AUTRES

Il ne sera pas inutile de dire ici quelques mots sur la partie arithmétique des engrenages, après en avoir traité la partie géométrique. Nous suivrons, dans cet exposi'*, les principes du savant astronome Delalande.

Si une roue dentée engrène dans une autre qui ail un moindre nombn; de dents, celle-ci fera pour chaque tour de celle-là autant de révolutions que le nombre de ses dents est contenu de fois dans le nombre des dents de la première; par exemple, um* roue de 6i dents fera faire à une de 125 tours et un tiers, parce que 64 contient cimj fois 12 et un tiers en plus: ainsi les nombres sont dans le mt;ine rap|M)rt que les durées de leurs révolutions.

Nous supposons donc une pendule ordinaire dans hujuelle il y ait une roue qui tounu* dans l’espace de 12 jours, et que l’on veuille y ajouter une roue annuelle, c’est-à-dire qui fasse son tour en 363 jours et un quart, ce nombre-ci contient le premier 30 fois et 77, et de plus un quart de douzième, c’est-à-dire 77; il faudra donc placer un pignon sur la roue qui est donnée et faire à la roue annuelle trente lois plus de dents qu’au pignon , et encore 77 et 77 de plus, par exemple un pignon de 48 et une roue de 1461 , ou, en pnuiant le tiers de ces nombres, un pignon de 16 et une roue de 487.

Mais, lorsqu’on a des roues irès-noinbrées, il n’est pas facile d’apercevoir d’un coup d’œil leurs diviseurs communs pour pouvoir les réduire à de plus petils nombres, comme nous venons de le faire, par exemple, en divisant par trois les deux nombres, soit 48 et 1461. Pour trouver alors tous les nombres premiers entre eux dont le rapport peut approcher de celui que l’on cherche, on peut se servir de la méthode dt*s fractions continues que Huyghens a employée dans son planisphère mouvant.

Elle consiste à diviser : l” le plus grand nombre par le plus petit; 2” le premier diviseur ou le plus petit nombre par le reste de la première division; 3' le second diviseur ou le premier reste par le reste de la seconde division; 4" le troisième diviseur ou le second reste par le reste de la troisième division , et ainsi de suite : par là on forme une suite de fractions telles, que le numérateur de chacune fait une portion du dénominateur de la précédente; le numérateur de chaque fraction est toujours 1, le d(*nominateur est toujours le quotient de la division précédente, plus un : ainsi le dénominateur de la première fraction est le quotient du petit nombre donné , divisé par le premier reste, plus l’unité qui doit servir de numérateur à la fi'action suivante. ,

L’exemple rendra cette démonstration plus claire : nous supposons une roue de 15 (|ui doit conduire une roue annuelle, c’est-à-<lire lui faire faire un tour en 365' S*" 49' à 525949, il faut donc trouver deux nombres applicables en (MUidules qui aient h peu |)i ès ce rapport.

On divise le plus grand par le plus petit, on a au quotient 584 et 349, qui restent et foimient une fraction Cette fraction ne [)eut être réduite à de moindres termes, mais elle peut être convertie en une fraction plus simple à quelques égards, dont le numérateur soit un et dont le dénominateur soit une autre fraction : en effet , est égal

à , puisque si vous divisez le dénominateur par 349, vous ne changez rien à la

fraction en elle-même, mais alors le numérateur devient 1 et le dénominateur devient 2 -1- parce que, en divisjint9ü0par349, il vient 2 au quotient et 202 de reste; on peut réduire aussi la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur jar 202 , ou , ce qui revient au même, en divisant 349 , qui est le premier reste , par 202 , qui est

le second reste de la fraction La fraction st.î rétiuit aussi en divisant le

second reste 202 p;ir le troisième, qui est 147; mettant toujours 1 au numéroteur et le quotient que l’on trouve au dénominateur, on aura ainsi la fraction continue :

L'avantage (jue l'on relire de cette fraction continue, c’est d’y trouver autant d’ex-

DE L’HORLOGERIE, pressions de nombres premiers entre eux , qui peuvent exprimer à pou près le rapport donné, qu'il y a de fractions, en négligeant plus ou moins de ces fractions. Si, par exemple, on les néglige toutes, excepté la première on aura 584 + ^; multipliant 584 par 2, et l’ajoutant avec 1, on aura qui est à peu près le

rapport de 526949 à 900, si on prend deux fractions , ce qui revient à 5, on

aura si on en prend trois, qui vaudront f , on aura en en prenant 5, qui valent on aura

Supposant que l’on connaisse parfaitement l’arithmétique (1rs fractions, la manière d’ajouter un nombre entier à une fraction , et de diviser un entier par une fraction : par exemple, pour réduire la fraction continue

on commence par réduire 2 -4- , c’est-à-dire 2 -f i en multipliant le nombre

entier 2 par le dénominateur de la fraction 2 pour en faire une fraction , on a ; + ; ou

; : on a donc , j au lieu de la fraction continue donnée, c’est-à-dire un entier divisé par »

une fraction; pour simplifier cette fraction, il ne faut (|ue mettre le 2 au numérateur, et on aura I, qui est la fraction simple égale à la fraction continue proposée.

Voici un exemple un peu plus compliqué : la durée de la révolution de Saturne est à l’espace d’une année comme 26408.58 est à 77708431 . Si l’on divise ce nombre -ci par le premier, on aura 29 au quotient et H23549, premier reste; on divisera le premier nombre, 2640858, parce premier reste; le premier reste par le deuxième, 393760; le deuxième parle troisième, 336029; le troisième par le quatrième, 56731; le quatrième par le cinquième, 52374 ; le cinquième par le sixième , 4357 ; le sixième par le .septième, 90; le septième par le huitième, 37; le huitième par le neuvième, 16; le neuvième 16 par le dixième 5, il restera j; mettant toujours 1 au numérateur et le quotient au dénominateur, on aura la fraction continue

îtt ■+■ 1

Si nous ne prenons que les trois dernières fractions, et que nous les réduision.s

comme (inns l’exemple précé(ient, nous aurons ^ pour le rapport cherché, qui approche tellement du vrai, qu’en mettant sur la roue annuelle un pignon de 7 et donnant 20<) dents à la roue de Saturne, elle ne s’ticartera d’une dent qu’au bout de 1346 aies.

La méthode précédente est très-courte; mais, lorsqu’on cherche des rapports composés de plusieurs roues et de plusieurs pignons, elle ne peut suffire; on est contraint alors de chercher les diviseui-s des nombres, méthode longue et ptfnible, mais qui devient plus courte en employant les tables de ces diviseurs.

Par exemple, si l’on veut faire mouvoir une roue annuelle ou de 87(Ui heures par le moyen d’une roue de 1.5 heures, on cherche tous les diviseurs de 8766, on ne trouve que 3,3,2, et on tombe à 487, qui n’est plus divisible, ce qui prouve qu’il faudra employer une roue de 487 : ainsi l’on pourra mettre une roue de 1 5 qui engrènera dans une de -487, et, pour multiplier encore par 18 (puisque 487 n’est que la 18* partie (h; 8766), on prendra, [)ar exemple, un pignon de 6 avec une roue de 108 ou un pignon de 8 avec une roue de 144.

Il y a cei)endant encore quelques difficultés à vaincre pour approcher sensiblement des i-apports que l’on ne |)eut avoir en nombres exacts. Le P. Alexandre a publié commemne nouveauté (dans son Traité d’horlogerie ^ p. 174) une manière de s’y prendre connue de tous ceux qui ont quelque habitude de faire des calculs : elle consiste à multiplier les deux nombres donnés par un autre nombre qui ait deux ou trois diviseurs propres à nombrer des pignons, suivant que l’on cherche deux ou trois engrenages, mais qui ait encore deux conditions, .savoir, que, .si on le multiplie par un des deux nombres donnés et qu’on divise le produit par l’autre nombre, la division soit presque exacte, c’est-à-dire à une ou deux unités près, et que le quotient ait deux ou trois diviseurs propres à former les nombres de deux ou trois roues. Ce procédé exig<* un tâtonnement fort long, mais il n’y a pas possibilité de l’abréger.