AC JA
Donc Af est bissectrice de l'angle C AJ ; donc les sécantes ABC et AJ sont également éloignées du centre; donc CfB et fJN sont égaux comme ayant un côté BC égal à JN aboutissant à des angles égaux ; donc fC = fN, fB = fJ et JC = BN, et par conséquent les perpendiculaires abaissées du centre sur ces cordes sont égales ; or, toute droite passant par un point a son pôle sur la polaire de ce point ; donc le pôle de CJ se trouve sur AR, le pôle de JC est aussi le point d'intersection des tangentes menées à ses extrémités.
Donc R est ce point, et l'on a : R^ == OH X OR.
Semblablement S est le pôle de BN donc R^ = OM X OS donc OM X OS = OH X OR. Or OM = OH ; donc OR = OS ; donc, la ligne RS étant perpendiculaire à AO, le triangle ROS est isocèle, et AR = AS ce qu'il fallait démontrer.
[Vo.ir la fin.)
Géométrie analytique. — Lieu des foyers des paraboles tangentes à 2 axes rectangulaires, et dont le point do contact est donné sur une tangente.
Je prends pour axes, la tangente OX, pour origine le point de contact, et Oy perpendiculaire à OX ; soit p l'abcisso du point A; l'équation de AT sera x = p. L'équation focale des courbes du second ordre est : {\—n'^)y^—2nmxy-\-{\—m'^)x—2{aL-\-mt)x—2(^-{-nt)y -I- a2 -f p - <2 == 0.
La courbe étant une parabole, on a immédiatement, m* -j- n^ = 1 , et comme elle est tangente à l'origine A l'axe des x, il faut que (1) a''' + fj'^ — «2^0 et (2) a-\-mt = 0.
Mais la courbe est tangente à la droite x =p\ si donc nous rendons simultanées les 2 équations, les abcisses des points d'intersection des 2 lignes, seront racines de cette équation du second degré ; et As étant tangente, les racines seront égales ; on a donc :
(1 — n*) y- — 2mnpy -\- {\ — m'^) p'^ — 2 (|3 -[- nt) y = 0, ou (1 — n2) y^ — 2y (mnp -(- p -|- lît) + ( 1 — m-) /j^ = 0,
par suite
m-uV | |32 [ „2^2 | 2mj?p(3 -f 2mn2;p -j- S^îî^
p2 | jj^^2 ^ ^j5,^2 — ^j^m^n^ = 0 ;
ou comme m^ -[- n^ Or on tire de 1 :
-|- 2mnp p -\- 2mnHp -\- 2^jnt
de (2) : m =^ =
|/a^- + fy2
Remplaçons m, n et ^ par leurs valeurs dans (4), il vient
|32 | pi 2p
Ou en omettant la solution p^^ :^ o, on a : 4 (a^ + P') —
ijm = 0 ou a^ 4- (5^ — 2Ja = 0 équation d'un cercle décrit sur OA comme diamètre ; les coordonnées du centre sont
a; = - et 2/
Le lieu du foyer pouvait se déduire d'autres considérations ; en effet, nous savons que le lieu du sommet de l'angle droit dont les côtés sont tangents à la parabole est la directrice et que la perpendiculaire abaissée du sommet de l'angle droit sur la corde de contact, la coupe au foyer; si donc du point de contact donné nous menons une ligne quelconque, la perpendiculaire abaissée sur cette ligne du sommet de l'angle droit, détermine le foyer d'une parabole satisfesant à la question ; le lieu des foyers, est donc le lieu du sommet d'un angle droit dont les côtés passent par A et 0, 2 points fixes ; c'est donc la circonférence décrite sur AO comme diamètre.
{Suite de la 2^ question.]
Quand on a 0/" X OA = R«, on a -4- =
Bf BA
lA'
or
car on a — - =
JR 0/;B0
