DE LA LONGUEUR I.A PLUS CONVENABLE A DONNER AUX UH

ÉCHAPPEMENT D’AHNOLD.

Nous avons fait tirer a (tait lus onze figures qui composcol cette (iliDchc, parce qu elles ne pouvaient pas toutes entrer dans le texte de l' échappement d'Arnold. Nous avions donné i ce sujet une note explicative, qui a été oubliée a l'ioiprinitriu. Nous allons donner ici cette nota.

Chacune des figures de l'échappement d'Arnold est répétée trois fois, sauf une légère difTcrence dans la disposition des pièces. Ainsi , quand nous disons a la dernière ligne do la page 303 : « Oani ta prtmitre dis- ;>asirion, t nous entendons la disjiositioii des pièces de l'échappement dans les figure* 4 , i, 3. A, £, C et 7 ; et quand nous disons a la troisième ligne de la page 304, et dans les pages suivantes : « Oan$ 1rs deux autres dispasiltons^ rte., » nous entendons lu disposition des pièces dans les figures il et 4 S, y et 16, et ainsi do suite, li'ailleurs les lettres de renvoi , qui sont en même temps dans le texte et dans les figures , suffisent pour que nos lecteurs ne puissent pas se lrom|ier.

C'est par erreur que la figure qui est interralèe dans le texte do la page 30fi porte le n° 40 , elle devrait porter le n<> ii.

S liés ÉCHAPPEMENTS DE CHAH AM, A CHEVILLES, ETC

DE L’HORLOGERIE, tons au mémoire déjà cité de M. J. Wagner, est fort intéressante; c’est pourquoi nous avons fait graver la planche qui s’y rapporte.

ARTICLE X

DE LA LONGÜEUK LA PLUS CONVENABLE A DONNER AUX BRAS DES ÉCilAPPEMENTS (1).

« Dans l’examen auquel je vais me livrer, je prendrai pour base de ma discussion l’échappement à chevilles, qui se prête mieux à la démonstration.

>) [lorsqu’on connaît le diamètre de la roue d’échappement et le nombre des chevilles, on a, comme conséquence forcée, la hauteur des deux becs de l’échappement, hauteur qui doit être, pour chaque bec, égale à la moitié de l'intervalle laissé entre deux chevilles, moins la moitié de l’épaisseur d’une cheville; en d’autres termes, la hauteur réunie des deux becs doit être égale à l’intervalle laissé entre deux chevilles , moins l’espace réservé entre eux pour donner passage à ces mêmes chevilles.

» Maintenant l’inclinaison du plan d’impulsion de chaque bec déjtendra de trois conditions :

» r De l’ouverture de l’angle de levée;

» 2” De la longueur des branches de l’échappement ;

» 3* De la hauteur des becs.

» Supposons donnée la première de ces conditions, et remarquons que l’angle d’impulsion (ou levée) pourra rester le même, quelle que soit la longueur des branches de l’échappement; seulement l’inclînaison du plan d’impulsion des becs, pour une même hauteur, variera en raison de cette longueur, et sera d’autant plus rapide que les branches de l’échap|)emeht seront plus courtes, et vice versd.

» Il est, en outre, évident que l’action des chevilles sur chaque bec sera d’autant plus énergique que le plan incliné sera plus rapide, et que, à mesure que cette action se rapprochera du centi'e d’oscillation, elle regagnera en intensité, sur des plans incliné.-i plus rapides, ce qu’elle perdra par le raccourcissement du bras de levier de l’échappement, et réciproquement.

» L’inspection de la lig. 1 , pi. ci-contre, suffira pour démontrer celte assertion : on y

(I) Il existe, dans la Bibliothèque de la corporation des horlogers de Londres et à la Bibliothèque nationale de Paris, un mémoire intitulé : The Elemenlt oj dock and xoatchwork adapled to practice, in Txoo Essayes plates 4**, London, 1766. L'outeur de ce mémoire, M. Alex. Cumming, a cherché à résoudre la question dont s’est occupé à son tour M. J. Wagner. La dissertaUon de l'horloger anglais est fort savante, mais elle est loin d'ètrc concluante : cependant divers passages de cet écrit sont de nature à Jeter une vive lumière sur le sujet dont il s’agit, et ou pouvait en tirer parti dans l'intérét de l’art. M. J. Wagner, comme il le dit iui-méme dans son mémoire, ne connaissait pas celui de M. Cumming, qui probablement ne fut pas compris par les horlogers de son époque ; car aucun de ceux qui ont écrit sur l'horlogerie n’en a fait mention. Notre compatriote a donc le mérite : l* d'avoir tiré de son propre fonds le sujet de la dissertaUon que l’on va lire; 2° d’avoir résolu la quesUon avec une lucidité parfaite.

remarquera, en efiel. que, pour un même angle d’oscillation , le plan incliné (ou liiyant) de l’échappement rfe, n“ 1 , est du double plus rapide que le plan incliné g f, n“ 2, placé à une distance double du centre d’oscillation a; car les hauteurs db e\g c resumt les mêmes, la base cf, n° 2, sera le double en longueur de celle be, n® 1.

» Il en résulte que, si, en raison de la plus grande rapidité du plan incliné d e, le bec n' 1 est repoussé avec une force double de celle qui repousse le bec n* 2, celui-ci, eu raison <lu bras de levier a R’, double du bras de levier a R, sera repoussé avec une force double de celle qui repousse le bec n" 1 , de sorte que la force perdue par un plan incliné moins rapide est regagnée par un plus grand bras de levier; réciproquement, la force gagnée par un plan incliné plus rapide est perdue par un bras de levier plus court. La longueur des bras d’un échappement serait donc absolument indilférente, puisque la force d’impulsion reste constante, si le problème ne se compliquait d’une question de frottement, qui, en horlogerie, domine toutes les autres.

•> On peut remarquer, en effet, en examinant la fig. 1 , (jue la grandeur des parties sur lestjuelles frottent les chevilles pendant les courbes de re|)Os (ou arcs complémentaires) est en raison directe des longueurs des bras de levier et dans une proportion un peu moindre pour les fuyants; d’où il résulte que le frottement .sera d’autant plus grand (|ue l’on donnera plus de longueur aux bras de lechappemeni.

» Il est des horlogers qui prétendent que les frottements ne sont pas nuisibles dans la tnarche des pièces, n’importe sous quelle pression ils s’exercent, lorst|u’ils sont con stants; d’autres prétendent qu’un certain frottement exercé sur la surface des échappements corrige les variations produites par les changements de la force motrice. (Jn ne ssuirait admettre de telles assertions, attendu que les variations provenant de la Idrce motrice ont, en général , des périodes à peu près régulières, tandis que les frottements varient dans des conditions très-différentes, soit avec la nature des surfaces frottantes, que l’usure inodilie à chaque instant, soit avec la nature des huiles employées et dont la fluidité citange avec la température.

» Si ces opinions avaient quelque valeur, on .s’expliquerait difficilement la régularité si extraordinaire qu’on obtient dans les montres marines ou chronomètres, dans ces pièces de haute précision où les frottements sur l’échappement sont réduits autant tjue possible, et même complètement annihilés, par les arcs supplémentaires, puisque le balancier, {Hîmlant le parcours de ces arcs, est complètement dégagé du conUict de la roue. Cette expérience bien acquise démontre donc que les prétentions ('•mises à ce s\ijet ne sont nullement fondées. Du reste, les personnes qui observent sont bien convaincues que le frottement est une des grandes causes de variation et même d’arrêt dans toute pièce d’horlogerie, surtout celui qui s’exerce sur l’échappement, et que les variations provenant des frottements .sont d’autant plus grandes que ces frottements sont plus considérables.

» La conséquence naturelle et logique à déduire de ces considérations est qu’on diminuera d’autant plus le frottement qu’on donnera moins d’étendue, soit aux courbes

(le repos, soit aux plans inclinds, et que, par conséquent, il faudra diminuer le plus possible la longueur des bras des échappements, puisque la grandeur des parties frottantes augmente avec celte longueur.

» Maintenant, au moyen de la même fig. 1 , je vais donner la démonstration géométrique du thck)rème dont je viens de discuter les éléments.

» Je ferai d’abord remarquer que le plan incliné (ou fuyant) de l’un ou de l’autre bec forme l’hypoténuse du petit triangle dbe ou gcf, dont la hauteur est égale à la hauteur du bec, et la base b e ou cf égale à l'intervalle compris entre les deux droites af et a c, qui forment entre elles l’angle de levée. Je ferai également remarquer que les bases de ces mêmes triangles augmentent de longueur en raison de leur distance du centre d’oscillation a/ par cette raison , les longueurs des ba.ses de ces deux triangles sont entre elles comme leur distance du centre a de l’échappement , ce qui donne la proportion géométrique .suivante : aft : ac be : c/". Si nous suppo.sons a 6 égal à la moitié de ac, be sera aussi égal à lu moitié de cf.

» Voyons maintenant, à l’aide de la théorie des plans inclinés, quelle quantité d’action la même puissance de la roue exercera sur l’un ou l’autre bec de cet échappement; nous trouverons que la puissance qui agit sur le plan incliné est à la quantité dont ce bec est repou.ss(;, comme la base du triangle est à .sa hauteur. Par exemple, repré.sentons par P la puissance de la roue qui agit sur le plan incliné, et par R la quantité de force avec laquelle le bec est repoussé par cette même puissance P; on aura la proportion suivante : P : R : : 6c, base du triangle du bec, n” 1 , : bd, hauteur de ce même triangle. Si nous suppo.sons, dans ce triangle, la base 6c égale à la hauteur bd, on aura P égal h R, c’est-à-dire que le bec sera repoussé avec une force égale à la puissance P de la roue d’échappement.

>) De même, sur le bec n" 2, représentons la puissance de la roue par P’, que nous suppo.sons toujours égal à P, n° 1, et par R’ la quantité d’action dont le bec est repoussé i>ar cette m(Mne puissance; la proportion sera donc comme suit : P’ : K’ : : fc : g c. Or nous avons vu (|ue gc= bd = be; nous avons également vu que 6c était moitié de fe; donc R’ n’est que moitié de P’; mais, comme cette dernière puissance P’ agit sur un bras de levier double de la longueur du premier, il s’ensuit qu’elle agit comme si la puissance P’ était double de P, et, par conséquent, le résultat est exactement le même : R ^ale donc R’.

» En effet, si l’on ne considère ici que le résultat mécanique, la dent de la roue d'échappement, agissant sur le plan incliné n” 2, fera parcourir au bec un chemin double , avec la même force et dans le même temps que si elle agissait sur le bec n* 1 ; et ici .se vérifie encore une fois cet axiome de la mécanique : Ce qu’on perd en force , on le gagne en vite.sse; et réciproquement.

» On voit donc que quelle que soit la longueur donnée aux branches d’un échappement le résultat théorique est le même.

» Examinons maintenant ces mêmes conditions par rapport aux frottements, et occu-

pons-nous d’abord des arcs additionnels d/i et A;. Nous voyons que les longueurs de ces arcs sont entre elles comme leur distance au centre de rotation a; ils forment la proportion géométrique suivante : ad : ag : : dh : gk; mais remarquons que, si ad est moitié deag, dh sera moitié de par conséquent, la surface frottante de lu courbe gk est le double de la surface frottante de la courbe dh. On peut donc en conclure que le frottement sur les courbes de repos augmente précisément en raison directe de la longueur des bras de l’échappement.

)) En examinant la question par rapport aux fuyants, nous trouverons que les frottements augmentent, par rapport à la longueur des bras, dans une progre.ssion un peu moindre que sur les arcs de repos. Il est facile de s’assurer de cette vérité, puisque le fuyant d’un échappement quelconque forme l’hypoténuse d’un triangle droit dbe, ir* 1 , qui a pour base 6 e et pour hauteur 6d, et l’on s;iit que le carré élevé sur l’hypoténuse de ce triangle égale la somme des carrés élevés sur la base et sur la hauteur.

» Exemple. — Supposons qu’un bras 5 donne pour base 4 et pour hauteur 4 ; élevant chaque côté au carré, on aura 16, qui, réunis, formeront 32; extrayant la racine carrée de ce chiffre, on aura 3,65, qui est la longueur de l’hypoténuse (ou du fuyant). Faisant la même opération sur une longueur de bras 10, on aura encore pour hauteur ■i et pour ba.se 8; cette base étant à une distance double du centre de rotation , le carré de la hauteur 4 sera 16, et le carré de la base 8, 64; ces deux carrés, réunis, formeront 80, dont la racine carrée est do 9 (du moins très -rapprochée), et ainsi de suite : la progression marchera comme les chiffres suivants :

LoDgueurs supposées des bras de l’échappement.

tô »

Longueurs correspondantes des fuyants ou des frottments.

4 Ces calculs démontrent que, plus on donne de longueur aux bras d’un échappement, plus il y a de frottement , et par conséquent plus il y a d’irrégulanté dans la marche de l’horloge à laquelle s’applique cet échap{>ement.

» Il résulte de ce qui précède que, pour construire un échappement avec le moins de frottement et par conséquent produisant le moins de variation , il faut donner à .ses branches le moins de longueur possible, sans toutefois porter cette réduction à l’extrême, parce que d’autres défauts viendraient détruire les avantages qu’on en retirerait.

•' Ainsi , par exemple, on a vu que plus les branches seraient courtes, plus les plans inclinés seraient rapides.

» On comprendra dès lors qu’une même usure des plans inclinés diminuerait davantage la grandeur des o.scillations pour des plans inclinés plus rapides que pour ceux

qui le seraient moins , et que , en outre , l’agrandissement des trous des pivots de l’échappement diminuerait d’autant plus la grandeur de la levée que les bras seraient plus courts. Une pratique raisonnée doit donc fixer la limite des grandeurs convenables à donner à ces branches.

» Je ferai remarquer qu’on rencontre, dans beaucoup d’horloges et de pendules, des échappements à ancre dont les ‘branches sont plus ou moins réduites sans qu’elles aient présenté l’inconvénient d’une destruction rapide ou une difficulté d’exécution. Je suis donc fondé à croire que les échappements de Graham, à chevilles et autres, peuvent, sans inconvénient, être réduits aux dimensions des plus petits échappements à ancre employés.

» J’ajouterai , toutefois, que plus on raccourcira les branches d’un échappement, plus son exécution devra être soignée, et enfin qu’on peut, sans inconvénient, réduire les échappements de Grahain ou h chevilles , employés dans les régulateurs et les grosses horloges, à la moitié, au tiers et même au quart des dimensions qu’on leur donne ordinairement. On obtiendra ainsi une régularité d’autant plus grande que les bras seront plus courts, et d’ailleurs, comme le frottement diminue eu raison du raccourcissement des bras, le même poids moteur produira des oscillations plus grandes, qu’on pourra réduire en conservant cette même force motrice et en augmentant la pesanteur du pendule : on aura ainsi une puis.sance régulatrice plus grande , mue avec le même poids moteur.

» Les considérations théoriques, quelque spécieuses qu’elles soient, ont toujoui’s besoin d’être appuyées des résultats de la pratique : c’est dans ce but que j’ai construit un appareil ou plutôt un échappement dont les bras ont des longueurs différentes, et au moyen duquel on peut acquérir la vérité prali(|ue du principe indiqué plus haut. Le même appareil permet, en outre, de mesurer les quantités de frottement que donneraient des bras de longueurs différentes.

» Cet appareil, représenté fig. 2, se compose d’un double bâti h b, monté .siir une base dd;ce bâti supporte, au point a, l’axe d’une branche d’échappement suspendu sur des pivots très- fins, pour diminuer le frottement : sur la longueur de ce bras sont construits trois becs d’échappement t, j, k, de hauteur égale, pour pouvoir y appliquer la même roue, et leur distance respective au centre d’oscillation est comme 1 , 8 et 16. Les trois becs ont exactement la même levée, qu’on peut vérifier au moyen d’un arc de cercle divisé, placé au bas du plus grand bec, et d’un index fixé sur la base dd. Sur l’axe même de l’écbappement est fixé un bras horizontal /, à l’extrémité duquel peut être su.spendu un petit plateau de balance , dans les conditions employées pour les balances de précision. Enfin , sur le même axe, est un autre bnis vertical, sur lequel est fixé un poids curseur r, au moyen duquel on peut équilibrer tout l’appareil, toutefois sans y comprendre le plateau de la balance, qui, dans l’état d’équilibre de l’appareil, repose, par son couteau, sur une pièce fixe du bâti, et au contact duquel le bras / n’arrive qu’au moment où le l)ec cede l’échappement com-

mence à reculer par l’action qu’exerce sur l’un des fuyants le rayon F , qui représente une des dents de la roue d’échappement; cette dent est mobile autour d’un axe o, disposé dans une chape à coulisse P, qu’on peut fixer, en un point quelconque, le long du montant vertical v, de manière à permettre de placer à volonté la dent F vis-à-vis l’un des trois be<îs de l’échappement. Des repères marqués sur le montant v permettent de placer sûrement cette dent à la hauietir convenable, pour qu’elle soit tangente h chaque bec. Sur la dent F (dont le corps est taraudé) est placée une niasse m formant écrou, et dont l’éloignement ou le rapprochement du centre augmente ou dimi nue l’action de la dent sur les becs.

« Enfin, pour diminuer autant que possible les causes d’erreur, j’ai exécuté avec le plus grand soin toutes les pièces : les pivots sont très-fins, les surfaces frottantes aussi polies que possible, et l’appareil peut être placé dans la position la plus convenable au moyen des vis calantes x x.

n Voici la manière d’opérer :

') Après avoir disposé la dent F de façon h aliaquer l’un des becs, on place dans le plateau de la balance le poids nécessaire pour tenir l'appareil en équilibre au moment où la dent agit sur le plan incliné du bec; puis, conservant ce même poids dans le plateau, on présente la dent à un autre bec, et l’appareil re.ste également en équilibre, quel que soit le bec attaqué. Cependant le plus court des trois becs n’a qu’un seizième de la grandeur du plus long : on concevra dès lors que tous les becs intermédiaires, quel que .soit leur nombre, se comporteront de la même manière.

» Le résultat pratique confirme donc ici le principe théoiâque que, abstraction faite du frottement, il esi tout à fait indifférent que les bi’anches de l'échappement soient longues ou courtes.

» Si nous voulons maintenant examiner la question sous le rapport du frottement, le même appareil la résoudra d’une manière aussi catégorique.

» En plaçant la dent F sur un point quelconque de l’une des courbes de repos, il faudra un certain poids dans le plateau de la balance pour vaincre le frottement que la dent F exerce sur cette courbe, et déterminer le mouvement de l’échappement. Si on place ensuite la même dent sur une courbe décrite d’un rayoti plus grand, on verra qu’il faudra un poids plus lourd pour vaincre le même frottement, et un moindre poids [K)ur surmonter celui d’une courbe décrite d’un rayon plus court : on se convaincra par là que ce poids augmentera en raison directe de la longueur des bras de l’échappement, et détruira, dans la même proportion, la libellé du mouvement, par consé(juent la régularité de la marche.

» Je crois être parvenu à démontrer que, théoriquement, la longueur des bras d’un échappement quelconque doit être la p/us courte possible; mais de nombreuses discussions avec les artistes ou les horlogei’s, parmi lesquels, depuis plus de six ans, je m’efforce de propager cette théorie , m’ont démontré que cette expression , parfaitement justifiée d’ailleurs, présente trop de vague pour être bien comprise de tous, et

qu’il est utile de poser des bases pratiques à l’application de cette même théorie.

» Pour donner plus de clarté à cette partie de mon travail et pour éviter toute fausse interprétation , je crois utile d’entrer dans de plus amples détails sur cette question des longueurs de bras.

» Nous avons vu que, si l’on raccourcissait les bras au delà d’une certaine limite, le fuyant deviendrait trop rapide et ne pré.senterait plus assez de sûreté pour que, après une certaine usure, il pût conserver, pendant un temps convenable, .son angle do levée primitif; que, en outre, l’action des dents sur les fuyants, se faisant trop près de l’axe de rotation, tendrait h repou.sser celui-ci h droite et à gauche, de manière à produire bientôt, dans les trous des pivots, un jeu qui détruirait également une partie de la levée : cet agrandi-ssement des trous serait d’autant plus prompt que l’action serait plus près de l’axe.

» Ma pensée primitive était de laisser à chacun le soin de déterminer une longueur convenable, suivant les applications que l’on aurait en vue; mais, d’après un grand nombre d’observations recueillies, et surtout après l’expérience bien acquise (|ue les principes posés plus haut sont insuffisants, j’ai déterminé, d’une manière générale et pour toutes les applications, des longueurs de bras fixes et invariables. Toutelois, je n’ai pas la prétention d’impo.ser des conditions à personne; seulement je crois avoir trouvé une méthode facile, qui satisfait à toutes les exigences.

» Avant d’entrer en matière, je ferai remarquer que, jusqu’à pré.sent, on a suivi deux méthodes différentes pour déterminer la longueur des bras d’échappement; les uns les ont proportionnés à la. dimension des roues d’échappement, les autres à la longueur du pendule : je vais démontrer que ni l’une ni l’autre de ces méthodes n’est fondée.

» On comprendra qu’en adoptant un nombre de dents ou de chevilles en rapport avec le diamètre des roues on pourra augmenter ou diminuer ce diamètre , et conserver néanmoins aux dents le même écartement ; ainsi un échappement quelconque , muni de son pendule et conservant le même arc de levée , pourra, sans modification de son effet, s’adapter à toutes les grandeurs de roue , pni.scjue les becs conserveront la même hauteur.

» Je pense que ce simple énoncé suffit pour faire comprendre qu’il est impossible d’établir ni d’admettre un rapport de dimension entre ces deux pièces; puisque l’une peut varier à volonté et à l’infini sans changer les conditions de l’autre , de même que l’on peut, à volonté, faire varier la longueur du j)endule sans changer les arcs parcourus.

•» On conçoit, d’après cela, qu’il n’est pas plus raisonnable d’établir un rapport entre la longueur des bras et le diamètre de la roue qu’entre les bras et la longueur des pendules. Selon moi et d’après le principe que je vais dévclop|>er, il existe deux pro- {K)rtions à observer; l’une entre la longueur des bras d’échappement et l’arc parcouru du pendule, l’autre entre la longueur du bras et la hauteur des becs. Ces rapports

sont : r pour un même angle du plan incliné et la même hauteur des becs, la longueur des bras doit être eu raison inverse de l’arc de levée ou même d'oscillation ; 2“ pour un môme angle du plan incliné et le même arc de levée, la longueur des bras doit être en raison directe de la hauteur des becs.

» Pour trouver toutes les mesures possibles et nécessaires, il suffit de déterminer, jwur un échappement quelconque et une fois pour toutes, un rapport entre les données suivantes : 1® l’angle du plan incliné; 2° la hauteur du bec; 3® la longueur du bras par rapport à un angle de levée ou d’oscillation arrêté.

» A l’aide de ces trois données, on trouvera la mesure des diverses parties de tout :iutre écha{>pement.

i> Commençons par déterminer la première de ces conditions, c’est-à-dire l’angle du plan incliné, qu’il ne faut pas confondre avec l’angle de levée, et qui est celui formé , d’une part par la face même du plan incliné, de l’autre par le prolongement de la ligne a, 6, ffg. 3, passant pr le centre de l’échappement et le sommet du plan incliné.

» Je dois d'abord faire remarquer que, pour éviter les inconvénients que j’ai signalés plus haut, il suffit, pour une hauteur de bec et un angle de levée donnés, d’adopter une longueur de bras suffisante pour produire un plan incliné d’une certaine obliquité, ou bien, en d’autres termes, de déterminer un plan incliné qui transmette, d’une manière sûre et durable, l’action de la roue au pendule.

)) Je ferai remarquer également que, dans l’état actuel de l’horlogerie, ces plans inclinés varient, suivant les divers constructeurs, de 18 à +0 degrés environ. Ces deux extrêmes me paraissent exagérés, surtout l’angle le plus ouvert.

>> J’adopterai pour base un angle de 25 degrés, qui , suivant moi , présente toutes les conditions désirables, et c’est, en outre, la moyenne de ceux qui sont généralement adoptés par les bous horlogers.

» Nous verrons plus loin que plus les oscillations seront réduites, plus les bras devront être longs; dans ce dernier cas on pourra sans inconvénient réduire cet angle jusqu’à 20 degrés environ.

» En envisageant sous un autre point de vue cet angle de 23®, on verra que le plan incliné forme l’hypoténuse du petit triangle c,e, i, fig. 3 , dont la base e, i est égale à la moitié de la hatiteur du bec. Ce premier point arrêté nous permettra de déterminer la longueur des bras pour une hauteur de bec donnée.

» On a vu que , pour un môme angle de levée, abstraction faite des frottements, l’impulsion restait la môme, quelle que fût la longueur de bras qu’on adoptât. Celte longueur sera ici subordonnée 1® à l’angle déjà adopté du plan incliné, 2“ à l’angle de levée, 3° à la hauteur du bec.

» l’our point de départ, et pour faciliter la démonstration et le tracé géométrique, prenons une mesure extrême de longueur de bras et de hauteur de bec , par exemple un angle de levée de 1 degré, et la hauteur du bec égale à 0,008 millimètres; par con-

DE L’HORLOGERIE. 3SJ3

.séquent, la base du petit triangle c, e, i devra avoir 0,004 de longueur : or ces 4 millimètres représentent l’intervalle d’un degré à l’autre du cercle que décrirait le bec de l’échappement, dont le bras serait égal au rayon du cercle. Il suffira donc, pour avoir la longueur de ce bras, de multiplier ces 4 millimètres par 360 degrés du cercle, ce qui donnera 1,440 millimètre.s pour la circonférence du cercle, dont on aura le diamètre en multipliant ce nombre par 7 et en divisant le produit 10,080 par 22; le quotient sera 0,458 millimètres, dont la moitié, 229 millimètres , sera le rayon du cercle ou la longueur du bras de l’échappement : cette longueur comptera du centre, de l'axe, au milieu des fuyants, pour des bras égaux, et, de la ligne de séparation, pour (les bras inégaux, comme dans l’échappement à chevilles. Pour éviter les fractions et mettre le calcul à la portée de tous, prenons le nombre rond de 230, au lieu de 229; la différence de 1 , dans le résultat, est négligeable.

» Pour le plan incliné de 23 d^rés, un angle de levée de I degré et une hauteur de bec de 8 millimètres, nous aurpns donc une longueur de bras de 230 millimètres. Ces données suffisent pour trouver le rapport et la dimension de toutes les parties d'un échappement quelconque.

» Nous avons vu plus haut que, pour un même plan incliné et une même hauteur de bec, la longueur des bras est en raison inverse des arcs de levée ou d’oscillation.

» Admettons que, au lieu de 1 degré de levée, on veuille en battre deux, comme le représente la fig. 4, nous aurons cette proportion :

« 2 : 1:: 230 : x = 113, longueur des bras.

» En adoptant 3 degrés de levée, comme le représente la ûg. 5, nous aurons cette autre proportion :

» 3 : 1 ; : 230 : x = 76,6 , longueur des bras.

>) Eu adoptant 4 degrés de levée, nous aurons :

» 4 : 1 : : 230 : x = 57,5 , longueur des bras.

» En adoptant 6 degrés de levée, on obtiendra :

» 6 : 1 : : 230 : x — 38,75 , longueur des bras.

» Et ainsi de suite.

« On remarquera que cette opération, pour une même hauteur de bec, se réduit à diviser le nombre 230 par le nombre de degrés de levée. Cette méthode a, en outre, la propriété de conserver, pour une même hauteur de bec , la même étendue des frottements, soit sur les plans inclinés, soit pendant les arcs supplémentaires, quelle (]ue soit la longueur des bras.

» Nous avons vu aussi que la longueur des bras v.ariait en raison directe de la hauteuides becs. Ainsi, pour 1 degré de levée et 8 millimètres de hauteur de bec, nous avons une longueur de 230. Mais, si, en conservant cette même levée, on modifie la hauteur du bec, si on lui donne 2 millimètres, par exemple, on aura cette proportion :

» 8 : 2 : : 230 : X = 57,50, longueur des bras.

» Si l’on abaisse cette hauteur à 1 millimètre , on aura cette autre proportion :

32i HISTOIRE

» 8 : 1 : : 230 : x = 28,75, longueur des bras.

» Pour 2 degrés de levée et 8 millimètres de hauteur de bec, la longueur des bras est 113 millimètres; si , avec cette levée de 2 , l’on veut réduire la hauteur du bec à 1”,5, par exemple , on aura cette proportion :

» 8 : 1,5 : : 1 13 : a; = 21,5, longueur des bras.

» Pour 3 degrés de levée et 8 millimètres de hauteur de bec , la longueur des bras étant de 76,6, si, avec celte levée, l’on veut réduire la hauteur du bec à 1,4, on aura cette proportion :

» 8 : 1,4 : : 76,6 : x = 15,4, longueur des bras.

» De même que, avec une levée de 6 degrés et une hauteur de bec de 1,5, on aura :

» 8 : 1,5 : : 38,75 : x ~ 7,26, longueur des bras.

» Et ainsi de suite.

» On voit donc que, à l’aide des premiers chiffres indiqués, on pourra déterminer, pour un même angle du plan incliné, toutes les dimensions possibles, non -seulement la longueur des bras, mais aussi la hauteur des becs pour une longueur de bras donnée.

» On peut adopter toute autre base que celle déterminée ici, sans que cela change le principe ni les proportions développées. Je suppose, par exemple, que l’on réduise d’un cinquième l’angle du plan incliné , c’est-à-dire à 20 degrés au lieu de 25 , il en résultera que la longueur de tous les bras sera réduite d’un cinquième.

» Comme conséijuence de ces calculs, et surtout à l’inspection des ligures , les personnes peu familiarisées avec les combinaisons mécaniqm's seront disposées h croire que, plus la hauteur des becs sera réduite, plus l’impulsion (sur un même pendule) sera faible. H n’en est cependant rien, attendu qu’on ne peut pas, pour un même nombre de dents et la même combinaison des rouages, réduire la hauteur des becs sans réduire, dans la même proportion, le rayon de la roue d’échappement; par conséquent, ce qu’on aura perdu sur la hauteur des becs, on le regagnent par la réduction du rayon de la roue, en laissant, bien entendu, cette dernière sous l’influence d’une même force motrice.

» Quoique les oi>éralions arithmétiques soient très-faciles, je vais indiquer, pour les personnes qui n’en ont pas l’habitude, une méthode graphique à l’aide de laquelle on pourra résoudre toutes les questions sans le secours d’aucun chiffre.

» Nous savons que tous les becs d’échappement sur lestpiels agi.ssent des dents aiguës doivent avoir pour hauteur la moitié de l’écartement d’une dent à l’autre de la roue. Nous avons vu aussi «pie la base du petit triangle e, c,i et de celui de tous les autres b*>cs «pii sont en rapport est égale h la moitié de la hauteur des becs, par conséquent celle base est égale au quart de l’intervalle d’une dent à l’autre de la roue, pui.sque la hauteur de deux becs forme l’écartement des dents.

« Si donc, après la fente de la roue ou la piqûre des chevilles, on présente deux «lents, ou chevilles voisines, sur une figure tracée avec précision et semblable à l’une

DE L’HORLOGERIE. m

de celles dont je viens de faire usage pour ma démonstration, si on cherche sur cette figure la posilion, ou la distance entre deux dents , et qu’on prenne un angle égal à quatre fois celui de levée, la distance de ce point de coïncidence au sommet a de la figure donnera la longueur des bras de l’échappement.

» On comprendra que plus les dents seront écartées, plus il faudra s’éloigner du centre de rotation a pour trouver le point où l’écartement d’une dent à l’autre coïncidera avec les degrés prolongés du cercle, et que, au contraire, plus les dents seront rapprochées, plus on sera forcé de remonter vers le centre a.

» Ainsi, par exemple, supposons l’écartement d’une dent (ou cheville) à l’autre égal à 8 millimètres et la levée égale à 1 degré; en présentant cet écartement de dents sur les divisions du cercle, ce ne sera qu’à la hauteur B, flg. 3, que cette coïncidence aura lieu ; si l’on adopte 2 degrés de levée , elle ne se rencontrera qu’à la hauteur C , fig. 13; et, enûn, si l’on adopte 3 degrés de levée, ce ne sera qu’à la hauteur D, lig. 14 ; attendu que, dans le premier cas, cet écartement des dents ne devra embrasser que 4 degrés , 8 dans le second , et 12 dans le troisième, ces nombres étant, l’un et l’autre, multiples de quatre fois la levée (1).

» Dès lors la question se réduit, pour les praticiens, à tracer sur une planche métallique, afin de conserver la netteté de la division, une trentaine de degrés du cercle, depuis le centre jusqu’à une certaine distance de celui-ci , suivant les besoins, comme le représente l’une ou l’autre des trois figures. Ce simple instrument pourra faire partie de l’outillage du fabricant d’échappements.

» Comme le plan incliné de tout échappement est ramené à un même angle uniforme et invariable, pour faciliter sa construction, on pourra aussi avoir une fausse équerre, flg. 6, dont le petit bras forme, avec le prolongement du plus grand côté, un angle de 25®. Cette équerre pourra guider sûrement la formation du plan incliné, en la présentant sur tout échappement , de la manière indiquée fig. 6.

)) Je ferai remarquer que les échappements dont les dents (ou chevilles) portent une partie des plans inclinés ne changent en rien le principe que je viens de développer ; il y aura seulement cette différence que, après l’exécution, les becs seront d’autant moins hauts que les dents porteront une plus grande quantité du fuyant. En résumé, l’étendue des deux fuyants réunis du bec et de la dent auront la même hauteur que ceux figurés, et dont le fuyant se trouve entièrement sur le bec. Le principe reste encore le même lorsque les fuyants sont placés entièrement sur les dents de la roue.

» Je ferai remarquer également que, d'après les lois des plans inclinés et de la mécanique en général , l’impulsion sur le pendule restera la même , quel que soit l’angle du plan incliné qu’on adoptera , puisqu’il est démontré que ce qu’on aura perdu en parcours , dans le sens de l’oscillation , on le regagnera par une impulsion plus forte , et

(i) Je ferai remarquer que les figures sont réduites de moitié de ce qu’elles devraient être par rapport aux chiffres indiqués.

HISTOIRE DE L’HORLOGERIE, récipt'oqueineul; par conséquent, l’angle total d’oscillation sera toujours subordonné à la pesanteur et à la longueur du pendule, ainsi qu’à la force motrice appliquée.

» Il résulte de ce qui précède que les oscillations seront d’autant plus grandes que les pendules seront légers et courts : aussi la pratique répond-elle parfaitement à ces conditions. On remarquera , en effet, que, dans les gros.scs horloges et dans les régulateurs, où l’on emploie des pendules pesants et battant environ la seconde, les oscillations totales .sont de 2 h 4 degrés; dans les pièces où les oscillations ont une durée d’environ une demi-seconde, les arcs parcourus sont de 4 à 7 degrés; enûn que, dans les pièces où les pendules ont environ 20 centimètres de longueur, les arcs d’oscillation sont de 6 à 10 degrés, suivant leur pesanteur et la force motrice appliquée.

)> Ainsi , pour une même hauteur de becs , plus les pendules seront légers et courts (puisque la longueur est une des conséquences de la pesanteur), plus les arcs parcourus seront grands; par conséquent, pour que la poussée latérale sur les pivots n’ait pas plus de puissance avec les longs pendules qu’avec les courts, il convient, |>our rester dans les mêmes conditions, sous le rapport de cette poussée latérale, que les impulsions se donnent d’autant plus loin du centre de rotation a, que les pendules seront longs et pesants; en d’autres termes, le point d’impulsion , c’est-à-dire le bec d’échappement, devra s’éloigner ou .se rapprocher du centre de rotation a, à peu près dans le même rapport que le centre de gravité du pendule.

» La longueur des bras étant principalement basée sur l’étendue des arcs parcourus du pendule, et l’arc parcouru étant lui -même, en quelque sorte, la conséquence de la pesanteur et de la longueur de ce même pendule, il en nisulte que le principe développé ici est encore en harmonie avec les lois générales de la mécanique. »