BRIGGS
où môme îl donne le logarithme de a suivant ce nouveau système. On croit communément que Briggs en est le premier auteur. Voici , à cet égard, ce que nous apprend le docteur Hutton, dans son Introduction aux Tables trigonométriques.
M. Henri Briggs , non moins estimé pour sa probité et ses éminenles vertus, que pour son habileté dans les sciences mathématiques, était professeur à Londres, au collège de Gresham, en 1614, lorsque la Table de Néper fut publiée. Il se mit à l'étudier et à la perfectionner. Jamais il n'avait rien vu qui lui eût causé plus de plaisir et plus d'admiration. Les logarithmes auxquels il travaillait n'étaient pas ceux de Néper, dans lesquels la raison de 10 à 1 est exprimée par a.5oa585. 1; dans son premier essai, Briggs exprimait cette même raison par l'unité. II parait donc avoir, le premier, eu l'idée de changer le système. 11 fît part de son idée à ses auditeurs, il la communiqua même à Néper, qui répondit qu'il en avait lui-même eu la pensée; c'est ce qu'on voit par un passage de son Arithmétique logarithmique : « En expliquant cette » doctrine à mes élèves, j'ai remarqué qu'il serait plus convenable, m en conservant o pour le logarithme du sinus total, de faire de » 1 0000000 le logarithme du sinus, qui est un dixième du rayon, » c'est-à-dire le sinus de 5* 44' ai" environ. J'en écrivis même à l'au- » teur, et les vacances étant arrivées, je partis pour Edimbourg. Je » fus bien accueilli par Néper, je demeurai avec lui un mois entier; il » me dit qu'il avait eu l'idée de changer le système, mais qu'il avait » préféré de publier la table faite, en atteudant qu'il eût trouvé le » loisir de calculer des logarithmes commodes. Quant à la manière d'ope* j» rer le changement, il tronvait plus avantageux de faire de o le loga- » rilhme de l'unité, et de 1 le logarithme de 100000. Je convins qu'en » effet cela valait beaucoup mieux. Rejetant donc ce que j'avais déjà pré- » paré, d'après ses exhortations, je commençai à calculer les logarithmes » que je publie; je retournai à Edimbourg l'été suivant, pour montrer » à Néper ce que j'avais calculé , et j'en aurais fait de même l'année » d'après, s'il eût encore été vivant. » ^
M. Hutton conclut de là que Briggs est l'inventeur de l'échelle actuelle qui fait de 1 le log de 10 , et que toute la part que prit Néper à ce changement, fut de lui conseiller de commencer la table au nombre 1 , et de faire croître les logarithmes avec les nombres; ce qui ne changeait rien aux chiffres de Briggs. Toute la différence était que les logarithmes négatifs devenaient positifs et réciproquement, suivant la petite table ci-apret.
Ainsi, puisque Briggs nous dit avoir rejeté ce qu'il avait fait d'abord, c'est que probablement il avait cherché, comme Néper, les logarithmes des sinus, au lieu de chercher d'abord ceux des nombres naturels; sans quoi il n'y avait rien à rejeter, il eût suffi de changer les signes.
| Brigg».
Nombres .
Néper.
O.OOI
O.Ol
lO
lOO
lOOO
Hh 5
Briggs, à son retour à Londres, y publia ses mille premiers logarithmes sous le litre de Logarithmorum chilias prima; ils sont à 8 chiffres, sans compter la caractéristique. Il est à croire que cet ouvrage ne parut qu'après ia mort de Néper, arrivée le 3 avril 1618; car, dans la préface, l'auteur exprime le désir de voir bientôt paraître les OEuvres posthumes de Néper. Depuis son entrevue avec Briggs, Néper ( dans sa Rluibdologic , imprimée en 1617, et dans une phrase qu'il avait ajoutée a la traduction anglaise de Mirificus Canon), avait fait part au public de l'idée qu'il avait de changer le système logarithmique, et cela sans faire aucune mention de Briggs. L'œuvre posthume publiée en 1619, par le fils de Néper, n'eu disant rien non plus; Briggs se crut obligé de rétablir les faits dans le passage que nous avons extrait ci-dessus.
Mais ce passage même, de l'exactitude duquel nous n'avons d'autre garant que la véracité de Briggs, ne signifie pas que Briggs ait eu l'idée avant Néper; il prouve seulement qu'il l'a conçue de lui-même, sans aucun aide. Quand il la communique à Néper, celui-ci répond qu'il a eu la même idée, avec une différence pourtant qui la rend meilleure encore. Il se pourrait qu'en effet Néper en fût le premier auteur, ce qui n'ôterait rien au mérite de Briggs; et, dans ce cas, on conçoit sans beaucoup de peine que Néper, eu publiant cette idée, la donne comme de lui tout simplement, sans associer personne à l'honneur de ce projet. Néper aurait eu celte pensée saus avoir ni le tems, ni peut-être la volonté de la mettre à exécution; Briggs l'a eue et la réalisée avec un soin, une exactitude que Néper probablement n'y eût pas mise.
BRJGGS. 535
En 1620, deux ans après la publication de la première Cbiliade do Briggs, Edmond Ganter publia son Canon des triangles, qui contient les logarithmes à 7 figures, outre la caractéristique, des sinus et des tangentes pour toutes les minutes du quart de cercle. Ces logarithmes sont dans le système convenu entre Néper et Briggs, et les Tables sont les premières qui aient été publiées sous cette forme.
En iGa3, Gunter porta les logarithmes des nombres, des sinus et des tangentes sur des lignes droites tracées sur une règle, et, par ce moyen, il résolvait les problèmes de Trigonométrie et d'Arithmétique ; ces échelles portent encore le nom de Gunter; el Lemonnier en fait mention dans plusieurs de ses Opuscules, où il en conseille l'usage pour les calculs d'aberration et de nutation.
Gunter fut aussi le premier qui employa le mol cosinus; il employa aussi le premier les complémens arithmétiques , pour éviter les soustractions; il inventa enfin la courbe logarithmique, où les abscisses sont les logarithmes des ordonnées.
Les Tables trigonométriques de Gunter, et la première Chiliade de Briggs, furent réimprimés en France par Edmond Wingate, avec une explication succincte; l'exemplaire que je possède est de 1626, Paris, chez Mclchior Mondière. Hutton dit que la première édition est de 1624. À la fin du volume, se trouvent les différences logarithmiques des sinus cl des taugentes de 3o' en 3o' et de degré en degré; ces différences sont utiles pour la construction des tables; je ne les ai encore vues que dans cette édition de Wingate, et dans les Tables de Lacaille; j'en ai mis de ce genre à la suite des Tables de Borda.
Dans l'édition dont je viens de parler, les huit décimales et la caractéristique sont imprimées de suite et sans aucun point qui les sépare. Il n'y a point de différence d'un logarithme au suivant, du moins pour les sinus et les tangeutes. Pour les nombres, les différences sont entre deux lignes, comme dans Képler et Néper.
L'Arithmétique logarithmique de Briggs est précédée d'un discours où il expose la construction de sa table; ce discours ou traité est partage en 3a chapitres.
Dans le premier, il définit les logarithmes, qui ne sont autre chose que les termes d'une progression arithmétique quelconque, que l'on fait correspondre aux termes d'une progression géométrique ; les plus simples de toutes les progressions qu'on puisse ainsi accoler, sont les suivantes.
Nombres fî i : 10 : 100 : 1000 : 10000 : etc.
Logarithmes f o : i : a : 3 : 4 : e(c»
Les logarithmes de cette progression seront les seuls rationnels; les logarithmes des nombres intermédiaires seront irrationnels, et composés d'un nombre entier et d'une fraction décimale qui ne pourra jamais être qu'approximative; mais, pour éviter les fractions, Briggs ajoute 14 zéros à tous* les nombres. Ce choix arrêté, pour déterminer les intermédiaires,
il cherche des moyennes proportionnelles;^ « X io=ioTaura pour logo, 5. Cette moyenne est 3,1622, etc.
logio« = o,25; logioï = o,i25; log io7* = 0,0625, etc.
Toutes ces moyennes proportionnelles seront l'unité suivie d'un nombre de chiffres dont les valeurs seront toujours décroissantes. Briggs remarque que ces valeurs approchent de plus en plus d'être moitié de celle de la moyenne précédente. Ainsi , à la 54e, l'unité est suivie de i5 zéros, et les 17 figures suivantes, en négligeant celles qui viendraient après, sont l'exacte moitié des figures de la 53e moyenne; et, en effet,
Or, si b commence par i5 zéros, le terme suivant \ b. \ b aura 3o zéros, le troisième en aura 45 et sera insensible; pour les logarithmes, on n'a qu'à écrire, car chacun de ces logarithmes est l'exacte moitié du précédent. Quand on sera parvenu à un point où les/moyennes décroîtront de moitié comme les logarithmes, les diminutions des nombres/seront / proportionnelles comme celles des logarithmes. Ces nombres 'forment , ainsi que les logarithmes, une progression géométrique dont U raison est \.
De la 53e à la 54e moyenne proportionnelle la diminution sera 0.00000.00000.00000.01278. 19149- Î2003. a35} la diminution correspondante du logarithme sera
o. 00000. 00000. 00000. o555i. n5i2. 31257. 82702. u8i5; on aura donc cette analogie, (53* — 54*) moy. : (53* — 54*) log.
o.oocoo oocoo.cocco.f/ : 0. 00000. ccooo.coooo 43439. 4481 9. côiôi .804.
BRIGGS. 537 Ainsi, le log de 1.00000. 00000. 00000. 01 sera
o . 00000 . 00000 . 00000 . 04342 . 9448 1 . go3a5 . 1 804 , celui de 1 .00000.00000.00000.0a sera
o . 00000 . 00000 . 00000 . o&685 . 88g63 . 806 5o . 36o8, celui de 1. 00000. 00000. 00000. o3 sera
et ainsi des autres.
Le nombre 4^4a elc-» c8t 1° Acteur par lequel il faudra multiplier les décimales précédées de i5 zéros, auxquelles on arrivera par les extractions continuelles de racines; le produit sera le logarithme de la dernière racine.
Pour trouver le logarithme d'un nombre premier, prenez entre ce nombre et l'unité un nombre de moyennes proportionnelles tel, que vous arriviez à un nombre qui diffère infiniment peu de l'unité, ou tel, que vous ayez l'unité suivie de i5 zéros au moins; alors les accroissemens du logarithme étant proportionnels à ceux du nombre, vous comparerez le nombre auquel vous serez arrivé, et qui aura i5 zéros après l'unité, à celui de l'opération précédente; ces deux nombres, si peu dîfférens, auront des accroisseniens de logarithmes proportionnels aux nombres qu'ils auront après les i5 zéros; vous aurez ainsi le logarithme de votre dernière proportionnelle moyenne ; vous doublerez ce logarithme autant de fois que vous aurez fait de Dissections, ou pris de moyennes pour arriver à ce terme; vous aurez ainsi le logarithme du nombre pour lequel vous aurez calculé.
Soit n un nombre quelconque; entre n et l'unité prenez une suite de moyennes proportionnelles telle, que la dernière
<p représentant les figures qui viennent après les i5 zéros. / ^ff V*
log <* = 0.00000. 00000. 00000. -f- M. p, 7 / ■
M étant le nombre 0.43429. 44819. o3a5i .804, on l'appelle mod/i/e. p . .
ar log «sera le log du nombre premier pour lequel vous aurez calculé, 2. Im% -af • M*
r étant le nombre de racines que vous avez extraites. '
Cette théorie n'est pas difficile à comprendre, mais elle est épouvantable à pratiquer; on ne l'emploiera que pour quelques nombres premiers.
Hist. de VAsir. mod. T. I. 08
Briggs indique un moyen pour diminuer le nombre des racines à extraire : prenez les puissances consécutives du nombre en question ; supposons que ce soit 2 ; les puissances seront
2, 4, 8, 16, 5a, 64, 128, a56, 5ia, ioa4, etc.
Parmi ces puissances, choisissez celle qui est l'unité suivie de la fraction décimale la plus petite. Ici, nous avons 128 et ioa/f; celle dernière sera la plus commode.
Extrayez les racines successives de 1024, 1024», 1024*, 1024», elc, jusqu'à ce que vous arriviez à avoir l'unité suivie de 1 5 zéros; vous aurez le logarithme de la dernière racine , d'où vous remonterez au log de 1024 ; ensuite log ioa4ac=log 2'°= iolog2, et log 2 = 7; log 2'*.
Nc'per indique brièvement celte mélhode des extractions; il donne même le logarithme de 2 trouvé de cette manière. Mais l'écrit où il en parle n'a paru qu'après sa mort; Néper la devait-il à Briggs, ou l'avait-il trouvée de son côlé? on n'en peut rien savoir.
On se souvient que Képler, par des extradions continuelles, est parvenu au log de ^^=2, et qu'il a trouvé pour log 0.6g3i4<73, parce
que, dans son système, M=i; mais, multipliez son logarithme par M ci-dessus, vous aurc;s 0.30102.995. Ni Néper, ni Képler, ni Briggs, ne songèrcnl à ce module. Ils furent conduits très naturellement à faire, les uns M = 1, ou du moins à le supposer tacitement, l'autre le trouva du 0.4342, etc. C'est ce qui résultait de leurs suppositions.
On voit que la mélhode des moyennes proportionnelles avait été trouvée séparément par Képler et Briggs; rien n'empêche qu'elle n'ait été trouvée de même par Néper, dont la méthode repose tout entière sur des extradions de racines qu'il a fort adroitement remplacées par de
simples soustractions.
Remarquons que les Tables de Néper, celles de Képler et celles de Briggs ont été construites par des raisonnemens et des calculs purement arithmétiques.
Ayant à faire des calculs si longs, il était tout naturel que Briggs examiuàt la marche que suivaient les décimales des racines successives, pour arriver à être cxaclcmcnt moitié de la précédente. Ayant trouvé, par exemple, les deux racines consécutives î-f A et i-f-A' ci-après,
BR1GGS. 5%
i-f-A i.ooo4.85Ô/fo.â6884.e6i98.54935.55
1 H- A' 1 .«oaa.41890.8788a.46856.58087.27
il voyait que les extractions n'étaient pas poussée* assez loin , puisque ;A était encore plus grand que A', et que \A — A' = B était trop fort pour être négligé ; il continue donc les extractions , et la suivante
donne
£A'— A"=B'.... 7.3i3oi. 52082. 3465i .69
JB 7.31389.96573.23443 .85
iB — B'=C 88.44490.976692.16.
{ Ar se rapproche de A", l'excès ressemble beaucoup au quart du précédent ; le nouvel excès ou la nouvelle différence B' n'est pas tout-àfait le quart de la première différence B; il continue,
JB'— B"=sC 11.05444.39127.00
iC 11. o556i.372 11. 5s
Les différences diminuent sensiblement, mais ne sont pas nulles encore; il va plus loin,
iAm 3o333.6i752. 70*548.40080.02
iB" 45703.58144.04258.98
iC 1.38180. 54890.87
Les premières différences se réduisent à peu près à moitié, les secondes
54o ASTRONOMIE MODERNE.
au quart, les troisièmes au huitième, les quatrièmes au seizième, le tout
à peu près, il est à croire que les cinquièmes seront
i -f- A* iooooo. 15116.46599.90567. 29504.88
iA" i5i 16. 58025.28288.79823. 97
fC" 17271.65478.36
JC" — C"' = D".... 45689.43
ji E'" 2.07.
Ici la cinquième différence est £ sans erreur sensible; à présent, on peut obtenir A", sans nouvelle extraction et par la marche des dif-
=£3.07 o.oG5
par le calcul précéd.^D" 2855. 589
donc D' 2855.524
parle calcul précédée"' 2 158.89973. 61 6
donc C'T 2158.87118.093
C,T=iB"— B',B'=iB,T--C,f;
or, iB" 2856.34430.S7579.772
donc BT 2856.32271.50461.680
B'=iA'— A",A"=fAT— B'; M' 7558.25299.95285.64753 .440
donc A"... ooooo.07558.2o445>63oi3. 14290. 760.
Ajoutez 1 , et vous aurez la moyenne proportionnelle sans nouvelle extraction. L'opération est longue et demande de l'attention; ce qui est inévitable quand on veut tant de chiffres; elle est du moins facile, et le devient davantage à mesure que l'on avance.
BRIGGS. 54 c
Ainsi , E"7 = £ E", pour A" ' sera E'" o . 002
