aoo.ao 100. i5 100. o5 100. o

Arc*.

Sinus ah

Heurts, minute» et

Logarithmes ei

leur* différence*.

>rx,igi»imalc*.

KÉPLER. 5a7 11 enseigne à trouver le logarithme d'un nombre ou d'un sinus et le nombre ou le sinus dont le logarithme est donné. Voici maintenant à quoi servent les colonnes troisième et cinquième qui distinguent particulièrement sa Table de toutes les autres.

Les éclipses se mesurent en doigts. Supposons que la partie éclipsée renferme £ de la circonférence, ou 6o*; il restera 3oo% dont la moitié, i5o* =90* -f-6o°; le sinus de 90* est 100000; celui de 6o* est 866o3 ; à côté de 100000 vous trouvez a4* o' o"; à côté de 8660 3 vous avez ao* 47' a", total , 44* 47' a"» dont Ie quart est 1 1* 11' 45". Ce sont, dit Kepler, les doigts retranchés du diamètre, en supposant que l'ombre soit terminée par une droite perpendiculaire au diamètre. Ce premier exemple n'est pas présenté bien clairement.

Soit (fig. 77) AB=Go' l'arc éclipsé, le segment éclipsé AMBGA, on demande MG.

AB=6o', donc AM==3o% d'où AF=6o', GC = sin6V=o.866o3

CE =.rayon = 1

EG= i.866o3 EM=

MG= 0.13397, ou plus simplement , MG = CM — CG = 1 — o. 866o3 =0.1 3397 ;

multipliez par 6, nombre des doigts du diamètre o'.8o38a. Avec nos tables modernes, nous dirions

MG = asin'iMA = asin»i AB = asîn» i5« ; et comme le rayon vaut 6 doigts,

MG = C.a.sin* i5' = lasin* i5° s= od.8o385.

Ainsi les simples tables de sinus, soit naturels, soit logarithmiques, résolvent le problème beaucoup plus simplement, et Képler prend un détour inutile. Selon lui, ia* — 1 1* 1 1' 45" = od48' i5", ce qui est bien plus long, moins exact et sur-tout bien moins clair.

Si l'éclipsé est d'un doigt, ou de £ du rayon, i*^*. = 16666 .666 : Képler trouve par sa Table 16675.00 environ.

Ptolémée et ses imitateurs expriment le rayon en parties sexagésimales ; cherchez ces parties dans la Table de Képler, cinquième colonne , vous aurez dans la seconde, sur la même ligne, la valeur du sinus en déci-

5a8 ASTRONOMIE MODERNE,

malcs. Ceci est plus simple, mais la Table n'est pas assez étendue; Topération sera longue et inexacte.

Dans l'usage de l'Astronomie de ce lems, on avait souvent à convertir les heures de 34 à la journée en heures dont il faut 60 pour un jour ; la comparaison des colonnes troisième et quatrième vous donnera la conversion que vous cherchez, mais inexacte et incommode, à cause des parties proportionnelles.

La table peut servir encore à changer les heures en degrés , et réciproquement, mais avec la même inexactitude et la même peine.

On avait alors des tables étendues des mouvemens diurnes des planètes; le mouvement diurne étant donné, on trouvait à vue dans les tables le mouvement proportionnel pour les heures, les minutes et les secondes. La table de Kepler aurait ici quelque avantage, si elle était plus étendue.

Soit le mouvement diurne delà Lune i4*a3'; on demande le mouvement pour 19*43'; la règle est de faire

24» : 19*42' :: 14» aS' : x; cherchez dans la table i4°a5'; prenez le log 5iaoo

ôtez log a4*... 00000

log iï'48' » 70930.

Avec la somme des deux logarithmes pris dans la table , vous trouvez la quatrième proportionnelle que vous demandiez. Il est inutile de faire attention au logarilhme de 34*, comme à ceux de 60' ou de 10000, qui sont également zéro. La Table de Kepler est donc le premier modèle de nos tables de logarithmes logistiques.

comme les tables de Néper et de Képler donnent log (^) an Heu

de log/i.

On pourrait dire que Néper est encore l'inventeur des logarithmes logistiques, mais Képler est le premier qui en ait fait et qui en ait indiqué l'usage.

Les Tables de Hexaconlades, ou des parties sexagésimales, que noua

KEPLER. 5a9 avons donnée à la fin de notre Arithmétique des Grecs, était alors d'un usage continuel dans les calculs astronomiques. La Table de Kepler peut la remplacer jusqu'à un certaiu point , quand on ne cherche pas une exactitude bien rigoureuse. C'est ce que Kepler expose bien longuement, car l'opération par sa table est assez minutieuse. Nous ne le suivrons pas dans ces détails, qui n'ont aucun intérêt.

II vient à l'usage de sa table pour le calcul des triangles sphériques; elle est en cela bien moins commode que celle de Néper, mais l'usage en est le même. Kepler n'emploie ni tangentes, ni>écantes;il résout tous ses problèmes par les sinus. Toutes les règles de la Trigonométrie sont des

règles de trois; c'est toujours a : b :: c : x = ^-, ou logx = log b + loge — log a.

Au lieu de cela,Néper etKéplerfontlog(^)+4og(^)-log(^), c« qui revient à

log iooo — log b -f- log iooo — log c — log iooo -+■ log a = log iooo— logft— logc+loga=logx = log^i~ j==dog(^).

L'usage des Tables népériennes est donc le même que celui des tables modernes, ou plutôt, en substituant les logarithmes usuels ou vulgaires aux logarithmes de Néper, on n'a rien changé ni aux propriétés, ni aux usages des logarithmes primitifs, inventés par Néper précisément pour ces usages.

II enseigne à trouver le logarithme d'un nombre (n-\-dn) qui n'est pas dans sa table; il se sert du théorème de Néper, log(«-Hf»)=logn-+- ~ ;

il traite du problème inverse dn = n[\og(n+dn) — logn].

En expliquant les moyens de remplacer la multiplication des nombres par l'addition, la division par la soustraction, etc., il choisit un exemple qu'il qualifie de noble (et nobile quidem), précepte i4'« Soit 687 la période de Mars, 565 £ celle de la Terre ; il se propose de partager la proportion de ces deux nombres en deux autres, de sorte qu'on ait cetle analogie:

la plus grande : la plus petite :: 2 : 1 ,

et que la plus grande soit du côté du petit terme, ou que la proportion totale soit sesqui-altère de la grande.

ffist. de l'Jstr. mod. T. I. 6j

53o ASTRONOMIE MODERNE.

log 68700... 37542 log 365,25- . . 100740

quantité de la proportion.. . 63ig8

le tiers est... 21066

les deux tiers. . . 4ai^2

ôtez les deux tiers de log565,a5. . . 100740

reste le log. de 5565o . . . 586o8 ;

en conséquence, 36525 : 5565o :: 100000 : i5254 ,

ou 1 : f|fH :: 100000 : 15254 : 1 :£ presque.

Cette manière de poser et de résoudre le problème, n'est pas ce qu'on pouvait imaginer de plus lumineux. Képler ne dit pas qu'avec trois logarithmes il aurait pu trouver le rapport des tems et des distances, qui lui a coûté tant de tems et de calculs. Voyez ce que nous avons dit dans l'extrait de Y Harmonique du monde, page 356.

On voit en général, à la longueur des explications et a la complication des préceptes, que Képler avait donné nne forme très incommode à sa table; aussi la changea- t-il presque aussitôt pour les Tables rudolpliines. Peu satisfait encore de son nouvel essai, il la retravailla, la fît retravailler par son gendre, Bartschius, qui la publia en i63o. Képler mourut peu de tems après, le novembre i65o. Bartschius, attaqué de la peste, le suivit de près. Il venait de terminer quelques autres tables dont les exemplaires sont très rares. Un de ces exemplaires tomba entre les mains d'Eiscnschmid, qui le fil réimprimera Strasbourg en 1700. Je ne connais que celte édition, dout voici le titre :

Joh. Kepleri et Jacobi Barlschii Tabula? manuales logaritJunicœ , ad calculant astrononticum, in specie Tabularum Rudolphinarum compendiose tractandurn mire utiles, quitus aceessit inlroduclio nova curante Joh. Gasp. Eiscnschmid. jfrgcntorati , 1700, m-12.

On y trouve la Table népérienne des sinus de B. Ursinus, pour tous les arcs du quart de cercle de 10 en 10'', mais à cinq figures seulement, c'est-à-dire avec trois de moins que dans l'original. La table des tangentes vient ensuite; elle est de même pour toutes les dixaines de secondes. Képler avait calculé les logarithmes des cosinus des petits arcs, de 10 en 10", depuis o° jusqu'à 20 7'. Bartschius les étendit aux secondes de 3 en 2.

Képler avait long-tems cherché des moyens commodes pour calculer

KÉPLER ET BARTSCHIUS. 55i l'élongation ou la parallaxe annuelle des planètes ; c'est-à-dire à trouver le plus petit des deux angles d'un triangle rcctîlignedont on connaît deux côtés et l'angle compris. Soient C et Clés deux côtés; il faut connaître /Ci ■+- C'\

yé — C)' a'orsoa en cnerCQe le logarithme dans la Table de Bartschius.

On y ajoute le logarithme de la tangente de la demi-commutation; on a le logarithme tangente de la demi-différence de la demi-commutation à l'angle cherché.

Tout cela est encore bien long, et l'embarras tient à la forme des Tables de Képler ; on a beaucoup mieux aujourd'hui. Remarquez que

Képler emploie (§-^1?) langî A, au lieu de (c Z c')cot ^ ^ue nous emploierions aujourd'hui pour trouver la tangente de la demi -différence des angles inconnus. Képler trouve la colangente de la demidifférence, ou tang(go° — \d). Nous avons ensuite le plus petit des deux angles = 90° — \K — £ = P

=(90--^)-iA.

Képler trouve P =(90° — ~d) — À, ce qui revient au même. Par cette forme, il évite les fractions et les logarithmes négatifs.

Nous avons dit que la quatrième et la cinquième colonne de la Table de Képler étaient une table de logarithmes logistiques assez incommode et assez peu exacte. Bartschius la perfectionna en l'étendant à toutes les secondes de degré, et lui donna le~tilre de Trichd-Hcxacosias , canon mamtalis sexagcsitnonun et horariorum ad singula minuta secunda sexagesima exacte supputatus.

Pour composer celle Table de Bartschius, du logarithme

hyperbolique 36oo, qui est 8.188689.12

ôtez le log. de 1 , qui est o

vous aurez le log. logistique de 1" 8.188689.12

ôtez le log. de 2, qui est 0.695147.18

vous aurez le log. logislique de 2 7.495541.94

ôtez log 2 continuellement, vous aurez log logist.de 4. . . 6.80^394.76

de 8... 6.109246.58 de 16. . . 5.416099.40.

Vous aurez ainsi tous les log. de

la progression 1, 2, 4> 8, 16, etc.;

vous auriez de même ceux de 1, 3, 9, 27, 81, etc., par le log de 3,

et ceux delà série 1, ntn% n\ etc.

55a ASTRONOMIE MODERNE.

Ces logarithmes logistiques sont donc réellement les logarithmes

hyperboliques de (^p). Soit n = 36oo , log(|J§)=,0g 1 = 0 i ^'i

a4* = 24«36oo", les logarithmes de la table seront ceux des secondes horaires, de a4 en 24". La table peut donc servir pour les parties du jour comme pour celles du degré.

Voici le commencement de cette table.

Parties du degré.

Parties du jour.

Infini.

L'éditeur expose tout cela d'une manière un peu succincte. Cette dernière table pourrait encore servir aujourd'hui. Soit i- : i5'49":: 18' 35": x.

Cherchez log 18' s5" ... 1 18109 ]ogi5.49.." i33528

logo: = log 4»5I;29 « 351437.

Par la Table des logarithmes logistiques de Gardiner on de Callet,

i8'35"... 5139 15.49. ^79° logjr = log 4-5i,3... 10919.

Logarithmes de Briggs.

Après avoir parlé du travail de Kepler, il est juste de donner ici une idée des travaux plus imporlaus et plus originaux de Briggs , premier auleur des logarithmes dont on se sert aujourd'hui.

Kepler n'avait rien changé au système de Néper; il n'y a de vraiment nouveau dans son livre que sa table des logarithmes logistiques.

Briggs a changé le système; il est vrai que Néper paraîtrait en avoir eu l'idée et l'avoir indiquée dans un des derniers chapitres de son livre,