X -{- abcd
ac
abd
bc
acd
ad bd cd
bcd
On remarque déjà que ces différents résultats sont formés suivant une certaine loi ; en effet : L'exposant de x dans le premier terme est égal au nombre de binômes multipliés, dans les termes suivants cet exposant va en diminuant chaque fois d'une unité jusqu'au dernier terme où il est zéro, et alors x devient naturellement l'unité. Les coefficients suivent aussi une certaine loi ; en effet : le cofficient du premier terme est l'unité, celui du second terme est égal à la somme des combinaisons 1 à 1 que l'on peut faire avec les seconds termes des binômes ; celui du 3® terme est égal à la somme des combinaisons 2 à 2 que Ion peut faire avec les seconds termes des binômes et ainsi de suite jusqu'au dernier terme qui est le produit des seconds termes des binômes.
Or je dis que cette loi de formation est générale ; car supposons la vraie pour m binômes je vais démontrer qu'elle l'est encore pour m -\-\ binômes, soit x-^ + Aojw^-l 4- Ba;»^-2 ~f- Qx^-"^ | . . . 4. Ua; -f V
le développement de ces m binômes; multiplions ce résultat par un {m -\- Vf binôme que nous représenterons par a? -f- K. Le résultat de la multiplication donne -.
AK
BK
^m-2| ... j V KU
a;-f VK.
Or, ce résultat est formé d'après la loi énoncée, car l'exposant de x dans le 1*^^ terme est égal au nombre de binômes multipliés. Dans les termes suivants il va en diminuant d'une unité jusque dans le dernier terme où il est zéro ; les coefficients suivent également la loi susdite, car le coefficient du premier terme est l'unité ; celui du second est (A -j- K) or A dans le premier développement représente la somme des seconds termes des m binômes donc (A -|- K) représente la somme des seconds termes des {m -\- X) binômes, le coefficient du 3® terme est B -f- AK. Or B représente la somme des combinaisons que l'on peut faire, 2 à 2, avec les seconds termes des (m) binômes, on bien encore toutes les combinaisons 2 à 2 que l'on peut faire avec les seconds termes des {m -\- \) binômes, excepté celles dans lesquelles entre K, or AK représente ces dernières combinaisons donc (B -|- AK) représente la somme des combinaisons 2 à 2 que l'on peut faire avec les seconds termes des (m -}- 1) binômes. Les autres coefficients se forme d'après la même loi et le dernier terme VK représente le produit des seconds termes des (m -[- 1) binômes. Donc, quand la loi est vraie pour m termes elle l'est aussi pour {m -\-\)\, ov elle a été démontrée vraie pour 4 binômes, donc elle le sera pour cinq, l'étant pour cinq, elle le sera pour six ; et ainsi de suite, donc elle est générale.
Supposons maintenant que tous les seconds termes deviennent égaux, c'est-à-dire que a-=-h^=c^=d(m. aura pour le développement le (n ■\- df^
. , m .m — 1^ ^ , m .m — l .m — 2„ {x -\- a)^ = x^ -j- max^^-^ -| — - — a-x^^-^ -| a V>^-3 -f . . .
~\ , ^ ^ ■ — a'^nw^-w 4- ... a^.
En effet : le premier terme doit être égal à x élevé à une puissance indiquée par le degré de la puissance du binôme : et les autres exposants de x se formeront d'api'ès la loi connue; nous ne nous occuperons donc que des coefficients : Le coefficient du premier torme est l'unité ; celui du second terme était : dans le développement précédent (« -j- ô -]c -\- d), donc dans celui-ci tous les seconds termes étant égaux, il sera (a -{- a -\- a -}- ) autant de fois a qu'il y a de binômes multipliés donc m a. le coefficient du troisième terme qui était précédemment : {ab ~\- ac -\- bc -\- cd) devient {a'^ -\- a^ -^ a'^ -\- ...), autant de
fois «2 que Ton peut faire de combinaisons 2 à 2 avec m lettres donc — '- a^, de
yyy yyy —^ 1 yyi v
même le coefficient du 3^ terme sera — '■ — —— a^ et ainsi de suite jusqu'au dernier
terme qui précédemment était ab c d et devient, par la condition a r= b = c = d — , aaaa c'est-à-dire a élevé à une puissance marquée par la puissance du binôme, c'est-à-dire a'>^.
Remarques. On remarque dans ce développement : 1° que l'exposant de a indique le nombre de termes qui précédent celui que l'on considère, celui de x indique combien de
termes suivent ; 2*^ la somme de ces exposants dans un terme est toujours égale au degré de la puissance du binôme ; d'où l'on conclut que le développement d'un binôme élevé à la puissance m renferme (m -f- 1) termes. 3° Que le coefficient est égal au nombre des combinaison que l'on peut faire avec m termes n à 'i, n indiquent le nombre de termes qui précèdent celui que l'on considère.
Au moyen de ces remarques nous pouvons former le terme général du développement, c'est-à-dire un terme quelconque, soit le (n -{- 1 ), par exemple ; on aura
m. (m — 1) . (m — 2) ... (m — ^ + 1) T«+i=— ^ 1.2.3... n ^^^ana^M-n (A).
Si nous voulons avoir le terme suivant nous n'avons qu'à changer dans ce terme n en n -|- 1. Nous aurons :
Tn+2 = 7-ir^ , , rr ^ an+lx^n-n-l,
On voit donc que pour passer d'un terme au suivant, il suffit de multiplier le coefficient de ce terme par l'exposant de x dans le même terme, et de le diviser par le nombre qui indique le rang de ce terme ; d'ajouter une unité à l'exposant de a et d'en retrancher une à celui de a;.
Nous pouvons donner une autre forme au terme général (A) ; en effet, son coefficient ne changera pas si l'on multiplie le numérateur et le dénominateur par la suite des nombres naturels depuis 1 jusqu'à (m — n) il vient alors
m.hn—l) ... 3.2.1 1 . 2 . 3 . . . n . 1 . 2 . 3 . . . m — n
Si l'on voulait avoir le terme qui en a (m — n) avant lui, il suffirait de changer n en [m — n) dans la formule précédente ; on voit alors que le coefficient reste le même ; ce qui prouve que le nombre des combinaisons de m lettres n à n est le même que celui des combinaisons (m — n) à (m — n). Or, de cette remarque nous tirons une propriété fort importante ; c'est que les coefficients des termes également éloignés des extrêmes sont égaux ; en effet l'exposant de a indiquant le nombre de termes qui précédent, et celui de x, le nombre de termes qui suivent. Ces exposants étant égaux, les termes sont également éloignés des extrêmes, mais le coefficient du premier de ces termes est égal au nombre de combinaisons que l'on peut faire n à n avec m lettres, le coefficient de l'autre terme est égal au nombre de combinaisons que l'on peut faire (m — n) à (m — n) et ces deux nombres de combinaisons étant égaux la proposition est démontrée.
Cette proposition se démontre encore en prenant un terme Ka^^x'^^-'^^ du développement de (x -{- a)"^ et le terme correspondant Ka"^-'^a7^ du développement de (a --[- xy^, les deux coefficients sont évidemment égaux, or le terme Ka^^x^^^-^ à n termes avant lui, Ka'^-^a?'^ en a m — n mais coname le développement de (a -{- a?)^ n'est autre chose que celui de {œ -\- a) pris en sens contraire, il s'ensuit que les deux termes Ka'^—^^x'^ et Ka^^x^^^—^ se trouvent à égale distance des extrêmes.
Si l'on veut passer au développement de (x — a)"* il suffira d'observer que tous les termes dans lesquels la quantité a entrera avec un exposant impair, seront négatifs, les autres seront positifs, de sorte que l'on aura
[x — a)^ = ic"^ — max'^-^ -■] — a^x^^-^ «V"-»*
yi . /d 1 . /w . o
Si l'on suppose x =■ \, a -= I, dans le développement de {x -f- a/^ on aura
2». = , + -^ + -^^ + ^-^-^ etc. ... -h 1.
D'où l'on conclut que la somme des coefficients des termes d'un développement est égale à la puissance de deux marquée par l'exposant de la puissance du binôme. Si dans le développement de {x — a "^ on suppose x = \, a = l, il vient
^ = '-T + — ri Tï^ — +"''■
Donc dans le développement d'un binôme élevé à une puissance quelconque, la somme des coeflEicients des termes de rang impair est égale à la somme des coefficients des termes de rang pair.
Un binôme, tel que {x -f- ct)^, peut prendre la forme x'^
Donc pour développer
un binôme il suffira de savoir développer (1 -j- z)'^. Or l'on a d'après les règles trouvées
(1 + zyn = \ -\-mz-\-
D'où l'on conclut : étant donné à développer (1 -|- z)'^, formez d'abord les fractions
T' — 9 — • — ô — ' ^*^'' ^^ nioyen de l'exposant m. Alors multipliez la 1^^ fraction par z,
puis ce résultat par la 2^ fraction et encore par z, et ainsi de suite ; ajoutez tous ces résultats à l'unité et vous aurez les développements de (1 -\- z)'>^.
2° question, — Désignons par V le volume du segment sphérique BDCH que l'on demande à évaluer. Le dernier théorème du livre VIII de géométrie nous apprend que le segment sphérique à pour mesure la demi somme de ses deux bases multiplier par la hauteur du segment, plus le volume d'une sphère qui aurait cette hauteur pour diamètre, mais dans ce cas ci une des bases
est nulle de sorte que nous aurons : V = - ttBD . DH -f- - irDH .
Or BD = R2 — OD , propriété que nous donne le triangle rectangle DOB, et DH = R + OD de sorte que
V = i 7r (R2 — 0D2) (R -f- OD) + i 71 (R -f OD)'
le triangle rectangle ABO donne OB = AO . OD, où R2 = (;^ — R) DO, d'où DO = substituant cette valeur dans l'expression du volume, nous aurons :
1 mh"^ — 2;iR3\ { m. \ \ h^
s'^'ïh
- {3h — QR-\-h) {2h — 3R.)
Telle est l'expression du volume demandé. Si nous voulions avoir l'expression de ce volume dans le cas où le cône est le plus petit, en volume, de ceux que l'on peut circonscrire à une sphère de rayon donné R, nous savons que h = 4R; dans ce cas l'on a :
3® question. — Soit ABC le triangle à résoudre; supposons donnés : l'angle A, le produit bc ^= m des côtés qui le comprennent et le rayon r du cercle inscrit.
Nous avons la formule a^ = b^^ -j- c^ — 2bc cos A, ajoutons et retranchons 2bc au second membre ; il viendra : a'^ = b^-\-c'^-\-2bc—2bc—2bccosA = {b-\-cy — 2bc{l-\-cosA),
soit 2p le périmètre du triangle alors a^ = (^p — ^)2 — 4^ qq^^i - a mais la surface du triangle = pr = -bc sin A = -^ m sin A,
d'où l'on tire 2p = . Substituant cette valeur dans l'équation précédent© :
, . , . , ^ /4m'sin^-Acos*-A
-^— 4mcos2-A = — 4mcos«-A|
2msinAV r* 2/^.111 r* 2
4mpin-Acos-A'
irm cos' - A Im sin- - A \
4m sm - 4 cos - A \ '
Formule que l'on pourrait rendre calculable par logarithme au moyen d'un angle auxiliaire.
4^ question. — Pour ramener l'équation Ay* -|- Bxi/ -\- Ca?^ -}- F = 0 à la forme Mî/2 -{- Nic* = P, il faudra la rapporter à des axes d'une autre direction ; car nous savons qu'un changement d'origine ne peut que faire disparaître les termes enx oty du 1°"^ degré, ce qui est inutile dans ce cas ci.
Les formules générales de transformations d'axes sont :
x' sin a + 2/' sin a' x' sin (9 — a) + y' sin (0 — a')
sin 0 sin 0 '
Nous pouvons supposer, pour plus de simplicité, que les anciens axes soient rectangles ; s'ils ne l'étaient pas on pourrait les rendre par une simple transformation d'axes ; do sorte que nous supposerons 0 = 90°. De plus, comme ce sont les axes rectangles qui divisent plus symétriquement la courbe nous supposerons que a' = 90 -f- a alors les formules deviennent -. y =os' sin a -}- !/' cos a x — x' cos a — y' sin a.
Substituons ces valeurs dans l'équation de la courbe :
A {x'^ sin^ a + 2/'^ cos' a -J- 2x'y' sin a cos a) -[- B {x'^ sin a cos a — y'* sin a cos a — x'y' sin' a -f x'y' cos^ a) -|- C {x'^ cos'^ a -f y'^ cos« a — 2x'y' sin a cos a) -}- F = O.
Ordonnant par rapport à a?^ et «/^ :
a?' (A sin' a -j- B sin a cos a -|- C cos' a) -\~ xy (2A sin a cos a — B sin» ol \-B cos' a — 2C sin a cos a) -|- y' (A cos' a — B sin a cos a -j- G sin' a) -{- F => 0.
Pour que l'équation proposée prenne la forme My' X Na;' = P, il faut que le rectangle des coordonnées disparaisse, or a est laissé à notre disposition, pour foire disparaître ce terme, nous n'aurons donc qu'à donner à a une valeur telle que l'on ait :
2A sin a cos a — B sin 'a -j- B cos *a — 2 C sin a cos a =s 0 ou B (cos *a — sin *a) -|- 2 sin a cos a (A — C) =i 0
B cos 2a -f (A — C) sin 2a = 0.
sin 2a (A — C) = — cos 2aB — B
Si donc nous donnons à a une toile valeur, le rectangle dos coordonnées disparaîtra. Or, les angles 2a, 180 -\- 2a, 360 -f 2a, 540 + 2a, 720 + 2a, etc., ont tous la
même tangente, par conséquent, si nous prenons pour a des angles, moitiés des angles ci-dessus, a, 90 + a, 180 -|- û'» 270 -f- a, 360 -\- a les axes qui auront ces inclinaisons
sur les anciens, répondront à la question; il est inutile de chercher des plus grands angles, car l'on retomberait sur des axes déjà obtenus. Soient donc Ox, Oy les anciens axes, soit l'angle kOx = a et BB' perpendiculaire sur AA', Si nous prenons d'abord pour l'inclinaison de l'axe des x l'angle AOa? = a, l'axe des y sera BO, si nous prenons l'angle BOa? = 90 -|- a, l'axe des x sera OB, celui des y, OA' ; si Ton prend l'angle k'Ox = 180 -]- a l'axe des x sera OA', celui des y, OB' ; ainsi de suite, on voit donc qu'il n'y a réellement qu'un seul système d'axes rectangles qui ramène l'équation de
TD
la courbe à la forme U.y^- -\- Ma?^ -j- P = 0 ; c'est l'angle a tel que tg 2a = -.
Calculons maintenant M, N et P en fonction de A, B, C et F ; additionnant ces deux égalités, l'on trouve :
M = A cos ^a — B sin a cos a -f- C sin ^a N = A sin ^a + B sin a cos a -j~ C cos ^a
M + N = A (sin ^a + cos ^a) + C (sin ^a -f cos ^a) =, (A -}- C). " En les retranchant membre à membre, il vient M — N = (A — C) (cos % — sin %) — 2B sin a cos a = (A — C) cos 2a — B sin 2a.
Or, sin 2a =
tg2:
q=(/l+tg^2a ^j/
cos 2a
±l/l + tg2 2a
