L -f« + J + i«-A - ($\ + CS

= 7B + 6-A-(i)>(S-.é)-(^ . ' ■=a 7« 7 — i — etc. , .i:rn<.- = 7»-(A+i)-(i)e+ (S — 16) ~.(S^iS)..-.

Soil R = (A + i) -f- (±\ - (S - 16) 4- (^)8. . m • • • 00, cl Von aura L=jn — R=7 — ^) , en rejetant îes 7 et' faisant n==i . . . ( 1 a).'

En i58a, année de la réformalion , pour Supprimer le» 10 jours, on a compté le i5 octobre le lendemain du 4- On a donc compté le i5 octobre , tandis que les peuples qui n'avaient point adopté la correction, comptaient le 5. C'est ce qu'on appelle le vieux style; en 1700, nous avons supprimé une bissextile qb'iîs ont conservée ; la différence des styles est devenue 11 jours, au lieu de 16; elle a été de 13 en 1806, pour une raison semblable; elle sera de 1 5 en 1900 et même en aooo, parce que les deux Calendriers font bissextile l'an 2600; eUe) sera de i4 eh; 3ioo,etaiusi de suite. [

La différence des styles a pour expression io-f- (S — 16) — (S*-7~~),* L'expression L = 7»+ 3 — A — (^) , qui avait lieu avant la réfor-

malion, et qui est celle du Calendrier julien, s'étendrait aux années antérieures à notre ère, en changeant tous les signes, et deviendrait

Car les astronomes qoi trouvent le Calendrier julien beaucoup plus commode pour leurs tables, le prolongent indéfiniment dans les tems antérieurs, suivant la série — oB, — 1, —a, —3, ^.48 — 5, etc. A la vérité il n'y avait pas de dimanche alors, mais la formule (i3) peut être utile pour comparer notre période de 7 jours à celle des Orientaux. Dans les années bissextiles cette formule donne ta lettre pour les jours qui précèdent l'intercalation. La formule (1 a) la donne pour le reste de l'année} Voyez page i3 ci-après.

ia ASTRONOMIE MODERNE.

Nous ne parlons pas d'une petite irrégularité du Calendrier grégorien.' Nous avons dit que l'épacte d'une année se trouvait en ajoutant 1 1 à l'épacte de l'année précédente. C'est 12 qu'il faut ajouter, quand N=ig, parce que la dernière lune intercalaire du cycle est de 29 jours seulement, au lieu que les antres intercalaires sont de 3o.

Quand je lus pour la première fois le grand Traité du Calendrier grégorien par Clavius, il y a 35 ans, j'en fis l'examen le plus détaillé, je recommençai tons les calculs; en corrigeant" qui; fq u es erreurs légères, en donnant à l'année solaire et aux mois lunaires des Valeurs plus exactes , je trouvai le calendrier meilleur que ses propres auteurs ne le supposaient. J'ai perdu toutes mes notes; il n'en reste que la partie adoptée par Lalande pour la troisième édition de son Astronomie ( tome II , p. 229 et suiv. ).

Clavius supposait le mois lunaire 29* 12* 44'5" to'" 48".

2 55 lunaisons faisaient donc une somme de 6939* 16* 32' 27" 18*

Mais 19 années juliennes de 565> \ font 6939. 18

La différence que Clavius, chap. VIII, fait de

[j^plus faible est donc de 1 .27. 52. Li.

Clavius arrive à ce résultat par une autre voie qui nous donnera une idée de toutes les combinaisons qu'on a été obligé de faire, et de tous les artifices employés pour corriger l'erreur des suppositions fondamentales, j '

. a55 lunaisons . de 29* J font une somme de. . . 695^ 1 2* 235 lunaisons astronomiques font celle de.. 6939. 16. 3a' 27" 18"'

La différence est de 7.4.52.27.18.

Dans les quatre années bissextiles d'un cycle de 19 ans, les quatre jours intercalés s'ajoutent aux lunaisons de février, qui par là deviennent des mois de 3o jours, s'ils n'en avaient que 29, et de 3| , s'ils en avaient déjà 3o. Une lunaison de 3i jours est une chose moastrueuse en Astronomie; mats c'était un inconvénient inévitable, et il ne pouvait être aperçu que par le plus petit nombre. Ces quatre jours ajoutés réduicr saient l'erreur à 3* 4* 3a' 27* 18"'.

Toutes les lunes intercalaires sont de 5o jours au lieu d'être alternativement de 3o et 29 j on , gagnait par là trois jours et l'erreur n'était plus que 4" 3a' 27" 18"'.

RÉFORMATION DU CALENDRIER. i3 Mais la dernière lune du cycle de 19 ans n'est que de 29* au lieu d'être

de 29 l-\ on perdait parla 12*, et Terreur montait à 164 3a' 27" i8',; Mais d'un autre côté, on négligeait les 18* des 19

années solaires • 18

Et l'on a, comme ci-dessus, pour l'erreur de la période 1.27.32.42,

que Ton corrige ensuite par l'équation lunaire qu'on applique à l'cpacle tous les 5ia ans, ou plus exactement qu'on applique 8 fois en 25oo ans.

Clavins ne trouve pas encore celte explication assez claire; il eu ajoute une seconde, qu'il nous parait inutile de rapporter. Nous avons voulu simplement exposer les embarras du système et l'adresse avec laquelle on les a levés en grande partie.

L'année bissextile a un jour de plus que les années communes. Ce jour intercalé change nécessairement la lettre dominicale. Ce jour n'est pas dans le Calendrier perpétuel , où février n'a que 28 jours. 11 n'a donc pas de lettre dominicale.

Supposons que le 28 février soit un dimanche, la lettre du 28 février est C ; ce sera la lettre dominicale. Le jour intercalaire 29 février sera lundi; le premier de mars sera mardi, mais ce jour est marqué de la lettre D. Donc, à partir de ce jour, D indiquera le mardi, C marquera le lundi, au lieu du dimanche; B marquera le dimanche, au lieu du samedi qu'il indiquait d'abord. La lettre D sera donc la dominicale après l'intercala lion, si elle était C avant l'intercalation. En général, par l'effet de l'intercalation , la lettre L deviendra (L — 1). L'année bissextile aura deux lettres. L'une sera L qui servira jusqu'à l'intercalation, et l'autre (L — 1) , qui servira le reste de l'année. Voilà ce qu'il y avait de plus simple , aussi n'est-ce pas ce qu'on a fait. Le parti le plus naturel était de mettre le jour intercalaire à la fin de l'année; mais décembre avait déjà 3i jours, février n'eu avait que 28. On a donc choisi février; mais au lieu de placer le jour extraordinaire après le 28, on l'a mis après le 24. A l'ordinaire, le 24 février avec sa lettre F était appelé sexto caUndas; car on a soigneusement conservé, dans le Calendrier ecclésiastique , cette manière surannée et barbare d'exprimer les quantièmes des mois(*). Ce jour était la fête de S. Mathias. On écrivit ainsi les derniers jours de février.

(*) Je sai* que les femmes savantes trouvent au contraire barbare et ridicule l'usage

sexto calendas

S. Mathias."

bissexto calendas

S. Mathias.

quînto calendas

quarto calendas

tertio calendas

pridiè calendas

ainsi on remit S. Mathias du 24 au le a5 s'appelle bisse.ttot d'où nous est venu le nom d'année bissextile. Dans l'usage civil, le jour intercalaire est le ag lévrier ; on ne s'inquiète guère s'il a ou n'a pas de lettre dominicale. En général , depuis que les almanachs sont si fort multipliés, les lettres dominicales, le nombre d'or, les épactes, tout cela est tombé dans une désuétude presque absolue. Le public prend les mois tels qu'on les lui donne , et s'embarrasse fort peu si Pâques suit exactement la pleine lune et l'équinoxe. La seule chose qu'il remarque, c'est que si Pâques arrive le aa mars , le carnaval est bien court ; mais en ce cas, pour s'en dédommager, on danse pendant le carême ; et si la chose était à refaire, il est problable qu'on changerait ce point fort peu important de discipline , et qu'on fixerait Pâques à l'un des premiers dimanches d'avril, c'est-à-dire du 5 au 1 a, ce qui tiendrait le milieu entre les deux limites pascales actuelles.

Le cycle de Mélon n'a que 19 années. Nous avons déjà dit qu'après le nombre 19, on ajoute îa, au lieu de 1 1 , pour avoir l'épacte de Tannée suivante. Celte irrégularité apparente provient de ce que la dernière lune intercalaire du cycle n'a pu être que de 39 jours, au lieu que toutes les autres sont de 5o jours. Les équations, soit solaires, soit lunaires, qu'on est forcé d'appliquer à l'épacte, font que ce cycle par la suite des siècles, peut avoir successivement 5o suites différentes d'épacles, c'eslà-dire des suites qui commencent par une épacte différente, en sorte qu'il n'en est aucune qui ne puisse répondre à son tour à la première année du cycle. La table qui réunit ces différentes suites, s'appelle U Table étendue des épactes. Nos formules la rendent absolument inutile > mais nous devons en parler au moins historiquement. Voyez Table 111.

de compter les jours du mois depuis 1 jusqu'à 3o et 3i , et qu'elles ordonnent à leur notaire de dater par le* mots d'ides et de calendes; quelques personnes ne sont pas éloignées de penser comme Philamiate et Bélise , mais elle* sont en petit nombre.

RÉFORMATION DU CALENDRIER. i5

L'argument qu'on voit en téle est le nombre d'or, compté depuis 3 jusqu'à 2.

L'argument vertical à gauche est nne suite de lettres qui ne servent que d'indices, ce sont des. espèces de numéros qui n'étaient pas d'une nécessité indispensable, puisque chaque ligne horizontale pouvait être indiquée par celle des 5q épactes par laquelle elle commence. Ainsi U ligne P pouvait s'appeler la ligne 3o ou o; la ligne N aurait été la ligne 39, et ainsi des antres. On voit que d'une ligne horizontale à la suivante, toutes les épactes diminuent d'une unité.

L'éqoalion solaire de l'épacte ne change jamais que d'une unité à la fois, dont il faut diminuer l'épacte , alors on descend d'une ligne dans la table. Cette équation est nommée métemptose, saut ou chute en arrière. L'équation lunaire s'appelle proempt&se, saut ou chute en avant, parce qu'elle fait augmenter l'épacte. On voit par la formule le sens dans lequel agissent ces équations; on y voit encore qu'elles restent les mêmes pour tout un siècle.

L'embarras seulement est de savoir quand il Caut monter ou descendre j c'e6t ce qu'on apprend par deux tables dont on voit un échantillon ciaprès, Table H. Les années de la colonne O sont celles où l'on descend d'une ligue; les années de la colonne (£»sont celles où l'on remonte d'une ligne dans, la Table étendue. Quand la même année se rencontre dans les deux colonnes, les équations se compensent; on ne monte ni ne descend. La colonne C • pour différence 5oo sept fois de suite, et 400 à la huitième. La période commence à 1700, ou à 17 siècles; de là le nombre constant 17 de l'expression de F ( formule 5 ).

11 reste à trouver la ligne qui convient à une année donnée, après quoi il ne restera aucune difficulté.

La première ligne marquée P Table III (j'aurais dit la ligne o) fut attribuée au 6* siècle ; on choisit cette époque postérieure au tems; du Concile., parce qu'on voulut que les nouvelles lunes fussent en retard sur les Lunes astronomiques moyennes, qui arrivent moitié du tenu? avant les nouvelles Lunes vraies, sur lesquelles les Juifs se réglaient; on a voulu que les nouvelles Lunes du Calendrier ne pussent devancer les vraies que très rarement z et qu'elles les suivissent presque toujours. La ligne P est donc supposée avoir servi depuis l'an 5oo jusqu'à l'an 800.

Alors l'équation lunaire força de chercher des épactes plus fortes d'un jour ; on descendit donc à la dernière ligne marquée a et qui commence par 1. 5oo ans après, c'est-à-dire en 1100, autre équation lunaire qui

força de remonter à la ligne bou a. En i4oo, on remonta pour la raéraer raison à la ligne c ou 3.

Jusqu'ici il n'y a point d'équation solaire, parce qu'il n'y eut pas d« bissextile retranchée, et qu'elles se suivaient régulièrement de 4 en 4 ans*

En i58a , on retrancha io jours; il fallut descendre de io lignes dans la table. Or 5 — io ou 55 — io = a5; on arriva à la ligne qui commence par 23, c'est-à-dire à la ligne D; on voit que les lettres indices sont tout ou moins inutiles; l'opération par chiffres est plus facile; on n'a pas de lignes à compter.

En 1700, on descendit d'une ligne pour l'équation solaire; on a été de a3 à 32 ou de D à C. Il aurait dû y avoir une équation lunaire en 1700. On trouva plus exact cette fois de la remettre à 1800, et alors commença la période de a5oo qui nous a donné la formule F (5).

L'équation lunaire était détruite par l'équation solaire; C ou la ligne 32 servit donc en 1800, elle servira tout le siècle; mais, en 1900, on descendra en B ou 21 pour l'équation solaire , et ainsi de suite, eu observant toujours les mêmes règles.

En allant ainsi jusqu'à l'an 501700 et au-delà, Lilius et Clavius ont trouvé que les lignes d'épac tes reviendraient dans le même ordre, dans une période de 3ooooo ans r et ainsi à PinGni, si l'on pouvait compter sur l'exactitude des moyens mouvemens des Tables Pruténiques employées dans ces recherches.

Après avoir suffisamment expliqué la construction et l'usage de ces tables, voyons comment nous pourrons les rendre inutiles.

Conditions du problème et conséquences qui en découlent.

Pâques est toujours un dimanche (et).

Ce dimanche doit suivre le 14* jour de la Lune (/S).

Le i4*jourdelaLunepascalenepeutarriverplutotquele2imars. (>), parce qu'on suppose l'équinoxe invariablement fixé au 2 1 mars . . . ( d'où il suit que Pâques ne saurait arriver plutôt que le 22 mars. . . (e).

Pour que Pâques soit le 22 mars, il faut que le 22 soit undimanc. (£); il faut donc que la lettre dominicale soit D=4 (»).

En ce cas, ce dimanche 22 est le i5" de la Lune. Pour remonter au premier jour de la Lune pascale, il faut rétrograder de 14 jours , 22—14 = 8; ainsi dans ce cas, la nouvelle Lune pascale arrive le 8 mars, jour où la lettre est encore 4 ou D; car 14 jours de plus ou (Je moins ne changent rien à la lettre dominicale.

INFORMATION DU CALENDRIER. 17 Dans ce cas encore l'épacte est a3 ( voyez Table I )...... ï. : . (9) ;

ainsi Pâques arrivera le 22 mars toutes les fois que la lettre dominicale

D=4 se rencontrera avec répacte a3 (1).

Mais si le 14% au lieu d'arriver le 21 ou plus tard, arrivait le 20, alors celte Lune ne serait pas la Lune pascale ; on prendrait la suivante. On ajouterait 29 jours au 20 mars , ce qui donnerait le 49 mars * <>a le 18 avril.

On ajoute 29 et non pas 3o, parce que cette lunaison ne peut avoir que 29 jours, à cause du redoublement d'épactes qu'on rencontre au 4 et au 5 avril.

Le 14* de la Lune tombant sur le 18, Pâques ne peut être au plutôt que le 19, si le 19 est un dimanche, c'est-à-dire si la lettre dominicale estD=4 ( Table 1).

Si le 19 est un lundi, Pâques arrivera G jours plus lard, c'est-à-dire le a5; car la plus grande distance entre deux lettres diflerentes=6=7 — 1 , puisqu'il n'y a que 7 jours dans la semaine (x).

Pâques arrivera, le plus tard possible, au 25 avril =19+6.. . (X).

Le 25 avril a pour lettre C=3, C — D=5 — 4= — \=G.

Règle générale , Pâques ne peut arriver plutôt que le 22 mars ,

ni plus tard que le a5 avril . (/u).

Dans le Ier cas, la lettre est D=4, l'épacte «=23. . .D-f-£==a7\ / \

Dans le 2* cas, la lettre est C=3, l'épacte est 24. • .C-t-é=27J *

22 — 1 5= 7 la nouvelle Lune pascale suivra toujours le 7 mars,

19 — 15= 4 la nouvelle Lune pascale précédera toujours le 5 avril, k Lune pascale commencera toujours après le 7 mars et avant le 5 avril 4 (£).

Soit P le premier jour pascal , c'est-à-dire celui qui sera Pâques, quand il sera un dimanche , •k le vrai jour de Pâques, L laletlrc del'ann. , Ma lettre qui répondà P, 7r=P-KL— K)...: (0)

Telle est l'équation du problème. On connaît toujours L, dès que l'année est donnée, il reste à trouver P et sa lettre A.

Supposons que Pâques arrive le 22 mars; nous aurons P=22 et £=23. Dans ce cas, P-4-e = 45 ou P = 45 — 1 (/»).

On connaît « dès que l'année est donnée: on connaîtra doncP, car cette formule est générale. En effet par la disposition des épactes en sens inverse dans le Calendrier, si P devient (22-f-j:), 1 deviendra (23— x) , (2 2 -f- x) -f- (a5 — • a-) = 2 2 -f- 3 5 = 45.

Hist. de l'Astr. mod. Tom. I, 3

Il ne pourrait y avoir d'incertitude que par rapport aux e'pactes doubles des 4 et 5 avril; mais réunissez a5' à a6 et 24 à a5, puisqu'il est évident que ces différentes épactes deux à deux, indiquent un même jour. Calculez pour a6, quand vous avez a5', et pour a5, quand vous avez a4, il ne restera aucune difficulté.

Pour avoir A ou la lettre dominicale qui répond à P, supposons de même Psssaaj alors

X = D=4, A-f-« = 4-f- a3 = 27 et A = 27 — t ;

celte règle n'est pas moins générale que la première, car A croit comme P, et (décroît de la même quantité, (X-H) deviendra A-f-.r-f-«— ar=37

et A = 27 — é .* (a).

On aura donc A, on aura donc tt = P -f- (L — X).

On sait queP ne saurait être moindre que aa; la formule 45 — «a donc pour minimum aa, qui donne « = a3. Si <=a4, P — € = ai. Pour corriger celle quantité , on ajoutera 3o à la constante 45 qui deviendra j5 ; on ajoutera de même 5o à la constante 27, car A est la lettre de P; donc si l'on ajoute 3o à P, il faut les ajouter de même à A; de cette manière, jamais on n'aura de reste négatif. Ainsi, toutes les fois que 6 > a3, les formules

a^ t J se changeront en | £ e J (rj.

Pour essayer l'exactiludc de ces formules, considérons que t dépend essentiellement de e et de L; e peut avoir 3o valeurs différentes, ou même 3i , en comptant pour deux les épactes a5 et a5' qui sont indiquées par des caractères différens.

L peut avoir 7 valeurs différentes; les combinaisons de f et de X sont donc au nombre de 217. Calcule/ ces 2\j suppositions, et vous formerez une table de tous les jours où Pâques peut arriver.

Cette table se trouve dans Clavius, p. 38 de l'édition de Rome, ou p. 53 du tome V des œuvres de l'auteur. J'ai fait les 317 calculs, et partout je me suis trouvé d'accord avec la table de Clavius, sauf quelques fautes d'impression qui sautent aux yeux. Celle Table a pour titre Table pascale. On la trouvera ci-après, telle que le calcul me l'a donnée, en suivant les formules et les règles ci-dessus établies {voyez après la Table I ).

RÉFORMATION DU CALENDRIER: tg Donnons quelques exemples, et prenons au hasard l'an 4goo qui rendra nécessaires tous les termes de nos formules.

A=49oo, S = 4g, S— 16=33, S — i5=5/l} S— i7=3a,

Ces premiers calculs serviront pour toutes les années , depuis 4900 jusqu'à 5ooo.