CHAPITRE I

AaiTHMÉTIQUE. — D'EUGLIDE A DIOPHANTE.

L'héritage recueilli par l'école d'Alexandrie, considérable à ^ins égards, n'était donc pas d'une importance égale dans ^es ses parties. Or, s'il y avait dans cette succession une ^^ plus négligée que les autres et plus arriérée, c'était '^^même qui réclanoiait plus de progrès, puisqu'elle devait "^He point de départ à toutes les autres : c'était en un mot f^^iuélique.

•* Premier mathématicien de la nouvelle école, Ëuclidi^,

ne s'en occupa que secondairement, et il paraît que tout son mérite est d'avoir réuni et mis dans un nouvel ordre ce qu'on en enseignait dans les écoles de la Grèce.

Telle est, du moins, l'opinion la plus plausible, car il est aussi difficile de préciser le point de vue spécial sous lequel il rédigea ses Eléments, que de déterminer la valeur comparative des théories qu'il y expose ; c'est donc à une opinion probable qu'on est réduit à cet égard, comme on l'est à l'égard de la patrie et des maîtres de ce savant.

£n effet, on ignore à quels travaux antérieurs se liaient les siens, et quand il nous reste tant de renseignements sur des personnages secondaires de la ville d'Alexandrie, une profonde obscurité pèse sur cet homme si célèbre, le fondateur de l'enseignement des mathématiques dans le Musée.

Tout ce qu'on en peut affirmer avec quelque confiance, c'est qu'il sortait des écoles d'Athènes, et qu'il possédait toute la science grecque de son temps. «.

L'accueil que reçut son prindipal ouvrage autorise une induction de plus, celle qu'il exposait cette science avec plus de richesse et de clarté qu'aucun de ses contemporains. Aussi les trois livres qu'il a consacrés à Tarithmétique, dans ses Elé^ menti, (le 7*, le 8"* et le 9*) résument-ils sans nul doute, dans un ordre plus méthodique que tous les écrits antérieurs^ ce qu'on savait de calcul à cette époque.

Dès-lors, nous avons dans cet ouvrage le véritable point de départ de nos recherches. Quel est ce point de départ?

Euclide, sans s'arrêter aux règles du calcul vulgaire nécessairement connues de ceux qui se présentaient, par exemple, aux leçons de l'Académie ou du Lycée d'Athènes, ces types dn Musée d'Alexandrie, règles qu'il n'entrait pas dans ses vnes d'exposer, traite des propriétés relatives des nombres, examine les proportions, les progressions géométriques, la mesure des nombres, (nombres premiers et nofhbres irrationnels), et donne, entre autres, la solution du problème de trouver un nombre parfait, c'est-à-dire dont toutes les parties alfiqiiotes réunies forment le nombre lui-même.

Telle est la matière de ces trois livres, dout les théories sont, eomme on le ?oît, aassi loin d'offrir une arithmétique élémentaire qu'une arithmétique sufQsante pour de grands travaux de science.

Dans l'application, ces théories étaient de plus entravées par une notation embarrassante et défectueuse.

Cependant, tel qu'il fut présenté à la nouvelle école, c^ ré~ samé d'Enclide, qui offrait la science d'une époque plutôt que eelle d'an auteur, reçut l'accueil que méritait.une composition inportante. Elle avait réellement ce rang. C'était non-seulement le meilleur inventaire des progrès du passé, c'était encore B gnide pour des découvertes ultérieures ; car tous ceux qui voulaient désormais étudier l'arithmétique trouvaient, dansées livres, en meilleur ordre et avec de meilleures solutions qa'aillears, tous les problèmes qu'il s'agissait d'examiner en théorie, ou d'appliquer à l'étude des autres sciences, :^urtout à celle de la géométrie, dont l'arithmétique faisait encore partie i cette époque. Or c'étaient là deux avantages notables (1).

De plus, ce manuel, plus complet que tout autre, était celui . d'one école de mathématiques désormais constituée la rivale des grandes écoles d'Athènes et aspirant dès le début à une certaine supériorité. En effet, le Musée des Lagides était placé ainsi, dès son origine, à la tète de l'enseignement scientiflque. Les Enclidiens, — car Ëuclide eut des disciples qu'on désigna, comme jusque-là on avait coutume de désigner les élèves des philosophes, par un nom collectif, — les Euclidiens conti- . Doèrent sans nul doute l'enseignement de leur maître, et maintinrent sa supériorité. Cependant il n'existe aucun texte qui établisse ce fait, et l'histoire n'a pas même conservé les noms de ces savants. Tout ce qu'on sait à leur égard, c'est que l'un (Teux, Eratosthène, se distingua par l'invention du CRIBLE , moyen ingénieux et facile de trouver, par voie d'exclusion, les

(1) Voj. poar les travaux d*Euclide, les éditions de David Gregory , Oxford, IWS, in-lbtio, et de Peyrard, Ptris, ISli et aonées suivante», 3 vol. in-4.

nombres premiers, qui n'ont de diviseurs qu'eux-mêmes ou r unité, et qui offraient à la fois aux arithméticiens de l'antiquité un riche sujet de méditation et un utile emploi dans le calcal des fractions (1).

Il est vrai de dire qu'aucun texte ne mentionne les rapports entre Eratosthène et Euclidc, et qu'on peut les contester. Cependant, l'époque à laquelle vécurent l'un et l'autre de ces savants et l'âge avancé auquel ils parvinrent tous deux, faits si connus que nou& n'avons pa<( à nous y arrêter (2), portent à croire que l'un a proflté au moins des dernières leçons de l'autre.

Bientôt, un contemporain d'Ëratosthène, un mathématicien qui appartenait à la Grande-Grèce, Archimède, né l'an 287 avant J.-C, et par conséquent à une époque où la vieillesse sinon la mort était le sceptre de la science à Euclide pour le mettre entre les mains d'Ëratosthène ou d'Apollonius de Perge, vint en Egypte le disputer à l'un et à l'autre.

Cela fut d'autant phis aisé que le prince qui avait favorisé les travaux d'Euclide, Ptolémée P^ Soter, était remplacé par Ptolémée II Philadelphe, qui n'encourageait que la botanique, les chasses, les voyages, la poésie et les arts.

Aussi Archimède, fort jeune encore quand il vint en Egypte et sans doute peu connu partout ailleurs qu'à Syracuse, sa patrie, profita si bien de ce qu'il vit au Musée, que bientôt il s'éleva au premier rang dans les sciences exactes. A la vérité, il ne distingua moins dans l'arithmétique que dans la géométrie et dans la mécanique; il fit faire néanmoins un grand pas à la sr.ience des nombres, et quoiqu'il ne tienne qu'indirectement i\ l'Ecole d'Alexandrie, nous devons parler ici de ses travaux, non pas seulement pour mieux éclairer l'ensemble des* progrès du temps, mais encore pour indiquer les relations si intimes

(\, Voir ce proaîdé dans Nicomach., Arith.j p. 13. — BoeUi. Arith., I. I, r. 17.

(«; V. Fabricii Biblioth. grsec. lib. III, c. 14.

fi'îl entretint avec Conon, dont il a déploré, depuis, si élo* qaemment la mort (1). Archimède était aussi ami d'Eratosthène àqoi il proposait des problèmes (2). Il continua, même après son ▼oyage en Egypte, avec l'Ecole d'Alexandrie qu'il avait fisîtée, des rapports assez suivis pour qu'on pût, h la rigueur, le considérer comme un écrivain d'Alexandrie, comme l'histoire des lettres considère son compatriote Théocrite, qui visita FEgyple à la même époque.

Quoi qu'il en soit, Archimède publia, sur l'arithmétique, un important travail auquel donna lieu une opinion vulgaire, qui dénote toute l'imperfection du calcul à cette époque. En effet, on soutenait alors qu'aucun nombre ne saurait exprimer la quantité de grains de sable répandus sur les bords de la mer. Pour réfuter cette opinion, Archimède prouva que, quand même l'univers serait beaucoup plus grand qu'on ne le suppose, le cinqnantième terme d'une progression décuple croissante suffirait pour rendre le nombre de grains de sable qu'il pourrait contenir. Ce résultat avait peu d'importance ; mais ce qui en eut beaucoup, c'est le système de numération imaginé par Archimède, pour faire son calcul. Ce système, sans approcher de celui que l'Inde possédait dès cette époque, et qu'elle nous a transmis, depuis, par les Arabes, jeta dans les discus-

(1) Voy. sa Letire à Dosithéet à la tête du Traité de la qtuidrature de la parabole.

(2) Quand même répigramme publiée par Lessing (Zur Geschichte und Uueralur, Braunschweig, 1773, 2 vol. in-S, t. I, p. 42.) serait d'un poète •ommé Arehiméle et non pas du mathématicien Archimède^ suivant la eoDjeciDFe de M. Ideler, lesiapporls d'Aicbimède avec recule d'Alexandrie vlea seraient pas plus douteux. Mais cette conjecture de M. Ideler est dénuée de probabilité; car si répigramme en question a un sens, c'est dans le

s où elle est adressée à un mathématicien par un autre mathématicien.

Iteh part d'un poète, elle ne se concevrait pas. On ne peut pas* affirmer,

Uesivrai, qii*elle est d'un Alexandrin plutôt que d'un Syracusain; mai;»

<VKlqQ'en soit l'auteur véritable, c'est bien à Archimède qu'il a voulu la

^ICT, et c'est en vertu d'une tradition qui mettait Archimède en rapport

»ec EniosibèDe qu'il l'a faite. C'est à cetto tradition. que nous faisons

^QvUmdaBs le texte.