CD : AC = AC : CP
ou ÂC^x=CD X CP;
remplaçant par les valeurs -.
a;2 = 2r X CP mais CP = r — OP et OP donne, ce que nous avons trouvé dans le numéro précédent :
OP
Jl/Ï
donc
= \X 2rxlr—^l/4r^ — a^\ = \y^2r^ — r |X4r2 — «2 = |/^^ (2^ — {/4r'2 — a-2)
Le périmètre étant 2na7 est 2n \/^ r {2r — [/ir'^ — a"^).
3° Le périmètre d'un polygone régulier i^iscrit de 2n côtés est plus grand que celui du
polygone inscrit de n côtés et le périmètre du polygone régulier circonscrit de Sin côtés est plus petit que celui du polygone régulier circonscrit de n côtés.
1° En effet, on a AB (côté du polygone inscrit de n côtés) < AC + CD.
Or, n fois AB fait le P'" périmètre ; n fois AC -j- CD fait le second ; donc :
n (AC 4- CD) > n X AB ou 2n (AC) > n X AB.
2° (Même figure).
AG et GB étant les moitiés des côtés, font ensemble un côté du polygone régulier circonscrit de n côtés ; EF -|- FB -\- AE, font ensemble les deux côtés du polygone régulier circonscrit de 2n côtés (AE et FB égalant chacun la moitié d'un côté HE et BI) qui correspondent à 1 côté de l'autre polygone AG -j- GB. Il faut démontrer que AEFB < AG + BG.
Or, il y a une partie commune AE-|- FB ; et EF < EG -j-FG ; donc : AEFB < AG + BG
et le périmètre n (AEFBj < n (AG -f BG); ou 2n (EF) < n (AG + BGj.
Ces formules établies, j'inscris dans un cercle dont le rayon est r, un hexagone régulier ; on sait que a = r ; et le périmètre en est 6r.
Par la première formule je cherche le périmètre du polygone semblable circonscrit de 6 côtés ; il vient (n égalant ici 6) :
n X 2ar 12r2 12r 12r l/s
— ■ = — -p= = — — = = 6.928 à peu près.
Par la seconde formule, je cherche le périmètre du dodécagone régulier inscrit, il vient :
2n [x^r {2r — [/ Ar^ — à^) = 12 yX^ 2r'^ — r« (/s = 12r [^^2 — J/S = 6,24
à peu près.
Or, les périmètres des polygones inscrits allant en croissant et les autres en diminuant (3) il arrivera à la fin qu'ils feront chacun
Inscrit 6,283183r et 6,283184r,
où ils ne différeront plus que dans le 9^ ordre de décimales ; et, la circonférence étant comprise entre les deux, on prendra pour sa valeur Tune ou l'autre et on aura :
Circonf. = 6,283184r, Circonf.
ou bien Delà
= 6,283184 rayon
Circonf. 6,283184
diamètre
ou TV
2® question de géométrie.
1 . Deux parallélipipèdes rectangles de même base sont entre eux comme leurs hauteurs.
2. Deux parallélipipèdes rectangles de même hauteur sont entre eux comme leurs bases.
3. Deux parallélipipèdes rectangles quelconques sont entre eux comme le produit de leurs bases par leurs hauteurs ou comme le produit de leurs trois dimensions.
De là on tire : un parallélipipède rectangle est à un cube dont le côté est 1, comme le produit de ses trois dimensions est à 1 ; ou bien, un parallélipipède rectangle se mesure par le produit de ses trois dimensions.
Deux pyramides triangulaires de môme hauteur et qui ont des bases équivalentes sont équivalentes.
Soient deux pyramides triangulaires à bases équivalentes et dont la hauteur commune est AP ; nous supposons les bases ABC et abc sur le même plan ; je dis que les pyramides S ABC et sabc sont équivalentes.
Car, si elles ne l'étaient pas, soit SABC la plus grande des deux ; leur différence pourra toujours être exprimée par un prisme triangulaire dont la base soit ABC et la hauteur Aa?. Je divise AP en parties AV plus petites que Kx et par chaque point de division je mène des plans parallèles au plan de la base ; ces plans opéreront dans les deux pyramides des sections qui seront toutes éloignées les unes des autres de AV ; ces sections seront équivalentes deux à deux, savoir : FGH à fgh et ainsi de suite, puisque les bases le sont.
Cela posé, sur ABC et les sections suivantes je mène des prismes extérieurs triangulaires; la somme de ces prismes est plus grande que SABC ; sur fgh pour base et les sections suivantes, je décris des prismes triangulaires intérieurs ; la somme de ces prismes est plus petite que sabc ; donc, la différence entre les deux sommes doit être plus grande que la différence entre les deux pyramides.
Or, le second prisme extérieur FGHI est équivalent au l®'" intérieur fgha\ ils ont bases équivalentes fgh et FGH et même hauteur AV ; il en est de même du 3® extérieur et du second intérieur; et ainsi de suite. Le seul prisme ABCF, n'ayant pas son équivalent dans les prismes de la seconde pyramide, est donc la différence entre les sommes de prismes. Donc, ABCF doit être plus grand que ABCX qui est la différence des deux pyramides ; or, il est plus petit, car, ils ont même base et sa hauteur AV est " plus petite que la hauteur AX ; donc, l'hypothèse dont on est parti est absurde. Donc, il n'y a pas de différence entre les deux pyramides ; donc, elles sont équivalentes,
S^ question de géométrie.
Soit un parallélipipède ABCDH qu'il faut partager en trois parties équivalentes par des plans menés par l'arête AG.
Si je partageais la base ABCD en trois parties équivalentes par des droites aboutissant au point A ; en menant des plans par ces droites et l'arête, le parallélipipède se trouverait partagé en trois solides équivalents comme ayant des bases équivalentes et des hauteurs égales, étant compris entre les deux plans parallèles ABCD et GHIK; si je puis donc partager ABCD en ces trois parties, la question est résolue.
Soit donc à partager un parallélogramme quelconque en 3 parties équivalentes par des droites aboutissant à un sommet?
D'abord si je mène AC, les deux triangles, ADC, ABC, sont égaux. Je puis chacun les
partager en 3 parties équivalentes en divisant DC et BC chacune en 3 parties égales ; les triangles résultants DAH, HAG, GAC ont des bases égales et leur sommet au point A; ils sont équivalents et chacun fait le tiers du triangle DAC ; pour une raison semblable CAE, EAF, FAB font chacun le tiers du ti'ianglo CAB ; or ces deux triangles sont égaux ;
dont chacun des petits fait le sixième du parallélogramme ABCD, puisque ils sont égaux
entre eux, chacun faisant le tiers de triangles équivalents.
Donc, deux quelconques de ces triangles feront ensemble le tiers du parallélogramme donné.
En suivant cette construction pour diviser la base du parallélipipède donné, on trouvera les lignes AL, AM et en décrivant des plans suivant AG et chacune de ces lignes, le parallélipipède sera divisé de la manière demandée.
