CHAPITRE II

AR1THMET1QUK.

Celle des études mathématiques dont il est le plus difficile de déterminer Tétat précis avant Ëuclide, après tant de livres perdus, Tarithmétique, serait parfaitement connue, en ce qui coocerne les Grecs, si l'ouvrage où Théophraste en faisait l'histoire^ à Fépoque même où s'ouvrait Técole d'Alexandrie, se fût conservé. Cet ouvrage était court; il ne formait qu'un seul livre (1), et ce que les anciens appelaient un fo'vre avait peu d'étendue ; nous y trouverions cependant des indications sur l'origine de cette science et sur ses progrès parmi les Grecs, jusqu'au temple d'Aristote. Ce guide perdu, on est réduit à de simples inductions pour la question de l'origine et des progrès de l'arithmétique.

Suivant Strabon, les Phéniciens avaient enseigné l'arithmétique les premiers (2). Suivant les Egyptiens, dont les prétentions sont rapportées par Diogène de Laërte, c'étaient eux qui avaient créé ensemble la géométrie, l'astrologie et l'arithmé-

(1) Âpi6/tv]Ttxàiy IffTopiûy. Diog. Laêrt. m vitâ Theophrasti^ Lib. V, 6, i, n.l3.

(3) Strabon (Geogr. lib. XVII, c. 1) dit qu'ils inventèi^ent la logistique et VJHamétique pour les besoins ^ leur commerce.

tique : Thot, le fondateur des sciences et des arts, les leur avait donnés tous ensemble (1).

Il est impossible de trancher cette question d'antériorité par des faits, et il serait hasardeux de la résoudre par des inductions. Il Q3t toutefois certain que les Phéniciens ont eu besoin du calcul pour leur commerce^ et que les Egyptiens ont dû cultiver cette science de bonne heure dans l'intérêt de leur géométrie. On doit donc admettre que ces deux peuples connurent Tarithmétique très-anciennement.

On doit affirmer la même chose des Babyloniens, dont les oIh servations astronomiques, sans être aussi anciennes qu'ils le prétendaient, étaient antérieures au VIP siècle avant notre ère, et demandaient nécessairement la connaissance du calcul.

C'était donc indistinctement chez les Phéniciens, les Babyloniens oft fes Egyptiens, que le fondateur de l'Ecole d'f onie avait pu recueîHitf des notions de cette scfefnce, si, dar» le siècle de Thaïes, l'Ionie avait eu besoin de faire cet emprunt. Mais ce besoin n'a pas (M exister, et tout ce qu'on peut ad-* mettre, c'est que l'ïgypte on la Babylonie t possédé, au temps defs voyages de Thaïes, des pratiques plus avancées qoe celleâ^ du monde gfec. Rien ne nous* autorise donc, à proclamer lés emprunts de Thaïes comme un fart, et l'on ne doit pa^sfuppos^ qu'à: l'époque de ce mathématrcierr^ des! pays aussi r rched et actssî commerçants qne la Grèce et l'Ionie, cette terre d'ofte civilisation si remarquable, n'arent pas possédé Fart du calttil. Cet art est aussi ancien que l'état social, qui en fait tnef fié^ cessîté. Oi*, certes Fa Grèce n'en était pas? alors Au début, ef il esft évident que ce ne fut pas Thaïes, quelque progrès (|û'M fit faire aux étcrdes par d'henrerrses conquêtes sur l'Egypte do l'Asie, qui le premier enseigna aux Grecs les élémerrtsfdé l'arithmétique. Ce philosophe a pu perfectionner ce qui était, mais s'il avait inventé un art si précieux, sans doute ses contemporains n'eussent pas manqué de lui en faire hommage.

(1, Diog. Lie II. m J¥©ëmio. n. T.*

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VhtWkmétStpMSi Mjuit donc, en Grèce, plus andenne que thUHiiê; mais 6tt fgnore quelles cMfiakfdarrces elle possédai! Èvttst 9e»tPSifMt. On ignore celles qu'cfut Thaïes lar-méme, mais on sait qu'un siècle après lui, Pythagore, qrA atait reçu A pretùièttr ftistrtK^fon en lonie, et qui afvaît Toyagé en ^gfpte comme Thaiès, s'était beaucocip occupé de la science 4ef dombiw. Oit cmîf qu'il avait rédrgé la taMe de multiple eMmqfâ pm%ê sa» nom, et fait on tableau ou un apparett qui est détenu célèbre sous le titre A'Abacus (1). Nicmnaque 4ê»Gfénise ef Boëce, tpA savaient rhrstoire dt Caritbmétiqoe die» le» Orées, n'attribuent à Pythagore, il est vrar, ni ftm nf TMtnê de ces tableaux, maïs ces auteur» ont vécu plusieurs sièele» après Fère cbrétrenne, et il paraît que la tradition cohh nimW' sâr ce fait n'est pars dénuée de fondements.

Oa dit aussr qa*k cMé des caractères de Falphabet emphFffis tusN|W^là pofir désigner les nombres, Pythagore avait linrMtè dés signes parlieutiers pour exprimer les nombres composés, et que ces signes étaient les fameui ajriee» que dMfitioAm Boëce. Mais la preuve de cette assertron ne se trooTe oollepert, et la fonne primitive des apices nous est fn«^ (MMe, car il est évident que celle qu'on voit aujourd'hui dans \m iaamiSGrits de cet écrivain, ressemblent beaucoup trop mt (àffires arabes pour n'être pas suspects (2).

(f) Vtfjtt sur VÂhacus de Pythagore, Mannert, dé numerorum qu09 mêbkéêfiûeatU ttrâ otifféne.

if) Ces signe» se tcouveot dans un noanuscrit de U bibliothèque roj»W (mcien fonds latin^, n^ 7,193, f9 2), d'après lequel ils sont donnés | ar If. Nat de Wailly, Traité de paléographie. Ils se trouvent aussi dans dOM MtPds ttaiias<;rit$ dont Tan est à la bibKothèqoe de Chartres, raotre 9AMH$iihIii%M0um, et d'après lesquels ces caractères ont été reproduits par M. Vincent, qui pense que les manuscrits de Boè'ce, où les chififres portent des noms grecs tels qnelgin, Ândras et Ormis ( yuvvj , àvyjp , et el ê^ii)i an hélw^ux, tels que Arbas et ChiimaSy etc. (^^^"^^ et ^DH) %Dt écrits par des Juifs ou des chrétiens. —Voyez S2i Note sur V origine de nos chiffres et sur l'Ahacu\^des Pythagoriciens. — Voir aussi V Aperçu kisiorigue sur les méthodes de géométrie, par M. Gbasles, et V Histoire des wmikéma$(q%ies en Italie, par M. Libri, 1. 1. p 2S, 201.

Les chiffres arabes, chacun le sait, sont originaires de l*Inde et n'ont été communiqués, par cette région, au peuple dont ils portent le nom parmi nous, que postérieurement à l'ère chrétienne.

Pylhagore n'aurait donc pu les connaître qu'autant qa'il aurait été les chercher dans leur patrie. Mais d'abord, ce fait n'est pas probable ; ensuite, il est certain qu'une fois connus dans la Grande-Grèce, ces chiffres n'auraient plus disparu du monde grec. Mais l'hypothèse, que Pythagore ou ses disciples employèrent, pour certains nombres composés, dessignesspéciaox et différents de ceux que des copistes familiers avec les ^hiflBres arabes, ont mis dans les manuscrits de Boëce, n'en est pas moins admissible. Les Romains employaient des signes analogues, et comme on doit douter qu'ils en fussent les inventeurs, ont*peut supposer qu'ils les avaient empruntés moins à l'Ëtrurie qu'à la Grande-Grèce, puisque à peine quelques trente lieues les séparaient de l'Ecole de Crotone, à l'époque de sa plus grande prospérité.

Quoi qu'il en soit de l'origine de ces signes et de leur propagation en Grèce, deux faits importants pour l'histoire de l'arithmétique demeurent certains. Le premier, c'est que Pythagore et son école s'occupèrent de la science des nonîbres plus qu'aucune autre école grecque, et que le mot et l'idée de nombre dominaient leur système, qui reposait sur les combinaisons numériques les plus variées (1), au point qu'un historien moderne a pu dire avec quelque raison, que l'arithmétique des pythagoriciens était transformée en un système de signes hiéroglyphiques, par lequel ils prétendaient avoir représenté l'essence des choses (2). Le second fait est que, si lès pythagoriciens employèrent des signes spéciaux dans leur arithmétique, les Grecs n'en continuèrent pas moins, même après Pythagore, à se servir des lettres de leur alphabet pour dési-

'Ij Meursius, Denarius Pythagoricus.

a Meincrs, Hixtoire des tciençes en Grèce, 1. 1, p. 209, trad. de Laveani.

gner les nombres. Or, il est certain qae ce système ne se serait p8Siiiaintenn,si Pythagore avait inventé dès signes-chiffres (1). n n'en est pas moins vrai qae, par l'application de Tarithmétiqne à la musique (2) et par ses spéculations sur les nombres, l'école de Pythagore avait singulièrement élevé la science do calcul dans l'opinion des philosophes et des mathématiciens. Sans doute, ces spéculations offraient plus de subtilité mystique que de valeur réelle; mais elles fixaient sur cette étude une attention féconde en découvertes.

Archytas et Philolaiis avaient poursuivi ces travaux. Maton, qui s'est plu à jeter un problème d'arithmétique mystique jusque dans son Traité de la république, cultivait la science des nombres comme ces deux savants (3); et il est évident que la géométrie et l'astronomie n'auraient pu être enseignées à l'Académie comme elles le furent, si des progrès notables n'avaient eu lieu en arithmétique depuis Pythagore.

Le grand disciple de Platon, Aristote, apporta une modification essentielle à la notation des nombres, en appliquant les lettres de l'alphabet aux quantités indéterminées (h). La circonstance, qu'un de ses élèves écrivît une histoire de l'arithmétique, indique à son tour un certain mouvement dans cette science. Mais il est impossible d'en préciser la portée, et quand on considère les entraves qu'y mettait le système défectueux

(1) Voir Weidler {JHss. de characteribus numerorum vulgarihus, WUtemb., 1770. in-40), qui attribue à Pythagore rinveniiou de nos chiffres); WiUis (Eiéments {farithmét., 17i2) qui la lui conteste , et Mannert {D9 immerorum quos arahicos vocant verâ origine pythagoricâ, Nuremb. 1(M1, ifr^o.) qui s'efforce en vain de la lui revendiquer.

(S) FtAricii bibl. grœc. Archytas. — J. Meursius, Denarius Pythagoricus. - P. BuDgo, de myster. numeror. — Kircher, Arithmologia, — Weigel, I\Uraeiys.

(3) Plato, de Republicâ, Lib. VIII, p. 189, edit. Bipout. cf. Aristot polit V, la. — Cic. Epist. ad Attic. VII, 13.

[i] Arislote exprime la force, la masse, Tespace et le temps, par les lettres o^ /s, y, i. etc. — opp. t. I, p. 575, 660. Cf. Natur. Auscult., Iib.vn,c6; VII, 16

de la notation grecqfUe on doit adfneitre <|a'ite Curant p^p^OM*sidérabies. L'on f voit iperoer, j{ est v<rfti. l'Mbée sj féconde >dA système4éciiiiaU système qui avait pu Aattre aîtém^t deF^bservatioA an nombre décimal «donné par calm dm mains «t itoa pieds de Tliomme (1). On e'est doec pas éitonné d'ee itronvar des ibraces. Mais, danfi tous les cas^ ce «j^tème «sbe^dcABÎM pas chez les Grecs . et loe q^*m fflenlerinaît lew arjttoéljqM ^uaQd Couvrit ÏEeeit d'Aiéiandcm, «'létoii; f^^uMtvfi q^'^me innovation sur le syatè|]f^|9ie^e0ia^^i^kinirencoptfe«cbei:jew dans des temps plus ^lociens et ««a'ea netnonore i^bidv la^ fto- Jnaias, par ia caison, saos doute,, qu'après l'avoir ar^çn ils étaient demeurés étrangers à TjiunDvaitiQp «décimal «lUTWue dans un temps ou leurs rapports avec la Arèc^e étaient moÎDii inlimes.

D'un autre côté, il est vrai de dire que <^t|ie innovdtioi^ 4111 s'entrevoijt daojs la notation générale, ne prévalut pas^^et^u'^l yeflaça dans les applications usuelles. Sauf quelcpiei^unes de ces doctrines de pneumaiologie ou de mysUciarpe où figureot des décades célestes, le nombre ^tâ? ne fut ni plus comoiaD m plus sacré qu'un autre, tandisque le quatemaimet ses jhuIptiplcs,— rogfdooclé, figure dans la théogonie de r£gypte«t4fliis celle du gnosticisme (2), — et le nombre $epi [qui figure au^ dans la cosmogonie de Moïse et ailleurs (3)] joueat un râle prépondérant.

Si donc il y avait chez les Grecs au moment où commencèrent les travaux des Aleiandrlns, de riches théories sur les nombres, elles étaient plus spéculatives que pnfttigue^^ et tenaient plus au mysticisme qu'à la science; SH .up JBAt» il J avait quelc^ues pas de faits, mais l'arithmétique était peaavwi^ cée chez la race hellénique.

(i) Libri, I, 99, 193, 195, 201 ; II, 34, 292.

(2 Matter, Histoire critique du gnosticisme^ t. II, p. ft5 , second*

édition.

a) Libri I, 99, I9.'t; 195, 201 ; U, ai, 292.

Quant à Tarithmétique des Egyptienset à celle des Babyloniens, qai étaient toutes deux accessibles à Euclide, s'il les demandait , le fait est que les pratiques géométriques et astronomiques de ces peuples constatetit des progrès remarquables (Ans la science du calcul.

Hais, la preuve qu'ils ne possédaient pas de bon système de notation, est dans cette circonstance que les Grecs n'en trouvèrent pas à leur en emprunter, lorsqu'ils eurent établi avec eux des rapports plus intimes.

Où en était la géométrie?