MONOCORDE DE PYTHAGORE

A B est une corde tendue, limitée par deux chevalets

Son ftmdamentaL

fixes G G. Un chevalet mobile G', qui se déplace sous la corde, permet d'en faire vibrer telle partie que l'on veut. La figure le représente installé sous la division 2, qui correspond à la moitié de la corde. [La corde entière s'appelle i.] On peut faire prendre au chevalet G' les positions 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9... qui correspondent au tiers, au quart, au cinquième,... au neuvième de la longueur totale, comptés à partir de l'extrémité B.

Le son fondamental est fourni par la corde dans toute sa longueur, le chevalet G' n'intervenant pas.

Pour obtenir l'octave aiguë de ce son, les Pythagoriciens constatèrent qu'il faut placer le chevalet G' au point 2, c'est-à-dire à la moitié de la corde [1/2] ;

Pour obtenir la quinte aiguë du son fondamental, il faut placer G' au point 3, qui, à partir de A, marque les deux tiers de la longueur totale [2/3], et faire vibrer ces deux tiers de corde, c'est-à-dire la partie comprise entre 3 et A;

Pour obtenir la quarte aiguë du son fondamental, il faut placer G' au point l\, qui, à partir de A, marque les trois quarts de la longueur totale [3/4], et faire vibrer ces trois quarts de corde, c'est-à-dire la partie comprise entre 4 et A. Donc l'expression numérique de l'octave, de la quinte et de la quarte, imposée par les longueurs de corde correspondantes, est :

Son fondamental

Octave Quinte Quarte

Ces trois fractions, ou, comme disent les mathématiciens, ces trois rapports^ sont les plus simples de tous et dans leurs termes il n'entre que les quatre premiers nombres : i, 2, 3, 4- l^es Pythagoriciens considérèrent que ces relations, par a l'excellence » de leur simplicité, étaient la justification du procédé suivant lequel les citharistes accordaient leurs instruments (76) (77) (78). « Ce qui est le plus simple est le plus beau, et partant le meilleur ». Aussi attribuèrent-ils à ces quatre premiers nombres un pouvoir impératif; et ce Quaternaire devint une formule cabalistique, dont il fut interdit de se passer désormais.

Ils n'en continuèrent pas moins leurs mensurations au Monocorde. Après avoir fait vibrer les 1/2, 2/3 et 3/4 de la corde, ils en prirent les 4/5, les 5/6, les 6/7, les 7/8, les 8/9, etc. ; produisant ainsi la tierce majeure naturelle [4/5], la tierce mineure naturelle [5/6], etc., mais ne les jugeant pas assez « simples » numériquement, pour les admettre à l'honneur d'entrer de plain pied dans la constitution de l'échelle normale. Ils chargèrent donc les Symphonies de calibrer tous les intervalles : tant pis si les tierces qu'ils obtenaient par leur recours diffé-

raient sensiblement des tierces naturelles. Les tierces majeures ut-mi^ sol-si^ fa-la, issues du jeu des quintes dans Topération révélée par la figure (77) , sont plus grandes que la tierce majeure entendue dans la Résonance et fournie par elle. Leur expression numérique, en longueurs de cordes, est étrangement compliquée : supposons que lut ait 81 centimètres de longueur, le mi en aura 64. D'où le rapport 64/Bi, qui est irréductible. On peut se demander comment les Pythagoriciens, épris de simplicité, n'éprouvèrent pas le désir d'adopter la tierce naturelle dont la formule arithmétique, 4/5, constitue un rapport si clair, comparativement à 64/81, qui l'est si peu. Observations analogues relativement à la tierce mineure, pythagoricienne [si-?'é, la-ut, mi-sol] plus petite que la tierce naturelle. La seule raison qu'on puisse fournir de l'obstination des Pythagoriciens est que leur croyance au Quaternaire leur défendait d'en sortir. Il faut reconnaître aussi que dans un art homophone, d'où l'harmonisation est exclue, les tierces pythagoriciennes, ainsi qu'on le dira plus loin, sont d'un excellent effet, parce que très caractérisées.

Ainsi des considérations tirées de la philosophie mathématique prétendirent fixer ne varietur le mécanisme essentiel du régime sonore dont l'échelle Doristi (74) fut le centre.

Il nous importe de compléter l'expérience fondamentale des Pythagoriciens et de considérer, au début d'une histoire qui devra, à toutes les époques, se référer aux indications du Monocorde, les faits principaux dont les premiers acousticiens eux-mêmes avaient constaté la genèse. C'est en mettant en vibration les parties A-2, A-3, A-4, c'est-à-dire la moitié, les deux tiers et les trois quarts de la corde totale, puis les parties A-5, A-6, etc., que l'on produit Toctave du son fondamental, sa quinte,

sa quarte, puis sa tierce majeure, sa tierce mineure, etc. Or si l'on fait vibrer, non la partie la plus longue mais la plus courte de la corde, on constate que la partie 3-B, égale au tiers de la longueur totale, fait entendre la quinte aiguë de l'octave du son fondamental ; que la partie 4-6, égale au quart de la corde, fait entendre la double octave; que 5-B, égal au cinquième de AB, fournit la tierce majeure de la double octave, etc. En d'autres termes les portions de la corde situées à droite engendrent la série des harmoniques (G) (68). Donc sinon par la perception directe de la Résonance, du moins par le seul jeu du Monocorde, les Anciens ont eu à leur disposition tous les produits de la Résonance, à commencer par l'Accord Parfait de 111 sons, dont l'expérience précédente leur livre, « mélodiquement », les éléments exacts. Cependant ils ne songèrent pas à simplifier la série de ces Harmoniques, reportés au-dessous de la figure (68) ^, à la ramener à celle-ci :

et à en utiliser la région grave, où l'Accord Parfait règne impérieusement. Ils n'y songèrent ou ils ne le voulurent pas, pleins de révérence pour le Nombre, comme on l'a vu. De sorte qu'il y eut ici action des musiciens sur les philosophes, à l'analyse de qui les premiers livraient un langage sonore tout constitué ; et réaction des philosophes-physiciens sur les musiciens, par la consécration de ce langage et de ses préjugés, au nom de la Mathématique.

La (( réaction » des Pythagoriciens fut si persistante,

^ La série des sous Harmoniques correspond, on le voit, à la mise en vibration de la partie courte de la corde AB, c'est-à-dire à la seconde partie de l'expérience décrite.

qu elle immobilisa la pratique musicale pom- de longs siècles. Elle retarda révolution normale de la matière sonore. Il est vrai que Platon et Aristote s'en mêlèrent, et que la Musique, art sublime, tenait le premier rangdans 1 éducation des enfants et les plaisirs des citoyens. Ne devait-elle pas se conformer au Nombre, pour rester digne de sa mission ? On sait d'autre part quelle autorité les auteurs des Lois et de\a Politique ont exercée jusqu'à la fin du Moyen Age.

Il ne faudrait pas conclure de ce qui précède que les tierces fussent reléguées au point de laisser des vides dans la mélopée antique. Elles étaient pratiquées, mélodiquement, aussi souvent que dans notre art; même, dans certains cas, — en genre enharmonique instrumental, — les tierces naturelles étaient employées. Mais la plupart du temps prévalaient les tierces Pythagoriciennes, plus grandes ou plus petites que les nôtres. On comprend que ces dimensions anormales leur aient interdit d'entrer dans la composition d'un Accord Parfait : elles y sont fausses. Les Anciens avaient tendance à toujours agrandir les tierces majeures, à rétrécir les tierces mineures. Cela devait donner à leurs mélodies un contour très saisissant; mais en même temps toute harmonisation par accords de III sons devenait impossible. N'empêche que, mélodiquement, l'Accord Parfait se rencontre dans les restes de l'art hellénique et en de nombreux plains-chants du Moyen Age : simple apparence lorsqu'on exécutait les tierces à la manière pythagoricienne ; réalité par exception, lorsqu'il arrivait aux musiciens, entraînés à leur insu par les influences occultes de la Résonance, de lui obéir malgré eux et d'inclure en leurs quintes des tierces naturelles, qu'ils égrenaient en sons successifs.

Enfin, si l'on compare la figure (68) à la figure (6), on

pourra constater que les Anciens ont mesuré avec exactitude, au Monocorde, les intervalles où entre le fa extradiatonique de la Résonance. Fait remarquable, qui révèle à lui seul les différences organiques par lesquelles leur musique se sépare de la nôtre, ils n'ont point rejeté ces intervalles. Dans certaines « Nuances » mélodiques dont ils étaient friands et qui sont incompatibles avec une harmonisation polyphone, ils accueillaient le « ton maxime » \fa*-sol\ beaucoup plus grand que le ton normal \sol-la\. De sorte que, à compter les principaux intervalles de seconde dont ils usaient, on trouve au moins quatre types, qui sont, par ordre de grandeur décroissante : le ton maxime^ le ton^ le demi-ton, le quart de ton [= diésis], dont le fonctionnement sera indiqué plus loin.

Essayons maintenant d'exposer, assez hypothétiquement, le développement de cette pratique musicale, qui fournit aux Pythagoriciens, ces obstinés et admirables calculateurs, la matière de leurs expériences.

Construction progressive de V échelle-type. — La quinte semble avoir été la capacité des mélopées très anciennes, constituées par une quarte plus un ton : ce qui revient à dire que de bonne heure l'excès de la quinte sur la quarte incluse avait été, sinon mesuré avec exactitude, du moins mécaniquement établi. Or cette quarte incluse, pour des raisons de fait qu'il est impossible de scruter, était située à l'aigu, dans la quinte, et se divisait : soit en deux tons plus un demi-ton, soit en un double ton plus un demi-ton, celui-ci étant, dans les deux cas, situé au grave :

Fig. 70. -(^i'*^ V!^ ^'ff- 7'

La place occupée par le demi-ton est à remarquer

elle détermine la « pente mélodique » vers le grave, et correspond à une orientation musicale inverse de la nôtre.

En complétant au grave la quinte limitative des anciennes mélodies on avait donc :

Fig. 72. (4 '*^ *3> « » Fig. 73.

De là à passer — soit par quarte depuis le la^ soit par quinte depuis le si^ soit par octave depuis le mi^ — au Mi grave, il y avait tendance naturelle : le développement normal d une échelle qui s'appuie sur la quinte et la quarte devait nécessairement et de très bonne heure aboutir à Toctave, somme de Tune et de Tautre.

Alors on fut en possession d'une échelle où le tétracorde supérieur mi-si, construit instinctivement et divisé en deux ou trois degrés, eut pour voisin, mais séparé de lui par un ton [si-la\^ un tétracorde semblable la-Mi, dans lequel les tons et le demi-ton se casèrent suivant le même ordre :

Le calibre exact de ces intervalles successifs fut l'objet de recherches passionnées. Il a été dit plus haut par quelles raisons les Consonances Parfaites furent réputées seules efficaces à régler l'échelle. Tous les intervalles diatoniques furent régis par elles, et l'échelle dut s'appuyer exclusivement sur le « jeu » des Symphonies.

La solution pratique du problème, appliquée par exemple à une cithare à huit cordes, fut la suivante : il s'agit d'obtenir, dans des conditions de justesse calculée, la série diatonique m? ré ut si la sol fa Mi. C'est le la, corde du milieu dans le diagramme général des sons (82), centre d'une région vocale déterminée [voy.

ci-dessous p. 75], par conséquent un son fixe, ayant une hauteur absolue, — un « diapason » comme nous dirions aujourd'hui, — qui va servir de repère au mécanisme du réglage.

On prend l'unisson de ce la, IV corde à partir du

Fig. 75.

grave, et de ce son l'on passe par quinte aiguë à la VHP corde \mi\ ; puis par quarte grave à la P"; ou de la VHP corde par octave grave à la P' \Mi\ ; de la P' à la V^ par quinte aiguë \si\. Déjà l'on possède l'armature sonore appelée par Aristote « le Corps de l'Harmonie », et l'on peut représenter comme il suit cette partie de la solution :

Fig. 76.

Elle fixe les cordes limitatives des deux tétracordes et aussi les cordes « compréhensives » de l'octave. Il ne reste qu'à meubler diatoniquement l'intérieur, en plaçant, suivant l'usage qui fait loi, le demi-ton au grave, et en n'appelant à la rescousse, pour régler l'accord, que des Symphonies.

Il suffit de retourner au la ; de prendre sa quarte aiguë, pour avoir la VIP corde, ré\ de passer de ce ré, par quinte grave, à la IIP corde, sol\ de ce sol^ par quarte aiguë, à la VP, ut\ et de cet ut au /a, sur la IP corde, par quinte descendante :

Fig. 7G bis.

L'addition des deux opérations est

Fig. ::

Ainsi, par la seule aide des Symphonies, sans Tintervention d'aucun autre intervalle, on a réglé l'instrument et disposé ses cordes suivant la série-type à laquelle les Grecs donnaient le nom d'Harmonie Doristi.

Une telle échelle ne peut donc impliquer que les Grecs aient perçu ou deviné les phénomènes de la Résonance Inférieure. Les accords mineurs qu'elle crée, symétriques et inverses des accords majeurs (9) engendrés par la Résonance Supérieure,

sol

MI

nu

ut

la

fa ré

sont constitués par des tierces a naturelles » et ne ressemblent pas à ceux que l'on obtient en superposant les sons diatoniques réglés ci-dessus (77) par les Grecs, au moyen des quintes.

Et, cependant, malgré ces différences organiques, les recherches d'Œttingen et de Riemann reçoivent de l'Art Antique une véritable confirmation. Il semblerait que les Anciens eussent possédé de la Résonance Inférieure une intuition assez nette pour qu'elle les orientât vers le Mineur, pas assez nette pour qu'elle leur permît de le calibrer avec exactitude. Ils s'arrêtèrent en route et ils ne réalisèrent point les agrégations sonores suggérées par le phénomène. Il est d'ailleurs très singulier, puisque la Résonance Supérieure se produit et se perçoit beaucoup plus facilement, qu'elle ait été si lente à se dégager et à réagir, et que son utilisation [xv* et xvi^ siècles], son examen analytique [xvii^ et xviii" siècles] aient été si tardifs. L'évolution de la musique est un paradoxe.

L Harmonie \= le Mode]. — Une Harmonie est, dans la langue des Athéniens, une échelle mélodique spécifiée par la place qu'occupent les intervalles caractéristiques, dans chacun de ses tétracordes. En Diatonique, Fintervalle caractéristique de chaque tétracorde est le demiton. Lorsqu'il est situé au grave, il détermine le mode national par excellence, le mode dorien, l'Harmonie DoRisTi, dont la formule figurative est communément l'octave décrite (74). Mais l'octave n'est point la capacité moyenne, limitative du mode, et ici le lecteur doit renoncer à nos habitudes modernes pour s'adapter à celles des Anciens.

L'octave dorienne était simplement considérée comme la partie centrale du diagramme sonore, lequel s'appliquait en principe au registre général des voix masculines. On les situait, chez les Grecs, à peu près comme il suit, les dimensions exactes des divers registres dans l'art vocal des Anciens étant mal connues :

FJg. 79-

De ce diagramme le son-milieu est :

Ktse antique Fa^t^

Fîg. 80. "^

Ce son-milieu s'appelait « la Mèse », comme de juste. On peut constater que, sur la précédente figure, tout se passe comme si le diapason antique était d'un ton et demi [= tierce mineure] plus grave que le nôtre. En effet, le centre moyen des voix masculines est fn, j;, environ*.

Nomenclature des sons. — Dans les exemples qui suivent, et pour simplifier la lecture, tous les sons seront transposés d'une octave à l'aigu. [On a jugé inutile de substituer une clef de ténor à la clef de sol normale.] L'échelle totale des voix d'hommes [a dans la figure (79)] divisée en tétracordes doriens, c'est-à-dire ayant le demi-ton au grave, sera représentée par :

De ces tétracordes, I et II, III et IV sont conjoints, en ce sens qu'ils ont un son commun ; II et III sont disjoints, c'est-à-dire séparés par un ton. De plus I n'est que la réplique de III au grave, et IV la réplique de II à l'aigu. Le centre d'un pareil système tétracordal est évidemment la disjonction ou ton disjonctif si-la. Pour que le la devienne la corde centrale ou Mèse, il faut que l'on ajoute au grave sa réplique à l'octave, pendant symétrique du la aigu par rapport au la central :

De la sorte, le la du milieu est hien la Mèse du système. Mais dans le la grave les Anciens ne voient qu'une note « ajoutée ». Le terme qu'ils emploient pour la désigner le dit expressément : proslambanoniène . Il est, en con-

' Cette anomalie, à laquelle des explications nouvelles sont proposées par Riemann et F. Greif, est maintenue ici, pour des raisons exposées ailleurs [Encyclopédie de la Musique, l. Grèce (Delagrave)].

séquence, nécessaire d'interpréter le cadre de leur système sonore, non comme une double octave, mais comme 1 etagement de quatre tétracordes ayant chacun sa fonc-

tion dans lensemble. La terminologie qu'on leur appliquait précise leur rôle et leur place; c'est de bas en haut :

*Ai- ■- tétracorde des Graves [G].

— Moyennes^ [M].

Fig.

Disjointes [D].

[Sur]aiguës [S].

Cet ensemble tétracordal constituait le Grand Système