CHAPITRE Vil

ARTICLE PREMIER

•MÉTHODES POUR CALCULER LES NOMBRES DES DENTS QUE LES ROUES ET LES PIGNONS d’une machine DOIVENT AVOIR POUR QUE PLUSIEURS D’ENTRE ELLES FASSENT EN MÊME TEMPS DES NOMBRES DONNES DE RÉVOl.UTlONS.

c sujet qui fera l’objet de ce chapitre a été traité par Camus, un des plus grands mathématiciens du dix-huitième siècle. C’est en prenant jK)ur guide ce savantauieur que nous allons donner la solution de quelques problèmes que tous les horlogers |)cuvent avoir intérêt à ré.soiidre dans la pratique de l’horlogerie usuelle, la plus généralement exécutée.

PniKCII'B FOSnAUBMTAL.

Soit qu’une roue conduise un pignon ou qu’un pignon conduise une roue, le nombre des tours de la roue, multiplié par le nombre de ses dents, est égal au nombre des tours que le pignon fait en même temps, multiplié par le nombre de ses ailes; en sorte «|ue les nombres des tours contemporains de la roue et du pignon sont réciproquement proportionnels aux nombres de leurs dents.

Supposons que les nombres des dents de la roue A et du pignon F soient représentés par les lettres majuscules A F,

Et que les nombres de leurs toui-s contem|)orains le soient par les petites lettres a/*.

DE L’HORLOGERIE. 2tH

Nous devons démontrer que a x A = /" x F, et que par conséquent a : f : : ¥ : A.

r Ijh nombre des dents de la roue étant représenté par A , à chaque tour que fera la roue il engrènera dans le pignon un nombre de dents représenté par A. Ainsi, pendant que la roue fera un nombre de tours exprimé par a y il engrènera dans le pignon un nombre de dents représenté par x A.

2* Puisque F représente le nombre des ailes du pignon , à chaque tour que feiu le pignon il engrènera dans la roue un nombre d’ailes représenté par F. Ainsi, pendant que le pignon fera un nombre de tours exprimé par f, il engrènera dans la roue un nombre d’ailes représenté i>ar / X F.

Mais, pendant que la roue et le pignon feront leurs révolutions contemporaines, il engrènera auUint de dents de la roue dans le pignon qu'il engrènera d’ailes du pignon dans la roue. Ainsi l’on aura a x A = /'x F; et, regardant les deux termes du premier membre de cette équation comme le produit des extrêmes, et les deux termes du second membre comme le produit des moyens d’une proportion géométrique, l’on aura a : Z': : F : A, ce que nous avons avancé.

On doit conclure de cette démonstration que, si l’on a un rouage composé d’autant de roues qu’on voudra et d’un pareil nombre de pignons engrenant successivement les uns dans les autres, le même principe aura lieu pour chaque partie du rouage. Supposons quatre roues, désignées par les lettres majuscules A BC D, et les quatre pignons désignés par les lettres majuscules FG H I ; nommons, de plus, par les petites lettres afghi les nombres des tours contemporains de la roue A et des pignons F G H I, on aura , d’après la proposition précédente , pour chaque roue engrenant dans son pignon correspondant, les quatre propositions suivantes :

4* fl : : F : A.

Multipliant ces quatre proportions par ordre, c’est-à-dire les antécédents de chaque rapport entre eux, ainsi que les conséquents aussi entre eux, selon les règles de l’arithmétique, et supprimant dans les antécédents et dans les conséquents de chaque rapport, les termes qui se répètent dans les uns et dans les autres, les termes du premier membre se réduisent à deux, a et i; les termes f g et h se répètent dans les antécédents et dans les conséquents de ce rapport; l’on a la proportion composée suivante :

a: i : : FxGxHxIiAxBxCxD, d’où l’on déduira l’équation

flxAxBxCxD = ixFxGxHxI,

. . «XAXBXCX»

et par conséquent t = v x o x » x i" "

c’est-à-dire que le nombre des tours t, du dernier pignon I, sera égal au nombre des tours a, de la première roue A, multiplié par le produit des nombres des dents de toutes les roues, et divisé par le produit des nombres d’ailes de tous les pignons; de sorte que, si l’on fait a = I , c’est-à-dire si la roue A n’est considérée que comme faisant un tour, le résultat de cette équation donnera le nombre de tours t que le pignon I fera pendant que la roue A achèvera un tour.

Il suit encore de cet exemple que, si l’on avait dans le rouage que l’on se proposerait d’exécuter une ou deux roues et autant de pignons de plus ou de moins que les quatre que nous avons supposés dans l’exemple précédent, il suffirait d’ajouter aux quatre proportions que notre exemple nous a fournies, et d’en retrancher le nombre suflisant pour n’en avoir qu’une iK)ur chaque roue et chaque pignon.

Celte règle générale , bien comprise , est applicable sans exception au calcul de tous les rouages que l’horlogerie ordinaire peut réclamer, comme on va le voir par les exemples que nous allons donner.

ARTICLE II

TBOUVER LES NOMBRES DES DENTS ET DES AILES QU’iL FAUT DONNER AUX ROUES ET AUX PIGNONS d’une HORLOGE, PORTATIVE OU NON, QUI DOIT BATTRE LES SECONDES, c’est- A -DIRE 3,600 VIBR.ATIONS A l’hEURE.

Le rouage d’une montre de poche se compose ordinairement de (juatre roues et de quatre pignons : 1° la grande roue moyenne qui fait un tour touli» les heures; 2° la petite roue moyenne; 3° la roue de champ ou troisième roue; 4' la roue d’échappement. Nous désignerons ces roues par les lettres maju.scules A B C D. La roue A engrène dans le pignon G , qui porte la roue B ; celte deuxième roue engrène dans le |)ignon II, qui porte la roue C; cette troisième roue engnuie dans le pignon I, rivé avec la roue D; cette quatrième roue I) n’engrène dans aucun pignon, mais elle est retenue dans sa marche , à chaque dent, par la pièce d’échappement, dont il faut considérer la construction et les cffeLs.

L’on connaît aujourd’hui trois sortes d’échappements usités dans les montres ou horloges |)ort;itives et dans les autres horloges, non portatives: l' l’échappement à recul , tel que celui désigné sous le nom d’échappement à roue de rencontre; 2" les échappements à repos, dont le nombre est considérable; 3° les échappements à vibrations libres ou indépendantes. Dans les échappements des deux premières classes, chaque dent de la roue d’(k;happement produit deux vibrations lorsque la roue est simple , c’est-à-dire lorstjue les dents de la roue sont tiillées sur la circonférence de la même roue, comme dans un rochet; mais cha<|ue dent ne produit qu’une vibration lorsque ces dents sont placées alternativement sur les deux surfaces de la même roue.

comme dans l’échappement à chevilles de Le Faute et dans quelques autres échappements modernes.

Les échappements à vibrations libres ou indépendantes, tels que l’échappement d’Arnold et l’échappement à force constante, ne laissent passer qu’une seule dent pendant deux vibrations. Il est donc important, pour résoudre le problème que nous nous sommes projwsé et pour ceux qui suivront, de connaître la nature de l’échappement que l’on doit employer, puisque c’est un élément qui doit entrer dans notre calcul. Nous serons donc forcé de donner deux solutions, chacune applicable à l’un de ces cas.

Premier cas, c’est-à-dire lorsque chaque dent produit deux vibrations. D’après le principe général , le premier membre de l’équation que nous cherchons serait :

Mais, comme chaque dent de la roue D produit deux vibrations, nous devons multiplier D par 2, et ce premier membre devient :

AxBxCx2D H X I

.Mais, par une condition du problème, l’horloge doit battre 3,600 vibrations; ce nombre doit donc devenir le second membre de notre équation, et nous aurons ;