CE CA BË ~BÂ

2° Que les tangentes CD et BD rencontrent, à des distances égales du point A, la perpendiculaire élevée en ce point sur le diamètre AO.

Géométrie analytique. — Trouver l'équation du lieu géométrique des foyers d'une série de paraboles assujetties à toucher deux axes rectangulaires OX, OY, le point de contact sur OX étant donné.

B. Épreuve orale (trente-cinq minutes). — 7 concurrents admis.

Algèbre. — Deux terrassiers, travaillant ensemble, font un déblai en un certain nombre de journées. Le premier fait a mètres cubes de' plus que le second par journée, de sorte que si le travail devait être exécuté par chaque terrassier séparément, le premier mettrait b journées de moins que l'autre à faire lu besogne. On sait, d'autre part, que si le premier

ouvrier avait travaillé avec un autre de sa force, le travail eût été effectué c journées plus tût. On demande combien de journées les ouvriers ont travaillé ensemble et quelle est l'importance du déblai?

Géométrie. — On donne le quadrilatère quelconque ABCD et l'on mène par deux sommets adjacents, tels que A et B, des droites respectivement parallèles aux côtés BC et AD. Démontrez que les points d'intersection de ces droites avec les diagonales BD et AC sont situés sur une parallèle au côté CD.

Géométrie analytique. — Trouver et discuter l'équation du lieu géométrique sur lequel doit se trouver le point M pour qu'en le joignant à deux points fixes A et B, le segment intercepté sur une droite fixe OX par les droites MA et MB ait une longueur constante

Lauréats.

LAUREATS.

ETABLISSEMENTS auxquels ils

APPARTIENNENT

Élèves >wuveau.x.

1" prix (prix d'honneur). Gustave Mechelaere, de Bruges.

I Louis Conrardy, de Herstal Joseph Souheur, de Chênée

1" accessit. Arthur Petillon, de Péruwelz

2* id. Albert Ledent, de Liège

Ment. hon. Charles Corteil, de Liège

Élève spécial.

Prix, Louis Philippin, de Visé

Bruges.

Liège.

Id.

Ypres.

Liège.

POINTS OBTENUS

is '^ X

as» d

ELEVES QUI ONT OBTENU AU MOINS LA MOITIE DES POINTS DANS L EPREUVE ECRITE.

ÉLÈVES

ÉTABLISSEMENTS

POINTS

Anvers.

Nivelles.

1 Clovis FagnarJ

Travail de l'élève Louis Philippin.

Klgcbre. — Pour reconnaître les divers signes que peut prendre le trinôme mx*'-\- nx -\-p quan^ on donne à x des valeurs réelles, égalons-le à zéro ; nous aurons :

^^ I 1/ jj'2 AtlID

mx'^ -\- nx -\- p = 0, résolvons l'équation, on a : a? = ■ — — -.

Si x' et x" désignent les 2 racines, nous savons que le trinôme peut se mettre sous la forme : mx'^ -\- nx -\- p = m {x — x') {x — x").

Distinguons 3 cas; 1" n^ — 4m/» > 0, les racines sont réelles et inégales; soit x' la plus grande, x' la plus petite; évidemment, si on donne à x dos valeurs plus grandes (pic x', les facteurs x — a;' et à fortiori x — x" seront positifs, et leur produit du iiièmo signe que m.

Si nous faisons x = x' ou bien x — x" le trinôme s'annulera.

Si nous faisons x <, x' mais > x" un des facteurs x — x' devient négatif, l'autre a? — a?" reste positif, et leur produit prend un signe contraire à m.

Si X est < x", il sera < x' donc x — x' atx — x' sont négatifs, leur produit de même signe que m.

Ainsi le trinôme passe 2 fois par zéro, x' est un minimum pour les valeurs comprises entre -f- oo et x\ x" est un maximum pour les valeurs comprises entre — oo et x'' .

20 ,jî — 4m^ = 0, alors les 2 racines sont égales et de même signe, et le trinôme devient Yn(x — x'Yy or (a; — a?')2 est toujours positif; donc le trinôme garde toujours le signe de m ; le trinôme est un carré parfait.

30 yj2 — ^Yap < 0, les racines sont alors imaginaires ; si nous reprenons l'équation, on aura successivement : puisque n* — \mp < 0 4mj9 — n^ > 0.

Soit \mp — n^ = K^, on a

-\- nx -\- p =■ mx^ -j- nx

[ , , n , n2 R2 -1 [/ , n \« Kn

[ ^ m ^ 4m2 ^ 4m2j L\ 2m/ ^ Am^

Or la quantité entre parenthèses est la somme de 2 carrés et par conséquent essentiellement positive ; donc quand les racines sont imaginaires, le trinôme garde toujours le signe de son premier terme.

Résumons : si les racines sont réelles, le trinôme gardera le signe du coefficient en x"^, pour toutes les valeurs plus grandes que la plus grande des racines, ou les valeurs plus petites que la plus petite des racines.

Pour les valeurs comprises entre les 2 racines, le trinôme changera de signe. Quand les racines sont égales et de même signe, ou quand elles sont imaginaires, le trinôme gardera toujours le signe de son premier terme.

Actuellement, si nous prenons l'équation [x — a) {x — c) -\- [x — b) [x — cZ) = 0 dans laquelle a > & > c > t?, et où toutes ces quantités sont réelles, elle pourra se mettre sous la forme : 2x^ — x {a -\- b -\- c -\- d) -\- ac -\- bd = 0 .

Or prouver que ce trinôme peut changer de signe, c'est prouver que les valeurs sont réelles. Or pour toute valeur de a? > « les binômes x — a, x — byX — c, x — d sont positifs ; donc le trinôme aussi ; pour toute valeur de x comprise entre b et c, les trinômes [x — a){x — c) et {x — b) (x — d) sont certainement négatifs ; donc le trinôme total est aussi négatif ; pour toute valeur de x plus petite que d, le trinôme redevient positif; ainsi le trinôme pouvant changer de signe a certainement ses racines réelles.

Ces racines seront comprises l'une entre a et b, l'autre entre cet d; en effet : pour que le trinôme total devienne nul, il faut que les trinômes {x — a) (x — c) et {x — b) {x — d) soient de signes contraires, car s'ils étaient tous 2 positifs, ou tous 2 négatifs, leur somme ne serait pas nulle.

Or si nous faisons a? < a mais > b, le premier trinôme {x — a) [x — c) sera négatif, et le second [x — b) {x — d) sera positif; donc une valeur de x comprise entre a et b doit annuler le trinôme total.

2° Si nous faisons a? < c mais y d le premier trinôme sera positif, et le second {x — b) (x — d) sera négatif; donc il y a une valeur de x comprise entre c et d qui annule le trinôme total.

Donc l'une des racines est comprise entre a et b, la seconde racine entre c et d. Géométrie. — Soit le cercle 0, le point A, extérieur au cercle, AC la sécante, les tangentes BD, DC, et Df perpendiculaire à AO ; joignons DO ; les triangles DO/ et AMO sont rectangles ; de plus ils ont l'angle 0 commun ; donc ils sont semjno DO OM "~ AO' ou /X) X AO = OM X DO ; or le triangle rectangle DCO donne R2 = 0M X DO = /D X AO; ainsi A et f sont 2 points réciproques, qui divisent harmoniquement le diamètre qui les contient : de plus A est le

A) R pôle de Df; or on a : -— = -— .