AU MOINS LA MOITIÉ DES POI

NTS.

César De Corte

Eecloo.

Gustave Herman

Tournai,

Emile Gallée

Mons.

Auguste Poissonniez

Id.

Ernes Flavi

, Dortu

Hervé.

\ irton.

în Mathieu

LAURÉATS

ÉTABLISSEMENTS

auxquels ILS APPARTlEMENr.

NOMBRE DE POINTS OBTENUS

If

Oscar De Give.

Tournai

SI

9fi

Éinilp riofirt,

Enghien.

Eecloo.

Eugène Van Riehem

Louis BoulbouUe

Liège.

Eugène Rossignol

Charleroi.

Vincent Camberlin

Enghien.

Nicolas Walch " . . .

Arlon.

Gustave Eeman

Courtrai.

Octave Govaerts ......

Enghien.

Auguste Jacquet

Bruxelles.

Félix Boutelier

Enghien.

"Walther Goffln.

Saint-Trond

Pierre Missonne ........

Enghien.

Théophile Pery

Saint-Trond.

Auguste Latour

Cliimay.

! Paul Van Wilderode

Louvain.

Charles Barbe

Travail de l'élève Georges Lembourg.

1° Composition française.

Saint Louis avait prononcé se. sentence ; l'héritage de Marguerite était définitivement partagé : les Dampierre devaient régner sur les riches communes de la Flandre ; la race des d'Avesnes était appelée à dominer sur les campagnes fertiles du Hainaut. Jean d'Avesnes, plein de confiance dans la justice de sa cause, avait espéré que l'équité du monarque reconnaîtrait ses droits à la totalité de l'héritage maternel ; il se voyait, par la politique qu'avaient suivie de tout temps les rois de France, frustré de la plus riche partie des domaines de sa mère ; ne pouvant supporter cette amère désillusion, il tomba en langueur, et bientôt il expira, devançant sa mère dans la tombe, sans avoir même été en possession de cette souveraineté qui lui était donnée en dédommagement de ses droits violés.

Lorsque, vingt-trois ans plus tard, la mort fut venue enlever Marguerite, le fils de Jean d'Avesnes devint comte de Hainaut. Le jeune souverain portait le même nom que son père ; il avait conservé un souvenir amer des luttes et des souffrances que celui-ci avait dû supporter; il avait vu, dans son enfance, les déchirements de cette âme ulcérée par la haine implacable d'une mère, qui répandait elle-même des accusations odieuses sur la naissance de son propre fils; il voulut, en montant sur le trône, affirmer solennellement les droits de sa famille ; bien que son père n'eût pas tenu le sceptre, il prit lui-même le nom de Jean II, et, dans Tétendue de sa douleur, il mit à exécution un dessein étrange.

11 retira la dépouille mortelle de son père de la tombe où elle avait été ensevelie pendant si longtemps ; il plaça le cadavre, revêtu d'habits somptueux, sur un lit funèbre, et fit avec lui son entrée dans les villes du pays.

C'était un spectacle étrange que ce jeune prince, portant sur son visage l'expression du

triomphe et de la tristesse, escortant le char qui portait ce cadavre blême, aux yeux éteints, sorti du tombeau où depuis si longtemps il était endormi du sommeil éternel. Jean II veillait avec une sollicitude inquiète sur le corps de son père, auquel les mouvements du char prêtaient quelquefois une apparence de vie ; il abaissait de longs regards sur ce visage auquel les aromates avaient conservé des traits chéris; il abreuvait ses yeux et son cœur de la contemplation de cette physionomie qui respirait dans la mort une mélancolique douceur, et qui, sous les rayons d un soleil resplendissant, semblait quelquefois prendre des teintes animées. Le jeune homme se rappelait, avec un plaisir mêlé d'amertume et de regrets, l'époque déjà si éloignée où ce corps maintenant inanimé était plein de santé et de vie, où cette noble figure s'éclairait d'un sourire franc et joyeux ; il comparait en son cœur ce cadavre pâle avec le noble chevalier que sa mémoire replaçait sous ses yeux, et il éprouvait une sorte de satisfaction à rendre au mort ces honneurs tardifs, comme pour effacer de son propre souvenir toutes les amertumes dont son malheureux père avait été abreuvé.

La réception que fit la population de Mons au jeune comte et à son funèbre cortège fut bien en harmonie avec les sentiments divers qui agitaient les cœurs. Les Echevins et les Bourgeois allèrent à leur rencontre, tenant d'une main un flambeau funéraire, de l'autre une épée; le flambeau, signe de deuil, était un hommage rendu à la mémoire sainte de celui qu'une mort prématurée avait enlevé à la tendresse d'un fils et à l'affection de sujets fidèles ; l'épée qu'ils brandissaient montrait leur dévouement au rejeton de cette famille qui si longtemps avait été en butte aux coups de la Destinée.

Partout le peuple comprit et respecta les sentiments du jeune souverain : la tristesse et l'espérance se partageaient les cœurs. Les habitants poussaient des cris d'allégresse en admirant la noble contenance de Jean II, en célébrant cette joyeuse entrée qui était pour tous un gage de prospérité et de bonheur dans l'avenir. Les infortunes qui avaient assombri sa jeunesse étaient connues, et lui avaient acquis toutes les sympathies; le jeune homme apparaissait comme entouré d'une auréole de malheur qui lui conciliait tous les cœurs ; on voulait en quelque sorte le dédommager, par ces témoignages d'une affection spontanée et sincère, de tous les maux qu'il avait supportés auparavant ; tous avaient le ferme espoir que ce prince, qui avait connnu si tôt l'infortune, saurait compatir à la misère de ses sujets, et les soulager dans leur détresse ; aussi toutes les voix se réunissaient-elles pour l'acclamer et saluer son avènement tiiomphal. Puis, quand les habitants jetaient les yeux sur ce mort, qui, inconscient des honneurs rendus à sa dépouille, était amené au milieu des réjouissances d'un peuple plein d'espoir et de fidélité, un sentiment de respect modérait leurs transports ; ils s'associaient aux sentiments douloureux que cette tardive réparation éveillait dans le cœur du jeune comte, et ils accueillaient le char funèbre avec toutes les marques d'une tristesse silencieuse ; les larmes coulaient au souvenir de ce seigneur mort depuis un quart de siècle ; la vue de ce cadavre réveillait la mémoire des anciennes guerres civiles qu'avaient amenées cette lutte fratricide ; on se rappelait les cruautés des Français, que Marguerite elle-même avait appelés dans le Hainaut pour déposséder son fils ; on se racontait les persécutions qu'elle avait dirigées contre les bons patriotes, et la lutte héroïque que les fils de Jean Le Rond avaient soutenue contre elle et ses bourreaux pour venger leur père. Tous avaient eu à éprouver, dans ces temps de misère, les cruautés de Marguerite, tous, dans cette guerre cruelle, avaient vu leurs champs dévastés, leurs maisons pillées ; et, bien qu'une tardive réconciliation eût mis fin à ces funestes querelles, cependant les habitants du Hainaut n'avaient jamais perdu le souvenir des maux qu'ils avaient dû endurer pendant cette période néfaste, et c'était encore avec des malédictions qu'ils parlaient de celle qu'ils avaient surnommée la Noire-Dame. En même temps ils couvraient d'éloges la piété filiale du jeune comte ; ils admiraient les nobles sentiments qui lui avaient inspiré son projet ; ils étaient profondément touchés de l'intention généreuse du jeune prince, qui avait voulu partager en quelque sorte ses honneurs et sa puissance avec son père, qui avait toujours été en butte à la haine d'une mère ; et, se laissant guider aussi par ces sentiments si dignes de leur respect et de leurs louanges, ils proclamèrent en même temps, d'une voix pleine d'allégresse et entrecoupée de sanglots, le père et le fils comtes de Hainaut.

2° Thème latin.

Anno post Christum natum quingentesimo quinquagesimo nono, Juliensi mense, Monulphus, Tungrorum episcopus, siciit ferunt, quum cuncta regionis castella circumiret, diurnâ via fatigatus, locum adhuc sibi ignotum attigit, ex quo pulcherrimiim spectaculum oculi miravere. Ante ejus pedes quasi devolvebatur vallis ingens, per quam fluebat ex longo magnus amnis et quse puris rivis, per omnes partes serpentibus, atque undas efFundentibus per antiqiiissimas arbores arcte conjunctas, irrigabatur. In longinquo conspiciebantur alti colles, umbram accipi entes a veteribus quercubus, inter quas stabant dispersée, ingentes et omnino niidse rupes. Episcopus, quum illius pulchrse naturse conspectu vehementer commoveretur, non potuit admirationem suam clarâ voce non exprimere, atque, famulos comitantes alloquens : Hîc est, inquit, locus a Deo electus ; bîc quondam florebit civitas opulenta, artibusque dedita, quee tam magnifîca erit, quam maximse Gallorum urbes. Monulpbus, quum longius processisset, atque ad laevam nonnuUos abruptos tumulos reliquisset, viam leviter inclinatam carpsit, quâ usque ad radicem montis brevi tempore adductus fuit. Tune rivum secutus est, quem Legiam appellari dixerunt, atque ad aliquas casas, quse pauperes miserabilesque videbantur, pervenit. Hoc erat Leodium sexto Christi saeculo, atque hsec erat vallis Mosae, priscos irrigantis agros illorum ferocium Eburonum, qui, ex Germania migrantes, sedes suas in illis incultis regionibus collocârunt, atque adversus Romanas acies usque ad extremum libertatem suam defenderunt.

3° Version grecque.

On célébra les jeux Ol3'mpiques, et les Lacédémoniens furent exclus par les Eléens des cérémonies sacrées, et ils ne purent assister ni aux sacrifices ni aux luttes, parce qu'ils ne payaient pas aux Eléens l'amende à laquelle ceux-ci les avaient condamnés d'après les règlements olympiques ; au dire des Eléens, les Lacédémoniens, pendant la paix d'Olympie, avaient porté les armes contre le port de Phyrcus, et avaient dirigé leurs hoplites contre Lepreum. Les Lacédémoniens, ayant envoyé des ambassadeurs, répondirent que leur condammation était injuste, disant que la nouvelle du traité n'était pas encore parvenue à Lacédémone lorsqu'ils avaient fait marcher leurs hoplites. Les Eléens dirent que la trêve était déjà publiée dans leur ville (car c'est d'abord chez eux qu'on l'annonce) et que, tandis qu'ils étaient en sécurité, ne s'attendant à rien, les Lacédémoniens avaient commis à leur insu cet acte d'injustice. Les Lacédémoniens répondirent qu'il n'était pas nécessaire que les Eléens annonçassent encore à Lacédémone les dommages qu'ils croyaient avoir soufferts de leur part, mais qu'ils l'avaient fait sans en avoir l'intention, et que jamais plus ils ne porteraient les armes contre eux. Les Eléens tinrent le même langage, disant que, puisque les Lacédémoniens ne s'étaient pas montrés injustes, ils ne se soumettent pas à l'arrêt, mais que, s'ils voulaient leur rendre Lepreum, et abandonner leur part d'argent et les possessions du Dieu, eux-mêmes paieraient à leur place. Les Lacédémoniens refusèrent; alors les Eléens leur proposèrent de ne pas rendre Lepreum, s'ils ne le voulaient pas, mais de monter sur l'autel de Jupiter Olympien, puisqu'ils tenaient tant à prendre part aux cérémonies, et de s'engager par serment, en face des Grecs, à payer postérieurement leur amende. Les Lacédémoniens ayant refusé également ces propositions, se virent exclus des cérémonies, du sacrifice et de la lutte.

40 Yersion latine.

Dans le Nord, nous avons vu les peuplades des Chauques, qui se divisent en Supérieurs et Inférieurs. Là, s'étendant au loin, deux fois dans l'intervalle d'un jour et d'une nuit, l'Océan débordé se répand sur un espace immense, posant sur ces phénomènes de la nature un problème toujours insoluble ; et on ne sait si c'est là une partie de la terre ou de l'Océan. Dans ces lieux, une misérable peuplade habite les parties élevées du terrain, ou des digues qu'ils ont eux-mêmes construites à l'épreuve des plus hautes marées, et où ils ont élevé leurs chaumières : ces hommes ressemblent à des matelots sur mer, lorsque l'eau recouvre tout ce qui les entoure, à des naufragés quand elle s'est retirée ; autour de leurs cabanes, ils font la chasse aux poissons qui veulent fuir avec la mer. Ils ne peuvent pos-

séder de troupeau, ni se nourrir de laitage, comme leurs voisins, ni même combattre contre les bêtes fauves, car toute végétation est comme bannie de ce pays.

Tout le reste de la Germanie est rempli de forêts, qui, par leur ombre, augmentent encore le froid : les plus épaisses pourtant ne sont pas beaucoup au dessus des Chauques dont nous venons de parler ; elles sont principalement autour de deux lacs ; les rives mêmes sont couvertes de chênes, tant ces arbres sont pour ainsi dire avides de croître; ces chênes, minés par les flots, poussés par les tempêtes, entraînent avec eux des îles immenses qu'embrassent leurs racines ; et ils s'avancent ainsi sur les eaux, tenus en équilibre, avec ce gréement de longues branches, répandant souvent la terreur dans nos flottes, lorsque les vagues les poussent comme à dessein sur la proue des navires stationnés pendant la nuit, qui, dépourvus de tout moyen de défense, doivent afl'ronter un combat naval contre des arbres même. Dans ces mêmes régions du Nord, les énormes chênes de la Forêt Hercynienne, que les siècles n'ont pas renversés, et qui sont aussi anciens que le monde, laissent en arrière, par l'immortalité qui leur semble réservée, les plus étonnants prodiges. Pour ne parler que de faits sur lesquels le doute n'est plus possible, il est établi que des collines sont soulevées par le choc des racines qui se rencontrent, ou bien que, quand la terre n'a pas suivi ces racines, celles-ci s'entrelacent en poussant, et se recourbent en arcades comme des portes ouvertes, de manière à pouvoir même supporter le passage d'escadrons de cavalerie.

5° Bie Deiche von Holland.

Die Hollander zeigen, fur die Errichtung ihrer Deiche, die Einsicht in Sorgen und in Wirthschaftlichkeit, welche sie bei allen ihren anderen Werken bringen. Anstatt des Steins, welchen ihr Land nicht besitzt, gebrauclien sie Faschinen Rohrpflanzen und kleine Weidenzweige, v^elche als einen Fuss dicke Beete gestellt werden, und welche so angeordnet werden, dass ein Beet parallel, das andere perpendiculair dem Laufe sei. Dièse Faschinen, deren Zwischenrâume mit Sand gefûUt werden, sind mit durchgehenden Pfâhlen erhalten. Die kleine Anzahl Steine, welche man sich verschaflen kann, wenn man sie ins Ausland sucht, dienen, das Werk mit ihrer Schwere zu befestigen, und das Fahren der Wagen auf dem hôchsten Theil zu erleichtern. Es ist das Werk der Deiche ein wunderbares Werk : aber es ist ein schreckliches Schauspiel, eine geôffnete See zu sehen, welche mit ihrer ungeheuren Schwere und ihren wuthenden Stiirmen, gegen Haufen Holzbiindel, welche mit Sand bedeckt sind, kâmpft, und welche mit einer unheilbaren Versenkung dièses Volk bedroht, welches ebenso ruhig lebt, als wenn es die Gipfel der Alpen bewohnte. Zehn Fuss unterhalb von der Flâche der See, geht man, isst man, trinkt man, handelt man, scharrt man Geld zusammen, lacht man zuweilen, raucht man immer, ohne sich zu kummern um die Wogen, welche ailes verschlingen kônnen.

6° Histoire nationale.

\^^ question. Le traité de la Barrière (1715) donnait nos provinces à l'empereur d'Autriche ; il donnait aux Hollandais et aux Anglais le droit de mettre garnison dans les principales villes de notre pays, pour se faire ainsi une barrière contre la France; il consacrait, en outre, la fermeture de l'Escaut. Nos provinces étaient donc encore sacrifiées; elles étaient soustraites à la funeste domination de l'Espagne, mais les injustes stipulations du traité leur enlevaient tout moyen de recouvrer leur prospérité. Le peuple belge protesta : une députation fut chargée d'aller porter à Charles VI, qui régnait alors en Autriche, les plaintes que le nouvel état de choses suscitait partout, en Belgique ; Charles reconnut la justesse des réclamations des Belges : il avait dû, disait-il, accepter la situation imposée par les puissances alliées; il protestait en même temps de ses excellentes intentions à l'égard de notre pays. Mais ces paroles du monarque ne pouvaient calmer l'irritation légitime des Belges, et de nouveau orages éclatèrent bientôt.

Charles VI avait chai'gé du gouvernement de nos provinces le prince Eugène de Savoie, qui se fit remplacer par un ministre plénipotentiaire : c'était le marquis de Prié, gentilhomme piémontais, qui ne manquait pas d intelligence, mais qui, ignorant des mœurs e

des usages des Belges, laissa bientôt voir une hauteur et une défiance insupportables. A son arrivée, des troubles éclatèrent dans quelques villes : à Anvers et à Malines, il ne s'agissait que de refus de subsides, et l'ordre fut aisément rétabli ; mais les troubles eurent un caractère plus sérieux à Bruxelles. Un incendie qui avait éclaté dans cette ville en 1684 avait failli consumer toutes les chartes assurant les anciens privilèges ; les neuf nations, qui composaient les métiers, voulurent affirmer solennellement les droits séculaires de la cité, à propos d'une taxe que le marquis de Prié voulait établir. Les choses allèrent si loin que le marquis de Prié fut un moment forcé de quitter Bruxelles ; il revint bientôt avec un corps de troupes allemandes ; il pénétra dans la ville sans éprouver de résistance ; il fit aussitôt arrêter cinq doyens, qui étaient désignés comme ayant été les meneurs de l'insurrection. Sans doute, ces doyens n'étaient pas absolument innocents de ce dont on les accusait, mais le peuple les considéra comme des victimes : quatre des doyens furent condamnés à l'exil, le cinquième à la mort. C'était François Agneessens, faiseur de chaises, vieillard qui ne devait son titre de doyen qu'à la considération dont il jouissait parmi ses concitoyens. Ce vieillard montra une fermeté et une constance inébranlables : il rappela à ses juges qu'il y a un tribunal supérieur à ceux des hommes, et monta sur l'échafaud en protestant de son innocence et sans rien perdre de son courage (1718).

Le marquis de Prié voulut faire renaître le commerce maritime belge, que la fermeture de l'Escaut avait complètement anéanti. Ce fut sous ses auspices que se fonda à Ostende une Compagnie des Indes : la noblesse belge s'associa à ce mouvement, qui aurait pu devenir pour la Belgique une source de prospérité : les navires furent équipés sur le modèle des vaisseaux hollandais par le baron de Cloots, hollandais lui-même ; et la Compagnie était déjà en plein développement lorsque, cinq ans après sa fondation, les Anglais et les Hollandais, jaloux de cette concurrence commerciale, forcèrent le faible Charles VI à la supprimer.

Le marquis de Prié quitta nos provinces en 1728, empoi'tant avec lui l'aversion des Belges ; il fut remplacé par la princesse Elisabeth de Hongrie, qui gouverna avec assez de calme, mais sans énergie.

Charles VI mourut en 1740. Il avait voulu assurer à sa fille Marie-Thérèse, mariée à François de Lorraine, grand-duc de Toscane, tous ses Etats par un acte célèbre, appelé la Pragmatique-Sanction. C'était pour obtenir le consentement des souverains à cette succession qu'il s'était si souvent montré faible pour la défense de ses droits, mais à peine eut il fermé les yeux, que sa fille fût attaquée de divers côtés et dut soutenir la longue guerre de la Succession d'Autriche.

2® question. En même temps que la Révolution Française, une Révolution avait éclaté dans nos provinces repoussant les innovations politiques du philosophe Joseph II. La Belgique avait proclamé son indépendance, mais bientôt elle était retombée sous la domination de l'Autriche. Cette Révolution avait enlevé aux Belges toute affection pour la puissance Autrichienne ; aussi, lorsque la guerre éclata entre la France et l'Autriche, à cause des nouveaux principes qui prévalaient en France, ce ne fut qu'avec mollesse que la Bel" gique prit part à la lutte.

L'armée Française était commandée par Dumouriez ; elle repoussa les Autrichiens, qui avaient franchi la frontière française, et leur infligea une défaite complète à Jemappes. La Belgique fut alors occupée par les Français. Plus tard, lorsque la trahison de Dumouriez eut jeté quelque trouble dans les rangs français, le duc de Saxe-Cobourg, oncle de Léopold I®^, pénétra de nouveau en France ; mais les Français reprirent bientôt l'avantage, et la victoire, d'abord indécise à Neerwinden, se prononça tout-à-fait en leur faveur à Fleurus. La Belgique fut alors annexée à la France, fut divisée en neuf départements, et resta au pouvoir des Français jusqu'en 1815.

7° Éléments d'astroiiomie.

La terre tourne autour du soleil, et la lune tourne autour de la terre. Lorsque, par ces mouvements, il arrive que la lune se trouve entre le soleil et la terre, elle intercepte les rayons du premier, on dit qu'il y a éclipse de soleil. Loi'sque la terre se trouve entre le

soleil et la lune, de manière à empêcher les rayons du soleil de parvenir jusqu'à la lune, on dit qu il y a éclipse de lune.

S^ Notions sur les institutions du pays.

Le Conseil Provincial est chargé des intérêts qui concernent la province ; son rôle est purement administratif et non politique. Le Conseil provincial se réunit de plein droit le premier mardi de juillet de chaque année, la session est de quinze jours; dans aucun cas, elle ne peut durer plus de quatre semaines. Le Conseil Provincial présente des candidats pour les tribunaux de P® instance, ainsi que pour la cour d'appel de son ressoi't (pour la cour d'appel chaque province du ressort présente les candidats à tour de rôle).

Le Conseil provincial est formé de conseillers élus par canton en nombre proportionné à la population de chaque canton.

Pour être éligible au Conseil Provincial, il faut 1" être Belge de naissance ou avoir obtenu la grande naturalisation 2° Etre domicilié dans la Province.

Pour être électeur au Conseil Provincial, il faut 1° être Belge de naissance ou avoir obtenu la grande naturalisation 2° Payer au trésor de l'Etat, en contributions directes, patentes comprises, la somme de 20 francs.

Ne sont électeurs ni éligibles au Conseil Provincial : P Ceux qui sont privés du droit électoral par condamnation 2° Ceux qui sont notoirement connus comme tenant une maison de débauche ou de prostitution.

9<^ Mathématiques.

Algèbre. — Représentons par a la quotité de chaque paiement. Cette quotité doit être telle, que la somme représentée par ces n paiements, augmentée des intérêts composés produits par chacun d'eux, doit être équivalente au montant de la dette A, augmentée des intérêts composés produits par cette dette pendant les n années.

Si r est l'intérêt de 1 franc par an, on sait que le capital A, placé à intérêts composés pendant n années, devient A (1 -j- *')'*•

La première annuité est payée à la fin de la première année, elle produit donc des intérêts composés pendant (n — 1) années, de sorte qu'après les n années au bout desquelles la dette doit être éteinte, cette première annuité est devenue a (1 + r)'^-'^.

De même, la seconde annuité, versée à la fin de la seconde année, devient, au bout des n années, a {\ -\- r)^— 2. La troisième annuité devient également a (1 -j- r)^—^, et ainsi de suite. La n»«"ie et dernière annuité est versée à la fin de la ni^me année, elle ne produit donc aucun intérêt et reste a.

Les diverses annuités, avec les intérêts qu'elles produisent, forment donc, au bout des n années, une somme égale à

La somme de tous ces termes, qui forment une progression géométrique dont le premier terme peut être considéré comme étant a, la raison (1 -\- r), et le nombre de termes n, est (l|^)n i (l|^)n l

égale à a

Or, au bout des n années la dette doit être éteinte ; nous devons donc avoir l'égalité

,, . r 1 1 , Ar (1 4- r)'i

d ou nous tirons la valeur de a : <

Pour calculer cette valeur de a à l'aide des logarithmes, prenons les logarithmes des deux membres : log a = log A -[- log r -j- n log ( 1 -\- r) — log [(1 4- r)'i — 1].

On ne peut pas prendre immédiatement le logarithme de la différence {\ -\- r)^ — 1. Pour calculer ce logarithme, on calculera d'abord (1 -\-ry^ , ce qui se fera en prenant n fois le logarithme de (1 -f- r), et en cherchant le nombre auquel correspond ce nouveau logarithme. On retranchera une unité de ce nombre, ce qui donnera (1 -\- ry^ — 1, dont on devra alors chercher le logarithme.

Géométrie. — l^*^ question. — Puisqu'il faut d'abord établir la mesure de la surface de la zone et en déduire la mesure de la surface de la sphère, nous ne pourrons pas nous servir de la méthode de démonstration par l'absurde donnée par Legendre ; nous emploierons donc la méthode des limites. Soit à établir que la mesure de la zone sphérique engendrée par la révolution d'un arc AB autour du diamètre EF estégale à cire. OE . X CD.

Si nous inscrivons une portion de polygone régulier dont deux sommets sont en A et B, et si nous faisont tourner cette portion de polygone régulier autour du diamètre EF du cercle circonscrit, nous savons que la surface ainsi engendrée est égale à la projection de la portion de polygone sur l'axe EF, multipliée par la circonférence du cercle inscrit. Si nous représentons donc par 01 le rayon du cercle inscrit, nous aurons pour expression de la surface polygonale Bpk, cire. 01 . X CD.

Cette proposition est vraie quel que soit le nombre des côtés du polygone, elle est donc vraie aussi lorsque ce nombre devient infini, c'est-à-dire lorsque la portion de polygone se réduit à l'arc AB. Or, en même temps que la portion de polygone se confond avec sa limite AB, le rayon 01 se confond également avec sa limite OG, donc on a encore surf, zone AB = cire. OE . X CD.

Cette démonstration est indépendante de la position des points A et B sur la demi-circonférence, elle s'applique donc à la zone à une base, c'est-à-dire à celle dans laquelle le point A vient se placer au point E .

Si on suppose le point B en F et le point A en E, l'arc AB devient une demi-circonférence, la zone sphérique devient la sphère elle-même ; le théorème est encore vrai dans ce cas particulier; la projection de la demi-circonférence sur l'axe de rotation est égale au diamètre EF, la surface de la sphère est donc 20E X cire. OE ou 20E X 27rOE ou47rÔË^

donc la surface de la sphère est égale à grands quatre cercles.

2® question. — Soit ABD le triangle rectangle dont la révolution autour de AD engendre

le cône droit donné ; soit ODEF la demi-circonférence engendrant la sphère donnée. Les données du problème sont OD = r, BD = R.

Le volume du cône est égal à

- ttBD X ad ou 5 7rR2 X AD

Les deux triangles ABD et AEO sont semblables, car ils sont rectangles, l'un en D, l'autre en E, et ils ont l'angle BAD commun. On tire de là

R y AF AD:BD = AE:OE; AD=-— ^ .

II faut donc déterminer AE.

Dans le triangle rectangle, on a :

ÂË' = ÂÔ' — ÔË'

ÂË* = (AD — rf — r2

Nous avions tout-à-l'heure AD =