposons toutes les raisons égales, mnpqrs= /»*,/=: ns, ou

en général /=an*, Soit m la quantité donnée n=(£y<m.

On pourra toujours prendre x assez grand pour que < m.

Pour exemple il prend 7 et ioj 7 = 0, io=fc,

a : an :: an l an%

a : an* :: an* : an*z=anvt

a '.an* :: an* : an'=an* ,

et successivement jusqu'à on,w .

an"*1* = flra,°7ï:4'8»4 = 9 . 999g .99996. 67820 . 56900;

différence au ier terme 10, 0.0000. 00005.52179. 43 100.

11 prend arbitrairement celle différence pour mesure du premier élément; l'intervalle ou la proportion totale est divisée en 1073741824 de ces élémens. La raison de 10:7 sera donc composée de

1073741824x0. 0000 . oooo3 . 52 1 79 . 43 1 oo=56567 . 4948 1 . 57a 2 2 . 1 4400.

Tel sera le logarithme de 7 dans le système qni donne o pour logarithme à 10 et qui fait augmenter les logarithmes à mesure que les nombres diminuent.

Ce système est celui de Néper; mais voilà une base mesurée avec beaucoup plus de soin, par un calcul plus pénible, puisqu'il a employé 3o extractions de racine carrée à 20 chiffres.

Celte origine rend raison de la dénomination logarithmique qui signifie nombre des raisons; mais cette dénomination est de Néper, ainsi que Vidée qui la lui a fournie : hôyut âftifioç.

Demande 5. Qu'il soit permis de prendre pour mesure du plus petit élément de la proportion l'excès du plus grand terme 10 sur la 5oe des

KÉPLER. 5og moyennes proportionnelles; c'est ce qu'il vient de faire avant d'en avoir demandé la permission.

Proposition a. Soit la proportion continue alany.anian*} on aura a — an: an — an':: i — n'.n — n*:: i— »tn(i — n):: l'.ny.a'.an. Nous préférons ce calcul bien simple à la démonstration de Képler, qui a l'inconvénient d'être un peu obscure.

Cette proposition est le fondement de toutes les opérations de Néper.

Proposition 3. Si des quantités en proportion sont croissantes, les différences entre les termes consécutifs seront aussi croissantes.

fîi:a:4: 8: ie:39:64

1,3,4,8,16 H a : an : an* : an3 : an*,

1,3,4,8 an — a, an* — an, an3 — an*, an* — on5,

i,a,4 o(n — i), o/i(n— i), an\n— i), an3(n — i).

On voit par notre démonstration que les différences sont croissantes ; on voit même qu'elles croissent dans la raison n, ce que ne dit pas la démonstration de Képler.

Nous omettons les propositions suivantes, non-seulement parce qu'elles 6ont longues et obscures, mais parce que Képler lui-même n'en a fait aucun usage pour calculer sa Table. Nous passerons à l'extrait de la proposition 17, qui se rapporte plus directement au procédé qu'il a suivi.

L'énoncé de cette proposition est d'une page, mais nous nous contenterons du commentaire donné par l'auteur.

11 se propose de calculer les logarithmes pour la série des nombres 1000, 999, 998, etc., jusqu'à l'unité. 11 veut prouver que les logarithmes auront des différences croissantes, la raison qu'il en donne est que

Le rapport i-j-^=^ti sera donc d'autant plus fort, que n sera plu» petit.

Les rapports entre deux nombres consécutifs iront toujours croissant; les différences des logarithmes seront donc croissantes; si les rapports étaient égaux , les différences logarithmiques seraient égales.

5io ASTRONOMIE MODERNE.

Si |r=-,on aura loga — log £ e= log loge;

CL h « » •

Si^>-,oq aura log* — log*>log£-~Jog<?.

C'est ce que l'inspection de Ja table démontrait suffisamment; au reste, il est satisfaisant d'en voir la raison, mais nous avons cru devoir changer la démonstration pour abréger.

Si «=999, le rapport est i + -9-J$; si «=5oo, le rapport est î-f-y^- La fraction y£ê est presque double de la fraction ^-j.

■*f§=-T$j^;log5oo — log 499 = 200.20 dans la table de Képler, comme log 1000 — log 998.

Les propositions 18, 19, 30, sont des notions générales qui se trouvent partout.

La proposition ai n'est rien autre chose que le théorème de Ncper : logsinA>i — sin A et <cosécA — 1, dont il donne une nouvelle démonstration.

La proposition 22 prouve que la moyenne arithmétique, entre les deux limites, surpasse la vraie valeur.

Les propositions a3 et 24 le mènent, par une voie 1res pénible, à ce corollaire peu satisfaisant, que la vraie valeur du logarithme sinus est un peu au-dessous de la moyenne arithmétique. Nous avons donné mieux en démontrant les théorèmes de Néper.

Les propositions 25 et 26 sont du même genre, et ne mènent qu'à des à peu près, à des limites.

La proposition 27 lui sert à démontrer le théorème de Néper sur la différence des logarithmes de deux sinus consécutifs.

Il y ajoute que les différences secondes sout en proportion doublée des premières, et les différences troisièmes en raison doublée des secondes. 11 n'en donne pas la démonstration, qui serait trop obscure, vu la difficulté de trouver des mots propres à rendre ses idées. Nous avons donné les expressions exactes des divers ordres de différences, dans notre Préface des tables de Borda. Képler se trompait sur les différences troisièmes, qui sont en raison triplée des premières, et non en quadruplée comme il le dit ou par inadvertance, ou par une faute d'impression.

Il prouve, propositions 28 et 29, qu'aucun de ses logarithmes n'est ratiounel, et que tous sont nécessairement inexacts, mais il en évalue les erreurs.

KEPLER. 5i i

Enfin, proposition 3o, il prouve qu'un nombre plus grand que le rayon aura un logarithme négatif.

Kepler est donc parvenu à faire 3o propositions; la plupart ne paraissent bonnes qu'à grossir le volume, mais il avait besoin de ce nombre pour justifier une espèce de jeu de roots qui est dans son épitrc dedicatoire. Le landgrave de H esse, Philippe, lui avait fait don de 3o pièces d'argent; il lui en témoigna sa reconnaissance en lut dédiant sou livre, qui renferme 3o propositions. L'éptlre est en vers latins farcis de mots grecs. Le livre et la dédicace sont dans le goût du tems.

Képler va maintenant construire sa table , mais ij se gardera bien d'y employer ses 5o propositions; il ne fera véritablement usage d'aucun théorème qui ne soit dans Néper. Avant d'examiner. ses moyens, comparons le système suivi par Néper et adopté par Képler, au système des logarithmes, vulgairement nommés hyperboliques, qu'on a proposé d'appeler népériens.

Néper et Képler font de oie logarithme 1000, qu'ils écrivent 1000.0000 ou IOOOOO.OO. , /

Dans la Table des logarithmes de Wolfram, le logarithme de iooo

est * 6.90775.53790. « '7 - 'ffi'U}- •/-^7^ «

Chez Néper et Képler, ce logarithme est. . . o.

Et généralement,

log de Néper pour le nombre n = log hyperb. 1000 — loghyperb. ».

Le logarithme népérien est donc log 1000— logn, ou log(^)-

Soit n— 900, r=iooo — 900 = 100, 7^ — 1~o=~i nous aurons

5ia ASTRONOMIE MODERNE.

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