CHAPITRE II

ARITHMÉTIQUP.

Celle des études mathématiques dont il est le plus difficile dç déterminer Tétat pr.écis avant Euclide, après tant de livres perdus, rarithmétique, serait parfaitement connue, en ce qui concerne les Grecs, si Touvrage où Xbéophraste en faisait l'histoire, à l'époque même où s'ouvrait l'école d'Alexandrie, se fût conservé. Cet ouvrage était court; il ne formait qu'un seul livre (1), et ce que les anciens appelaient un livre avait peu d'étendue ; nous y trouverions cependant des indications sur l'origine de cette science et sur ses progrès parmi les Grecs, jusqu'au temps d'Aristote. Ce guide perdu, on est réduit à de simples inductions pour la question de l'origine et des progrès de l'arithmétique.

Suivant Sirabon, les Phéniciens avaient enseigné l'arithmétique les premiers (2). Suivant les Egyptiens, dont les prétentions sont rapportées par Diogène de Laërte, c'étaient eux qui avaient créé ensemble la géométrie, l'astrologie et l'arithmé^.

(1) À|5t0AAtiTix6)v iTTopew». D'iog. Lacrt. tfi vitô Theophrasti, Lil>. V, «7^, n.l3.

(2)*Slrabon (Geogr. lib. XVII, c. 1) dit qu'ils inventèrent Id Logittique et VJrithmétiquf pour les besoins de leur commerce.

tique : Tbot, le fondateur des sciences et des arts, lés leur avait donnés tons ensemble (1).

Il est impossible de trancher cette question d'antériorité par des faits, et il serait hasardeux de la résoudre par des induc^ tions. Il est toutefois certain que les Phéniciens ont eu besoin du calcul pour leur commerce^ et que les Egyptiens ont dû cultiver cette science de bonne heure dans l'intérêt de leur géométrie. On doit donc admettre que ces deux peuples connurent Tarithmétique très-anciennement.

On doit affirmer la même chose des Babyloniens, dont les observations astronomiques, sans être aussi anciennes qu'ils le prétendaient, étaient antérieures au VIP siècle avant notre ère, et demandaient nécessairement la connaissance du calcul.

C'était donc indistinctement chez les Phéniciens, les Babyloniens mi les Egyptiens, que l^ fondateur de l'Ecole d'Ionie avait pu recueillir des notons de cette science, si, dans le siècle de Thaïes, l'Ionie avait eu besoin de faire Cet emfpmtit; Maïs ce besoin n'a pas dû exister, et tout ce qu^on peut admettre, c'est que l^gypte ou la Babylonle a possédé, au iettkpi des voyages de Thaïes, des pratiques plus av&ncèeà ifùt celles du monde grec. Rien ne nous autorise donc, ft ffûclamertes emprunts de Thaïes comme un fait, et l'M ne doit pasMipposet qu'à l'époque de ce mathématicien, des pays aussi .Tlches et aussi commerçants que la Grèce ti Tlonie, cette terne tfuhô eivilisation si remarquable, ti'afent pas possédé i'ai^ du calcul. Cet art est aussi ancien que l'état social, qui en foit Mûè iïi^ cessité. Or, cerbes ta Grèce n'en était pas abrs au début, et il est évident que ce ne fut pas Thaïes, quelque progrès qu*fl fit faire aux études par d'heureuses conquêtes sur l'Egypte ou f Asie, qui le premier enseigna aux Grecs les éléments de l'arithmétique. Ce philosophe a pu perfectionner ce qui était, mais s'il avait inventé un art si précieux, sans doute ses contemporains n'eussent pas manqué de lui en faire hommage.

(1) 9iog. Laëit. in Proh'miq. o. 7.

L'àfiitilniéliqu& ééait! donc< en Grèfie, plus ancienne que Wiflès); DHiîs (Mb ignore) quelles eoimaissanoeti elle possédait) ayant ses tfftvaox. Om ignore celles qufeut Tbalès lai^mème» mais on sait qu'un siècle après lui, Pythagore, qui» avait regui sa preiuiève insIrncUbtii en. lonie^ et qui. avait voyAgfr en Igypt» eofnme Ibalàsv s'était beaucoup occupé de la science ééstmoaabiew. On croit qa'il avait) sédigé la table de multiplàn GBlioiLqui) poct^^ son nom, et fait u». tableau qu un. appareil \fm esèda^enu. oélèbre sous le titse d'Macus (1). NicomaqiuQi^ dBjfiéeaaftet: Boëce^ (fuit savaient l'histoire de racithméti(|iifi( dwB tes^titecs, n'attrilHientà Pytbagoce, A est vxai^ ni l'un ni^ Ktqtre de ces tobteaux, auûsces auteurs ont vécu plusiettiiSi ^otesrapcès Vère chuétienne, et il paraît que la tradition conn nuno smce fait l'est pas dénuée de fondements.

€n dit aussi qu*'à côté des caractères (jb Ifalphabet ea^ pk»féd |o8cpi6nlà pour désigne^ les aombfies, Pytbagoce avait investie 40» signes particuliers pour exprioier Ijes BongjNreft composés, et que ces signes étaient les fax^eux, apùseê^ q/at^ HMHi(iM»nn6' Bodce. Mais la preuve de cette assertion net se trouve ndleparl, et la forme priialtive des apices nous est 'wkn eonoue, eai il est évident que celle qu'(^ voit aujoui?d'but dBoa les mDniiS(^ts de cet écrivain, ressemblent beaucoup trop, wk cèiffi^es arabes pour n'être pas suspects (2).

(f) Voyez sur rAhaeui de Pjtbagmre, Maime rt, é$ numerorum quoi gÊS^pid^ vocant verâ( origine.

(I) (^s, sigae$ se trouvent d^as \m manuscrit de la bibliothèque roya^ (ancien fonds jatin, n^ 7,193, f^ 2), d'après lequel ils sont donnés par M. Nat. de Waillj, Traité de paléographie. Ils se trouvent aussi dans deqn anv^s manuscrits doiu Tuo est à U bibËoibèque de CJiartr^s, r^utrf au Briti$h Muséum, et d'après lesquels ces caractères ont été reproduit^ P9r M. Vincent, qui pense que les manuscrits de Boëce, où les chiffres portent des noms grecs tels que Igin, Andras et Ormis { yw^ , i^^np , et et ép/r.^)» ©u bèbEWX> tels que Arba$ et Çvim»9, eJc. (Vjl^J ei Wl?n) Sont écrits par des Juifs ou des chrétiens. —Voyez ssl Note sur V origine de nos chiffres et sur l'Abacus des Pythagoriciens. — Voir aussi V Aperçu historique sur les méthodes de géométrie, par M. Gbasles^ et VBiHoire des imthéma^igfies en Ualie^ par M. Libii, 1. 1. p 2S, n\.

Les chiffres arabes, chacun le sait, sont originaires de Tlnde et n'ont été communiqués, par cette région , au peaple dont ils portent le nom parmi nous, que postérieurement à l'ère chrétienne.

Pythagore n'aurait donc pu les conntiître qu'autant qu'il aiJH rait été les chercher dans leur patrie. Mais d'abord, ce fait n'est pas probable ; ensuite, il est certain qu'une fois connus daa» la Grande-Grèce, ces chiffres n'auraient plus disparu du monde grec. Mais l'hypothèse, que Pythagore ou ses disciples eua-' ployèrent, pour certains nombres composés, des signesspéciaui et différents de ceux que des copistes familiers avec les chiffres arabes, ont mis dans leâ manuscrits de Boëce, n'en est pas moins admissible. Les Romains employaient des signes ana«^ logues, et comme on doit douter qu'ils en fussent les inveiH teurs, ont peut supposer qu'ils les avaient empruntés moins à l'Etrurie qu'à la Grande-Grèce, puisque à peine quelques trente Heues les séparaient de l'Ecole de Crotone, à l'époque de sa plus grande prospérité.

Quoi qu'il en soit de l'origine de ces signes et de leurpropa** gation en Grèce, deux faits importants pour Vhistoire de l'arithmétique demeurent certains. Le premier, c'est que Pythagore et son école s'occupèrent de la science des nombres plus qu'au* cune autre école grecque, et que le mot et l'idée de nombre dominaient leur système, qui reposait sur les combinaisons numériques les plus variées.(l), au point qu'un historien moderne a pu dire avec- quelque raison, que l'arithmétique des pythagoriciens était transformée en un système de signes hiéroglyphiques, par lequel ils prétendaient avoir représenté l'essence des choses (2). Le second fait est que, si les pythagoriciens employèrent des signes spéciaux dans leur arithmétique, les Grecs n'en continuèrent pas moins, même après Pythagore, à se servir des lettres de leur alphabet pour <lési-

(i) Meursius, DenaHus Pylhagoricus.

\%) Meiners, Hittoire ées science$ en Grèce, 1. 1, p. 209, trad. de La?ea«T.

gaer les nombres. Or, il est certain que ce système ne se serait pas maintenu, si Pythagore avait inventé des signes-chiffres (1).

Il n'en est pas moins vrai que, par l'application de l'arithmétique à la musique (2) et par ses spéculations sur les nombres, l'école de Pythagore avait singulièrement élevé la science du calcul dans l'opinion des philosophes et des mathématiciens. Sans doute, ces spéculations offraient plus, de subtilité mystique que de valeur réelle ; mais elles fixaient sur cette étude une attention féconde en découvertes.

Ardiytas et Philolaiis avaient poursuivi ces travaux.

Platon, qui s'est plu à jeter un problème d'arithmétique mystique jusque dans son Traité de la république^ cultivait la science des nombres comme ces deux savants (S); et il est évident que la géométrie et l'astronomie n'auraient pu être enseignées à l'Académie comme elles le furent, si des progrès notables n'avaient eu lieu en arithmétique depuis Pythagore.

Le grand disciple de Platon, Aristote, apporta une modification essentielle à la notation des nombres, en appliquant les lettres de l'alphabet aux quantités indéterminées (k). La circonstance, qu'un de ses élèves écrivit une histoire de l'arithmétique, indique à son tour un certain mouvement dans cette science. Mais il est impossible d'en préciser la portée, et quand on considère les entraves qu'y mettait le système défectueux

(Ij Voir Weidler {Diss. de characteribus numerorum vulgaribus, Wiltemb., 1770. in-i®), qui attribue à Pythagore rinvenlion de nos chiflfres); Wallis {Eléments éCaritkmét., 1742) qui la lui conteste, et Mannert (De numerorum quos arabicos vocant verâ origine pythagoricâ. Nuremb. 1801, in-so.) qui s'efforce en vain de la lui revendiquer.

(2) Fabricii bibl. grœc, Archytas. — J. Meursius, Denarius Pylhagoricus. — P. Bungo, de myster, numeror, — Kirclier, Arithmologia, — Weigel, Tetraciys, •

(3) Plate, de Republicâ, Lib. VIII, p. 189, edit. Bipont. cf. Aristot. polit. V, IS. — Cic. Epist.adAttic. VII, 13.

(i) Aristote exprime la force, la masse, fespace et le temps, prar les lettres a, /S, y, S. etc. — opp. t. I, p. 676, 660. Cf. Natur. AuscuU., lib.VII,c.6; VII. 16

delà ^iotation'^ec|Qe on doit adntettre 4|ti*ib fiirent ;pëa

sidéf^blés. ViHï'j voit fttott, IV est' vrai, VHée. ri i<éo(HideiéQ

if^stèïbe dédàial ,1 ^y^ènie qiif Bvidt pu naître aisément déFo^

vfttionrdu nombre décimal donoépctn celui ries mains ret'ides

pA^sde l'hémme (1). On n'est doncipas étonné ^Ken» trdUTér

des'tni^es. Mais,' dafns^ tous les cas, ce système ne domina ipas

èhëK(tes'Greds,<et'ce (pf^en renfernMtit leur ariihméiMiiie

'(fûttnd «s'éûvril/VEcole d*Alex»ridrle, n*étafit)pe»t^tre')i|te'«ne

innovation sur le système péntmairêCffa'oti renototreob^idèx

dans des temps plus «anoiens et quiVHifTetrciove« eheziks/Ro-

"^mains, par la' raison, sans doute, «fu'afMPès l'avoir reçu ils

"^^^étaternli 'demeurés étranger» à^'infiofalien décimale 'SVTOone

'dans^tin temps où leurs rapports avec la-Grèce étaient noins

'iotimles.

'DHm-autre cdté;il est vrài>de dire»que cette >iimovalion4(pii s^entrevoit dansla notation générale,^ ne prétalut/paft^'et qu'il -^^effaça dans les applications usuelles. Sauf quelques^mos de ^ ces doctrines de pneUmaêologie ou de mysticisme oà^figurent -des (fêcades célestes, le nombre dio? ne fut ni plus commun ni 'ptas sacré qu'un autre, tandisque lequeUefmaireei ses multiples,— l'ogfdoode, figure dans la théogonie de l'Egypte^ dans ' celle du gnosticisme (2), — et le nomtMre $êpt [qui figure^uisi /dansia cosmogonie deMfHse et ailleurs (S)] jonentuA réle prépondérant.

Si donc il y avait chez les Grecs, au moment où commen- (èèreht les travaux des Alexandrins, de rîches théories sur les nombres, elles étaient plus spéculatives que pratiques, et tenafeht plus au mysticisme qu'à la scienfce;j^'en -umnot, ily avait quelques pas dé faits, maiâ l'arithmétique était peu avancée chez la race hellénique.

^1) LU)ri, 1, 99, 193, 195, SOI ; II,r 3i, Sm.

(3i Matter , Histair» critique du gnostieism», U .U, p. i»$ y secJbnde édition.

(3) Libri 1, 99» 193; 19», SOI ; II, 34, S9S.

Quant à rarithmétiqae ^es Egyptiens et à celle des Babyloniens, qui étaient toutes deux accessibles à Euclide, s'il les demandait , le fait est que les pratiques géométriques et astronomiques de ces peuplesconstcrteat de» progrès remarquables dans la science du calcul.

Mais la preuve qu'ils ne possédaient pas de bon système de notation, est dans cette circonstance que les Grecs n'en trouvèrent pas à leur en emprunter, lorsqu'ils eurent établi avec eux des rapports plus intimes.

Où en élait la géométrie ?