C. QUATRIÈME LATINE : Arithmétique (cinq heures
31 établissements concurrents. — 307 élèves inscrits : 287 concurrents.
I. Démontrer que le produit de trois nombres entiers ne change pas de valeur, si Ton intervertit l'ordre des facteurs.
II. Trouver le plus grand commun diviseur des quatre nombres : 20,748; 34,580; 37,297; 49,742.
III. Trois personnes achètent un numéro à la loterie : la 1^® paie 150 francs ; la seconde, 75 francs et la troisième 25 francs; leur numéro commun donne un gain de 1,300 francs. Combien chacune aura-t-elle?
IV. Quelle espèce de changement éprouve une fraction, quand on ajoute ou qu'on ôte à ses deux termes un même nombre ? Comment se modifie la règle, pour un nombre fractionnaire mis sous la forme de fraction?
N. B. Les élèves qui ne pourront traiter la question II se borneront à rechercher le plus grand commun diviseur entre le plus grand et le plus faible des quatre nombres donnés, tout en raisonnant leurs opérations.
Lauréats.
LAURÉATS
ÉTABLISSEMENTS
AUXQUELS ILS APPARTIENNENT
POINTS OBTENUS
(sur 100).
1" prix. Alfred Vanden Bulcke, de Courtrai . . . .
Antoine Niesten, de Visé
2° id.
Anicet Arnould, de Bossut lez-Walcourt . .
1" accessit. Robert Vinçotte, de Borgerhout
Athénée de Bruges.
Id. id.
Collège de Chimay.
Athénée de Bruxelles.
LAURÉATS
ÉTABLISSEMENTS
AUXQUELS ILS Al'PARTlENlNENT.
POINTS OBTENUS (sur 100).
Louis-Matli.-Joseph Lamarche, de Hasselt.
2' accessit.
Henri Thibaut, de Durme
3' id. Léon Alexandre, de Marche
4* id. Joseph De Coninck, de Malines
/ Guillaume Lemaire, de Liège
5' id. ) Ernest Lassine, de Bastogne
f Adolphe Pierron, de Seneffe
/ Joseph Demarest, de Chiraay
6° id. } Félix Moté, de Flavion
( Emile De Gauquier, d'Erbisœul
f Eugène Doudelet, de Hal
7' id.
( Jean Mievis, de Saint-Trond
[ Ferdinand Flechet, de Liège
8' id.
( Isidore Mosselman, de S'- Josse-ten-Noode .
( Florimond Merlin, de Tournai
9" id.
( Théodule Leroy, de Maçon
Jean -Henri Spinnox, de Muysen ....
10' id.
Oscar Thiéry, de Quévaucamps
Athénée de Hasselt.
Collège de Dinant.
Athénée d'Arlon.
Collège Pitzenbourg à Malines.
Athénée de Liège.
Id. de Hasselt.
Collège de Nivelles.
Athénée d'Arlon.
Collège de Dinant.
Id. de Chimay.
Athénée de Mons.
Collège de Saint-Trond.
Athénée de Liège.
Id, de Bruxelles.
Id. de Tournai.
Collège de Chimay.
Collège Pitzenbourg à Malines.
Athénée de Mons.
ÉLÈVES NON LAURÉATS QUI ONT OBTENU AU MOINS LA MOITIÉ DES POINTS
ÉLÈVES
ÉTABLISSEMENTS
ÉLÈVES
ÉTABLISSEMENTS
Prosper Moreau . .
Collège de H«'rve.
François Dupont . .
Collège de Dinant.
Gérard Rasquin . .
Id. de S'-Trond.
Adolp.-Ignace Fiocco.
Id. Pitzenbourg à Malines.
Athénée de Liège.
Eugène Spineto . .
Id. de Dinant.
LéonCoUettB . . .
, Charles Van Marcke.
Athénée de Liège.
Adolphe Basteyns. .
Id. de Mons.
i Ernest De Cleene . .
Id. de Bruxelles.
Marcel Donckier . .
Id. de Liège.
Victor Michaux . .
Jules Jadot ....
Id. de Bruxelles.
Alphonse Lonneux .
Alfred Paillet . . .
Collège Pitzenbourg
à Malines.
Collège de S'-Trond
1 Emile Perier . . .
Id. de Tournai.
Louis Vandertaelen .
Id. deTirlemont.
Jean Lion ....
Collège de S'-Trond
Omer Charlier . . .
Id. de Bouillon.
Louis Petit ....
Hubert Wannez . .
Id. d'Ath.
Émile-Charles Dusart.
Jean-Baptiste Zimmer
Id. Pitzenbourg à Malines Athénée d'Arlon.
Camille Jacob . . .
Collège de St-Trond.
Henri Berleur . . .
Id. de Liège.
Jules Model. . . .
Athénée d'Arlon.
Louis Boyaval . . .
Id. de Bruges.
Jules Reyntjens . .
Edouard- A" Delville .
Id. de Tournai.
Victor Van Gheel . .
Charles De Burlet. .
Ed.-É"-F'» Degrelle .
Eugène Nelissen . .
Collège Pitzenbourg
à Malines.
Collège de Nivelles.
Id. Pitzenbourg à Malines.
Collège de S'-Trond.
Paulin Guillaume . .
Gust -L" Bernaerts .
Ferdinand Delgotal .
Frédéric Gillet. . .
Id. de Chimay.
Collège Pitzenbourg
à Malines.
Id. id.
Collège de S'-Trond.
Charles OrsoUe. . .
Athénée de Mons.
Auguste Chauvin . .
Athénée de Liège.
Jules Rosart . . .
Collège de Nivelles.
Constant Dugauquier.
Collège de Chimay.
Arthur Carlier . . .
Id. id.
Célestin Guériu. . .
Id. id.
ÉLÈVES
ÉTABLISSEMENTS
eu
ÉLÈVES
ÉTABLISSEMENTS
Pierre Vandecan . .
Gol'.ège ''eS'-Trond.
Aurélien Stevens . .
Collège de Tirlemont.
Jules Collard . . .
Id. de Liège.
Eug. Van Steenkiste .
Id. deCourtrai
Paul Hanlet. . . .
Id. Pitzenbourg Malines.
Maximilien Bausart .
Collège Pitzenbourg à Malines.
Jules Vieuxjean . .
Collège de Nivelles.
Albert Doutrewe . .
Athénée de Liège.
René-Ad. Bertrand .
Id. Pitzenbourg à Mali nés.
André Drisket . . .
Id. id.
Hector Denis . . .
Athénée de Bruxelles.
Joseph Van Schoren .
Collège de S'-Trond.
Henri Drion. . . .
Collège de Dinant.
Edra-'-M'" Van Seyvelt
Collège Pitzenbourg
à Malines.
Athénée de Mous.
Auguste-Léon Goehet.
Id. Pitzenbourg
Julien Weiler . . .
à ^ialines.
Victor Lottin . . .
Athéiiée de Liège.
Charles Wilkin. . .
Collège de Hervé.
Ernest Tilliez . . .
Collège de Charleroi.
Ad. Gouder de Beau-
regard . . . . .
Id. de Tongres.
Adolphe Van Hammée
Id. Pitzenbourg
à Malines.
Albert Lacour . . .
Athénée de Bruxelles.
Joseph Vieuxjean. .
Collège de Nivelles.
Pierre Vereecken . .
Collège Pitzenbourg
Henri Ailliez . . .
Athénée de Tournai.
à Malines
Victor Detiége . . .
Athénée de Liège.
Oswald de Kerchove.
Id. de Gand.
Jules Dimbourg . .
Collège de S'-Trond.
Alfred Diegerick . .
Id. de Bruges.
Jules François. . .
Id. de Chimay.
Olivier Villers . . .
Collège de S'-Trond.
Charles Frère . . .
Id. de Charleroi.
Edouard Lammens .
Athénée de Bruxelles.
Albert Mersch . . .
Athénée d'Arlon.
Jules Lecoyer . . .
Collège de Chimay.
Émile-M'^VanHassel.
Collège Pitzenbourg
Germain Stassin . .
Id. de Nivelles.
à Malines.
Travail de l'élève Alfred Vanden Bulcke.
L Démontrer que le produit de trois nombres entiers ne change pas de valeur, si l'on intervertit l'ordre des facteurs.
Pour démontrer ce principe, je vais d'abord prouver que dans un produit de trois oiombres entiers, on peut, sans altérer la valeur du produit, intervertir Vordre des deux derniers facteurs. Soit en effet le produit 3x5x7; pour effectuer ce produit il faudra multiplier 3 d'abord par 5, puis le produit par 7. Or, multiplier 3 par 5, revient à répéter 3, o fois ; on aura donc : 3x5 = 3-f-34~3 + 3 + 3
car on sait que pour multiplier un nombre par un autre, il faut répéter le multiplicande autant de fois qu'il y a d'unités dans le multiplicateur et faire la somme.
Pour multiplier ce produit par 7, il n'y aura qu'à multiplier chacune de ses parties par 7, on aura donc : 3x5x7 = 3x7 + 3x7-|-3x7-|-3x7 + 3x7. Or, pour répéter 5 fois le produit 3 X 7, il n'y aura qu'à le multiplier par 5 ; on aura donc 3x5x7 = 3x7x5
ce qui démontre le principe énoncé.
Je vais prouver maintenant que, dans un produit de trois nombres entiers, on peut intervertir l'ordre de deux facteurs consécutifs quelconques sans altérer la valeur du produit.
Soit proposé, en effet, dans le même produit 3x5x7, d'intervertir l'ordre des facteurs 3 et 5; je considère d'abord le produit 3x5 qui finit par le dernier de ceux dont on veut intervertir l'ordre ; je pourrai intervertir l'ordre de ces deux facteurs 3 et 5 (car on sait qu'un produit de deux nombres ne change pas quand on intervertit l'ordre de ses facteurs) ; on aura donc 3x5 = 5x3.
Or, si l'on multiplie deux produits égaux par un même nombre, les nouveaux produits que l'on trouvera ainsi seront égaux ; si donc nous multiplions les produits 3 x 5 et 5 X 3, qui sont égaux, par le troisième facteur 7, les produits seront égaux ; on aura donc :
3x5x7=5x3x7 ce qu'il fallait démontrer.
Il suit de ce dernier principe que dans un produit de trois nombres entiers, en permu tant successivement un facteur avec son voisin, on peut le faire passer à tel rang que l'on voudra et que, par conséquent, on peut intei'Xtertir comme on le jugera conv)enable Vordre des facteurs d'un produit de trois nombres entiers sans altérer la valeur de ce produit.
II. Trouver le plus grand commun diviseur des quatre nombres : 20748 ; 34580 ; 37297; 49742.
Pour chercher le plus grand commun diviseur des quatre nombres demandés, je vais prouver d'abord que tout nombre qui en divise deux autres divise leur plus grand commun diviseur.
Pour démontrer ce principe, je vais d'abord en démontrer deux autres sur lesquels il est basé ; ces principes sont :
1° Tout nombre qui en divise un autre divise ses multiples. En effet, un multiple d'un nombre n'est autre chose que la somme de plusieurs nombres égaux à ce nombre ; donc puisque le nombre proposé contient un certain nombre de fois le diviseur dont il s'agit, la somme de plusieurs nombres égaux au nombre proposé, c'est-à-dire un multiple de ce nombre contiendra aussi un certain nombre de fois ce diviseur, donc il en sera un diviseur exact.
2° Tout nombre qui en divise deux autres divise leur différence. En effet, chacun des nombres proposés contient un certain nombre de fois le diviseur dont il s'agit, donc leur différence contiendra un certain nombre de fois ce même diviseur, donc, il en sera un diviseur exact.
Revenons maintenant au principe cité plus haut (tout nombre qui en divise deux autres divise leur plus grand commun diviseur).
En effet, tout nombre qui divise le dividende et le diviseur d'une division, divise le reste de cette division ; car il divise le dividende et le produit du diviseur par le quotient (car nous avons démontré que tout nombre qui en divise un autre divise ses multiples) et par conséquent il divisera leur différence qui est le reste de la division.
Donc si l'on applique à deux nombres la méthode du plus grand commun diviseur, tout nombre qui divisera ces deux nombres devra diviser le reste de leur division ; mais ce reste devient diviseur de la seconde division, donc le nombre proposé divisera encore le nombre et le diviseur de la seconde division et par conséquent le reste de cette division et ainsi de suite; donc le nombre proposé divisera tous les restes successifs jusqu'au dernier qui est le plus grand commun diviseur cherché.
Ce principe va nous fournir le moyen de trouver le plus grand commun diviseur des
quatre nombres proposés. Pour cela, je cherche d'abord le plus grand commun diviseur des deux premiers nombres 20748 et 34580 ; ce plus grand commun diviseur est 6916; je cherche ensuite le plus grand commun diviseur entre ce plus grand commun diviseur et le nombre suivant 37297 ; ce plus grand commun diviseur est 247. Je cherche le plus grand commun diviseur entre ce plus grand commun diviseur et le dernier des nombres proposés 49742 ; ce plus grand commun diviseur est 19. Je dis que 19 est le. plus grand commun diviseur cherché.
En effet, le plus grand commun diviseur des nombres proposés divise 20748 et 34580 et par conséquent leur plus grand commun diviseur 6916; mais il divise aussi 37297, donc il divise le plus grand commun diviseur entre 37297 et 6916 ou 247; mais il divise aussi 49742, donc il divise le plus grand commun diviseur entre 247 et 49742 ou 19 ; donc le plus grand commun diviseur cherché devant divi-
ser 19 ne peut pas surpasser ce nombre; si donc je puis prouver que 19 divise exactement les quatre nombres proposés, je pourrai dire que 19 est le plus grand commun diviseur cherché.
Or 19 divise 49742 et 247 puisqu'il en est le plus grand commun diviseur; mais puisqu'il divise 247, il divise aussi 37297 et 6916 multiples de 247. Et puisque 19 divise 6916, il devra aussi diviser 20748 et 34580 multiples de 6916; donc 19 divise à la fois 20748, 34580, 37297 et 49742 ; donc 19 est le plus grand commun diviseur cherché.
D'où Ton peut conclure la règle générale suivante :
Pour trouver le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres, on cherche d'abord le plus grand commun diviseur des deux plus petits nombres (car le plus grand commun diviseur cherché ne saurait le surpasser), on cherche ensuite le plus grand commun diviseur entre ce plus grand commim diviseur et le plus petit des nombres restants ; le plus grand commun diviseur entre ce plus grand commun diviseur et le plus petit des nombres restants et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on ait épuisé la liste des nombres proposés : le dernier plus grand commun diviseur sera le plus grand commun diviseur cherché.
On peut encore trouver le plus grand commun diviseur des nombres proposés d'une seconde manière ; pour le prouver, je vais prouver d'abord qu'un nombre ne peut être décomposé qu'en un seul système de facteurs premiers. En eifet, supposons qu'on puisse avoir en même temps n = B X C x D et n = ô X c X c? ; B, C, D, b, c, d, étant des nombres premiers ; d divise n ou son expression équivalente B X C X D ; donc il doit diviser l'un des facteurs B, .C, P, (car^ lorsqu'un nombre premier divise un produit de plusieurs facteurs il divise nécessairement l'un d'eux) mais comme B, C, D sont des nombres premiers, d ne pourra diviser' l'un d'eus! que p'ouf autant qu'il lui 'soit égal. Supposons donc D = c? ; si nous divisons les deux produits égaux BxCxDetèxcX d par d et les quotients B X C et bX c seront égaux ; mais c divise-le second-de ces produits, donc il devra diviser le premier et l'un de ses facteurs, ce qui ne se pourra que pour autant qu'il soit égal à l'un d'eux. Supposons C == c; B sera aussi égal à b, sans quoi B, X 0 ne serait pas égal à, b X c. Donc D = c?, C = c et B = è, ce qui démontre le principe énoncé.
Remarquons que cette démonstration n'exige pas que. les faeteurs du nombre n soient différents, de sorte que si le nombre entrait plusieurs fois comme facteur dans l'une des expressiojis du nombre n, il entrerait le même nombre de fois comme facteur dans l'autre.
Il résulte de là que pour -qu'un nombre en divise un autre, il faut qu'il ne contienne pas d'autres facteurs premiers que cet autre et qu'il ne contienne pas les facteurs premiers de cet autre un plus- grand" nombre de fois que celui-ci ne les contient lui-même. Supposons, en effet, qu'il y ait dans le diviseur un facteur premier 3 qui ne se trouve pas dans le dividende ; si la division se fait exactement, en multipliant le diviseur par le quotient, on devra retrouver le dividende ; mais cela est impossible car le produit du diviseur par le quotient contiendra un facteur premier 3 qui ne se trouve pas dans le dividende, ce qui ne peut avoir lieu, car alors un même nombre pourrait être décomposé en diflférents systèmes de facteurs premiers.
Supposons d'autre part qu'il y ait dans le diviseur un facteur 3 à la troisième puissance tandis qu'il ne serait qu'à la seconde dans le dividende ; si la division s'effectuait exactement, en multipliant le diviseur par le quotient on devrait retrouvei' le dividende ; mais cela n'est pas possible car le produit du diviseur par le quotient contiendrait le facteur 3 une fois de plus que le dividende, ce qui ne peut être, sans quoi un nombre pourrait être décomposé en divers systèmes de facteurs premiers.
Il résulte de cre principe que le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres est égal au produit que Von trouve en m,ultipliant entre eux tous les facteurs communs de ces nombres affectés chacun du plus petit exposant qu'il a dans ces nombres ; car alors ce plus grand commun diviseur ne renfermera pas d'autres facteurs premiers que les nombres qu'il doit diviser, et ne les contiendra pas à une puissance plus élevée, donc il divisera exactement les nombres proposés.
Donc, pour trouver ainsi le plus grand commun diviseur des nombres proposés nous décomposerons ces nombres en leurs facteurs premiers ce qui donnera
Par conséquent 19 étant le seul facteur premier commun est le plus grand commun diviseur cherché.
III. Trois personnes achètent un numéro à la loterie : la première paye 150 fr., la seconde 75 fr., et la troisième 25 fr.; leur numéro commun donne un gain de 1300 fr.; combien chacune aura-t-elle ?
Ce problème revient à partager 1300 fr. en 3 parties proportionnelles aux nombres 150, 75 et 25.
Pour cela je cherche d'abord la valeur du numéro. Puisque la première personne a payé 150 fr., la 2° 75 fr. et la 3° 25 fr., elles ont payé ensemble 150 fr. + 75 fr. -f- 25 fr. = 250 fr.
Donc la valeur du billet était de 250 fr. ; mais c'est cette valeur de 250 fr. qui a produit un bénéfice de 1300 fr.;
Donc,
Si 250 fr. rapporte un bénéfice de 1300 fr.
1300 , ^ 1 fr. rapportera -^-r- de fr
