o.oo
Kepler ne va pas plus loin; tous ces logarithmes sont dans sa Table; mais réduits a 7 décimales.
Nous voyons que dans ce système, logi =z: 6.90775. 54o34j c'est ce lui de 1000 parmi les logarithmes naturels.
£ log 1000 = log 10 fl.3oa58.5i344|
C'est le logarithme de décuplication de Képler; il sert à trouver les nombres de la série ascendante et descendante.
logo.ï=logképlcriendeio.oo=Iogiooo+logio. Q.aio34.o5378=s1og ioooo W.
log 0.01 1.00. 1 1 .5i3g a. 567ao=Iog 100000
logo. 001 10 i3.8i55i .o8o66=s1og 1000000
logo. 0001 1 16. 1 180g. 5g370ï=log 10000000.
Ce dernier logarithme est le premier de la Table de Képler. Nous y sommes arrivés par l'addition continuelle du logarithme naturel de 10, qui est son logarithme -décuplant, mais qui, dans le fait, est sousdécuplant.
log 1, ou log 100.00 de Képler.. 6.90775. 54o54 C. log décuplant.. 7.69741.48656
log 10, ou log 1000.00 de Képler.. 4.60517.02690
log 10000.00 a.3oa58.5i5.*5
log 100000.00 0.00000.00000.
' C'est le dernier et le plus petit de la Table de KépUr.
KÉPLER. 5i7 îogia, ou log 1000.00 de Kepler.. 3.3oa58.5i3i5
log 2.... 0.69314.71930
logio-floga t= logao, ou log5oooo.oodefcépler. . 2.99573.23275 logio— loga = log 5, ou logaoooo.oo 1.60943.79415.
Ce logarithme 5, il le nomme logarithme quintuplant , on qui sert Si trouver le logarithme d'un nombre cinq (bis plus petit ou cinq fois plus grand, suivant qu'on l'ajoute ou qu'on le soustrait;
alogflj ou log Képi. 26000. oô... i.3862g.4586o 31oga, ou log Képi. ia5oo.oo... 3.07944.15790 logio-r-aloga=logio+log4=slog4oŒ=logKépl.a5oo.oo. 3.68887.95205
log 4o de Wolfram... 3.68887.94.641
difierence... 00664.
Log « = 49900.00 de Ke'pler. . . 0.69514.9a — loga, ou* log doublant. . . 0.69514.7a
log 99800. 00= log sin 86* 3a'33"... o.ooaoo.20 log n -f- log a = 24950 . 00 Kepler ... 1 . 38829 . 64.
Log g5oo.oo Kepler sin 5* 27' 3". . . 2.35567.85 log quintuplant ... 1 . 60945 . 79
log 1900.00 sin 1* 5' 20". . . -3. 9653 1. 64
log 47500.00 sin 28. ai. 35.. . . 0.74444.06.
On voit que ces logarithmes et ceux de tous les nombres premiers
doivent jouer un grand rôle dans la construction de sa Table.
Après ces préparatifs, qui ont quelque obscurité dans l'ouvrage et ne sont que des applications des principes de Néper, Kepler passe aux moyens qu'il a imaginés pour déterminer ses 1000 logarithmes.
L'obscurité que nous lui reprochons tient en partie à l'usage des | / A— quatre zéros ajoutés pour déguiser l'usage des fractions décimales, dont *~^'/*^. j*4f\ on n'avait pas encore une idée bien nette ou bien complète. j *"7" r* /zj.
Pour les cent logarithmes de 10000.00 à 9900.00, il suit la méthode de Néper; mais comme avec ses sinus en nombres ronds, il n'a pas de cosécantes, il cherche d'abord les quotiens de etc. ; les quo- (
tiens sont les cosécantes cherchées. 11 prend les moyennes arithmétiques et géométriques entre deux cosécantes consécutives; il trouve qu'on peut négliger la différence dans les cent premiers logarithmes, et qu'on
5i8 ASTRONOMIE MODERNE,
peut avoir les cent premiers logarithmes par l'accumulation de leurs différences, trouvées par les moyennes, c'est-à-dire par le théorème de Néper (page 497 el 49^)-
Il a donc les cent premiers logarithmes; il choisit d'abord ceux des nombres qui ont beaucoup de diviseurs, comme 960. A ce logarithme de 960 il ajoute son logarithme doublant, qui dédouble, et il aies
logarithmes de 480, a4°> 130> 60, 3o et i5, c'est-à-dire
48000.00. . .Sooo.oo,
Il vient de trouver le logarithme de 3o. .. . . -. 5.5o655.7p,65
il le retranche du log de 10, ou 1000.00 ci-dessus. . . . 4. 60517. 0281
il a le logarithme triplant (ou sous- triplant) 1. 09861. 25i6
il le retranche du logarithme de l'unité 6.90775.5422
il a le logarithme de 3, ou de Soo.oo sin o*kio' 19". .... 5. 80914.3106, Fn effet, log (^?) — log (^?)=log 1000— logio— Ïogioooo+log3o
=log3o— log 1 o=lpg ^)==bg5.
Il trouve encore son logarithme triplant d'une autre mauière, en la déduisant du logarithme de 900, on du logarithme de 90000 .00, car
,000 : 900 :: 9000 : Î152222 « 8,oo ,
et ,ooo : 8100 :: 8.00 ; 8-i^£2 « «J§i222 = 656io;
Log 900 , ou 90000,00. io536.o535 quadruple, ou log 656 10000. . . 4ai44.ai4o loglépl, de 1000 ci-dessus. . . 9r2io34.o563
log 1000 — log 656 10000. . . 8.78889.8423 656i = 2187. 5 = 729. 3*=8i.3*=27. 5s=c3*. .. 1.09861.2503
aiosi le huitième du log 656 1 sera le log 3.
Nous l'avons trouve ci-dessus. 1 .09861 . 23i6.
La raison de cette différence est que le logarithme 900 était un peu trop fort.
Troisième manière.
1000 : 960 :: 9600 : 9216 ==9.1024 = 9.2" = 5\ 2"; an aura donc le logarithme de 3, ou le logarithme triplant.
KEPLER. 5i9 Àulog.byp. de ioa4, ou au log. décuple du doublant. . . 6.93147.1928 ajoutes alog 96000.00 . 8i64.4oo2
ôtez la somme 7.01311.5930
de log 10.00. . . 9.aio34.o565
alog 3 ,'ou log 9 de Wolfr. = log 3* . . . a - 19733 .4633 moitié, ou log triplant, comme ci-dessus... 1.09861.3316
log de Wolfram ... 1 . 09861 .3389
différence... 0.00000.0037..
Log 60. 00 de Kepler. . . 5.11599.59 log triplant. . . 1 .09861 . a3
log 180.00 de Kepler. . . 4.01738.36
54o.oo a. 91877.13
Le logarithme doublant de Kepler est le logarithme de a. Le logarithme triplant est le logarithme de 5, et ainsi des autres.
Log képlérien de /* = log(^£) de Wolfram, ou des Tables d'aujourd'hui.
Log»- log multipliant par n = log(^2) -log » = log (^).
Log m — log multipliant par n = log — log n = log t=t log képlérien de mn.
Log képlérien de Q =r log (^p) — log (^p) =log 1000— log m
— logioooH-logrt= log/i — logm de Wolfram.
Le logarithme décuplant est le logarithme hyperbolique de a; le dé-; copie sera le logarithme de a'*.
Au log de a" 6.93147.1938
ajoutez alog(^) 8i64.4ooa
, /Jca.{. 1000. iooo\
tous aurez log ^ ^q — y ... 7 .oi3n . 0930
sa moitié 3.5o655.7965
sera ï°g(^)> oulog3o, ou log3ooo.oo de Kepler.
5ao ASTRONOMIE MODERNE.
/I00\ /iooo\
L°g(^f)> ou l°g3o de Kepler 3.5o€55,795
logiooo 6.90775.540
log. hyperbolique de 3o,.... 3.40119.745 log. hyperbolique de 10..... a.3oa58.5i3
log 3 , ou log triplant ..... 1 . 09861 . a5a.
Ainsi nous arrivons au même résultat, par une voie toute différente, quoique nous commencions par les mêmes- logarithmes,
Kepler a donc les logarithmes doublant, triplant, quadruplant, quintuplant, octuplant, noncuplant, décuplant; il va chercher le logarithme multipliant par 11, c'est-à-dire le logarithme hyperboliqmo de 11.
Selon Kepler, le log. de 990 est ioo5.o33i
le log. décuplant est a.3oa58.5i3
log Q~)f ou loggg, selon Kepler , sera .. . a.3ia63.546i
logiooo,.. 6,90775.54
log 99 4.59511.9959
log 9... — 9. 1972a. 4653
log il, ou log undécuplant. . . a. 59789.5306 log hyperb. 1000. , . 6.90775.640
log (^), ou log 1100.00 de Kepler . . 4.60986.0094.
Nous avons un peu modifié le calcul de KçpUr; U Y* chercher le logarithme 7, ou le logarithme septuplant,
car, à la manière de Néper,
(q8o\ /îooo — ao\ ao a
KÉPLER. 52i
Log g6o4 = log (4. 7*). . . o.o4o4o.54aa log quadruplant. . . i.586ag.456i
log(7<), ou logC^)». . . 1.42669.9713 log (^)... quart. .. 0.35667.4946 log 10. . . a.3oa58.5i3
log7, ou log septuplant. . . 1.94591.0184.
Ce logarithme (-V1), ou ce log de 700 est celui par lequel Kepler avait commencé ses recherches; il avait trouvé 0.35667.4948, «ci il ne trouve que 46» 1* valeur exacte serait 44-
Par des opérations entièrement semblables,
1000 : g5o :: g5oo : goa5 = 5.i8o5 = 5\36i = 5'. 19*; il aura donc le logarithme de 19, le logarithme novem-décuplant et log (^)> qui sera le logarithme de 1900.00, suivant la notation de Kepler.
Au logarithme de 988, ou log (^gj)> ajoute» log 4, vous aures
l0«(1^r)5B!l0«(î^)SS3,o*(ii^)î a,'oalM lo^^> il viendr*
log(^°)' Iog.ooo-log(^)=logi3.
A log 969 = log Qjç~) , ajoute* log 3, vous aurez log
logképlérien de 17.
A log 986=10^) log vo« «rex |^(-°)=|^(^) .
ajoutez log 17, voua aurez i°g(^-) et log 29.
A log 966 =log(^£), ajoutez log a, log 5 et log 7, vous aurez
A log (930) = log Q^)> ajoutez log 3 et logiO, vous aurez log(-§7~) et log3i.
A présent nous avons les logarithmes de tous les nombres premiers depuis 1 jusqu'à Si , dont le carré est 961.
Hist. de FAstr. mod. Tom. I. 66
Aucun nombre multiple de nombre premier, passé Si, ne se trouve dans les 900 premiers nombres de la table.
Avec tous les logarithmes trouvés, et avec tons les logarithmes multiplians, on remplira presque toute la table; il ne restera que quelques lacunes , que Ton remplira à vue par les différences ou par le calcul du théorème de Néper, qui sert à trouver la différence entre deux logarithmes consécutifs.
Ces moyens ne supposent donc rien que les idées générales qui naissent de la nature des logarithmes ou des théorèmes de Néper. Mais ces moyens sont un peu détournés, car avec les logarithmes de 1000 à 900, j'ai refait la Table de Képler en entier, en employant successivement chacun des 100 logarithmes connus , sauf ceux qui appartenaient à des nombres premiers. J'ai cependant eu besoin de quelques nombres qui passaient 1000 et dont les logarithmes étaient faciles à trouver 5 ce sont les suivans :
100a = a.ôoi =s a. 3. 167 ioo4 = a.5oa = a».a5i 1006 = a.5o5 1011 = 5.337
1016 = a.5o8 = a*.a54 = as.ia7
io43 =a 7.149
io38 = a.ôig 5=5 a-3. 173
io55 = 5.211
Le titre de Chiîias logarithmorum ne promet que mille logarithmes et la Table en eonlient 36 de plus ; mais cette partie est une espèce de hors-doeuvre auquel Képler donne le nom de vestibule. La véritable chiliade ne commence qu'au nombre 100.00 et va jusqu'à 100000.00. Nous avons déjà vu que l'unité de cette série est 100.00, et que 100000.00 n'est vcrilablement que 1000, Képler ayant ajouté quatre zéros partout, pour éviter les fractions décimales. Mais avant 100.00 véritable unité, on trouve les nombres
90.00, 80.00, 70.00, 60. oo, So.oo, 40.00, 3o.oo, ao.oo et' 10.00
et 0,1,
qui font
c'est-à-dire des dixièmes de l'unité factice 100.00. Avant cette série fractionnaire, on en trouve une autre qui descendue
KEPLER. 523 de quatre ordres, signifie véritablement 0.09, 0.08, 0.07, 0.06, o.o5, 0.04, o.o3, 0.02 et 0.01.
Cette série de centièmes est encore précédée de celles des millièmes et des dix-millièmes; en sorte que le nombre 1 , qui est le premier sinus on nombre de la Table , est véritablement 0.000 1 ; ces 36 nombres forment quatre séries de 9 termes chacun, où Ton voit reparaître quatre fois dans le même ordre les différences des logarithmes ', quoique les logarithmes soient bien différens.
La construction de cette partie de la Table est donc bien facile à comprendre; Képler n'en dit pas un mot, il s'est contenté de montrer par quelle voie il est arrivé au logarithme de o. 1 ou 10.00. On peut être étonné que sa Table ne soit accompagnée d'explication d'aucune espèce ; cela est d'autant plus singulier, qu'à cette époque, la théorie des logarithmes était très peu répandue, et que le plus grand nombre de ses lecteurs étaient peu en état de deviner à quoi pouvait servir sa chiliade et les diverses colonnes dont elle se compose. Il va nous donner luimême la raison de toutes ces singularités. On la trouve dans un opuscule qu'il publia peu de tems après sous le titre de
Joânnis Kepleri supplementum Chiliadis logarithmorum, continens prœcepta de eorum usu.
Il nous y apprend qu'en 1621 , étant allé dans la Germanie supérieure, il y trouva de fréquentes occasions de s'entretenir avec plusieurs mathématiciens des logarithmes de Néper; il avait ainsi reconnu que tous ceux dont l'âge avait augmenté la prudence et diminué l'ardeur , balançaient à profiter de la nouvelle découverte ; qu'ils trouvaient honteux pour un professeur de mathématiques de montrer une joie puérile, en voyant les calculs ainsi abrégés par une méthode qui, n'étant pas rigoureusement démontrée, pouvait les jeter dans des erreurs graves au moment où ils y penseraient le moins. Ils se plaignaient que Néper eût bâti sa doctrine sur une notion étrangère de mouvement sur laquelle on ne pouvait fonder aucune démonstration solide. Telle fut, dit Képler, la cause qui le porta à chercher si l'on ne pouvait trouver une démonstration qui pût passer pour légitime. C'est ce dont il s'occupa à son retour à Lintz. Que ces objections lui aient été suggérées par d'autres, ou qu'il les ait faites lui-même, il semble qu'il aurait pu facilement y répondre. 11 est vrai que les considérations defluentes, de fluxions, de lignes et de points en mouvement sont totalement étrangères au sujet; mais effacez le peu de lignes où il en est question, les calculs de Néper n'en subsisteront pas moins,
5a4 ASTRONOMIE MODERNE
De deux nombres, en une certaine proportion, retranches des nombres proportionnels, les restes seront proportionnels.
Des nombres g et 10 retranchez à chacun un dixième, il vous restera 8. i et 9, et vous aurez io:g::g:8.i, 9x9=10x8. 1 =81. Voila le théorème fondamental de Néper; c'est ainsi qu'il a formé ses Tables préparatoires. Donnez à ces Tables une étendue suffisante, et vous y trouverez des nombres sensiblement égaux à tous les nombres naturels , aux sinus et à toutes les quantités numériques possibles. Le procédé ne Sera qu'approximatif. Néper en convient ; mais on connaît la limite de l'erreur, on sait qu'il sera toujours permis de la négliger; il est donc également permis d'adopter une pratique si éminemment commode; la joie avec laquelle on l'adopte n'a rien de puéril , et l'on peut dire au contraire qu'il y a une espèce de pédanterie à vouloir ramener cette conception aux lignes ou aux espaces hyperboliques. La théorie de« logarithmes ne doit sa clarté, sa simplicité, sa généralité qu'a des procédés purement analytiques ou numériques; ce qu'elle a d'obscur est dû à des considérations très étrangères qu'on y a fait entrer péniblement. Je n'en veux pour preuve que le livre de Képler et celui de Mercator.
Qui s'avise aujourd'hui d'aller étudier dans Euclide la théorie des nombres et celle des proportions ? Ces subtilités sont plus nuisibles qu'utiles; on perd à les concevoir et aies démontrer un tems dont ou pourrait faire un emploi plus profitable et plus judicieux.
Képler ne pensa pas ainsi; il s'occupa d'abord de la démonstration; il n'eut pas le tems de songer aux usages vulgaires. 11 envoya sou manuscrit au landgrave, auquel cet écrit ne parvint que long -tems après ; le prince le fît imprimer , et Képler n'en fut informé que par le catalogue de la foire de Francfort; il s'était déjà aperçu de ce qui manquait à son manuscrit; il composa le supplément dont nous allons rendre compte, et dans sa préface, il se disculpe des reproches qu'on pouvait faire au titre de sa Ghiliade. Il y annonce la démonstration d'une découverte , il reconnaît donc un inventeur. C'est à cet inventeur que s'adressent les éloges pompeux , mais si bien mérités, qui alongeut le litre. Ces éloges n'ont été ajoutés que pour engager quelque libraire à se charger de l'impression. Tout cela peut être vrai, mais il n'aurait eu aucun besoin de s'excuser s'il eût nommé l'inventeur. A présent que le livre est i mprimé, il va sooger à le . rendre utile à ceux qui en ont fait l'acquisition. Il va leur montrer comment ils. doivent, s'en servir.
KÉPLER. 5a5
11 parle d'abord du vestibule. Mais pour nous faire entendre, nous allons placer ici un échantillon de la Table de Kepler: Nous donnons d'abord les comraencemens des quatre séries de neuf ternies qui forment le vestibule. De cinq colonnes, il n'y en a que deux qui soient remplies, l'une par les nombres et l'antre par leurs logarithmes. Kepler dit que les autres sont restées vacantes, parce qne cette partie de la Table, ne peut servir aux mêmes usages que le reste.
Dans la première colonne de la chiliade, on voit des arcs en degrés, minutes et secondes; ce sont ceux auxquels appartiennent les sinus ea nombres ronds qui sont à la seconde colonne. On sent que ces arcs ne peuvent être exacts, à la réserve de celui de 3o" et de celui de 90', dont les sinus sont î et 1.
Dans la quatrième, sont les logarithmes des sinus de la seconde. Ils sonl ronds, car les quatre derniers zéros ne comptent j>as. Ceux qui ont moins de quatre zéros sont fractionnaires. Voilà donc des fractions décimales , mais déguisées.
Ces sinus ne sont sinus que par rapport aux arcs de la première colonne; ils sonl des nombres si on les rapporte aux quantités des colonnes troisième et cinquième.
La troisième colonne suppose l'unité partagée en 24*0' 00" ; 24* répondent à 100000.00; a5» 58' 34" et 99900.00 sont des expressions relatives et identiques.
La cinquième colonne suppose l'unité divisée en 60*0' o", comme le rayon ou le jour des Grecs.
Si vous prenez zéro pour logarithme dea4à'°> les autres logarithmesseront ceux des heures , des miaules et secondes qui sont 6«r la même ligne dans la colonne troisième.
Si vous prenez o pour le logarithme de 60*0' o*, les autres seront les logarithmes des parties sexagésimales correspondantes.
Les deux derniers xéros des sinus sont séparés par des points; on les négligera si l'on veut se contenter d'un rayon de 100000. Néper avait suivi cet exemple donné déjà par les auteurs des Tables des sinus et suivi encore de t»os jours. On peut de même négliger les deux damiers chiffres des logarithmes qui sont également séparée par des points.
Les nombres de la quatrième colonne ne sont pas nombres, mais logarithmes, non a/»ifyt»î , sed Aoy*f.fyii). Aucun de ces logarithmes n'est rigoureusement exact.
5a6 ASTRONOMIE MODERNE.
