I. Je dis que

En faisant abstraction de deux zéros au dividende 5135000, j'ai divisé ce nombre par 100, or je l'ai rendu 100 fois plus petit, car en supprimant 2 zéros, tous les chiffres reculent de 2 rangs vers la droite et expriment des unités 100 fois plus petites. Toutes les parties du nombre devenant 100 fois plus petites le nombre lui-même est devenu 100 fois plus petit.

Mais le quotient alors est rendu 100 plus petit, car le dividende est le produit du diviseur par le quotient, or un produit de 2 facteurs ne peut devenir 100 fois plus petit lorsque un de ses facteurs reste le même à moins que l'autre facteur ne soit aussi rendu 100 fois plus petit.

En faisant abstraction des deux zéros qui terminent le diviseur, ce nombre est rendu 100 fois plus petit ; et alors le quotient est rendu ce nombre de fois plus grand. Car le produit de 2 facteurs — dividende — ne peut rester le même, lorsque un de ses facteurs — diviseur— devient 100 fois plus petit à moins que l'autre facteur — quotient — ne devienne ce nombre de fois plus grand.

Le quotient a donc été rendu 100 fois plus grand, après avoir été rendu 100 fois plus petit, donc il est encore le même.

II. Un nombre est divisible par 1 1, lorsque la différence entre la somme de ses chiffres de rangs impairs, à partir de la droite, et celle des chiffres de rangs pairs est 0 ou un multiple de 1 1 .

Pour le démontrer on démontrera d'abord que l'unité d'un rang impair est un multiple de 1 1 plus 1 et que l'unité d'un rang pair est un multiple de 1 1 moins 1 .

Et d'abord, l'unité d'un rang impair est un multiple de 1 1 plus 1 .

En effet, l'unité d'un rang impair est exprimée par 1, suivi d'un nombre pair de zéros. Or l'unité de tout rang est la somme de 1 à un nombre exprimé par autant de 9 écrits de suite qu'il y a de zéros à la suite de 1 . Or le nombre de zéros, dans l'unité de rang impair, est pair.

Le nombi-e de 9 est donc pair et peut se décomposer en tranches de 2 chiffres dont la partie significative est toujours 99, c'est-à-dire un multiple de 1 1 .

Ainsi par exemple :

L'unité d'un rang pair est un multiple de 1 1 moins 1 .

En effet, diaprés le principe fondamental de la numération, l'unité de tout rang vaut 10 unités du rang immédiatement inférieur.

L'unité d'un rang pair vaut donc 10 unités du rang impair immédiatement inférieur. Or celle-ci est un multiple de 11 plus 1 ; donc celle-là sera 10 fois ce multiple de 1 plus 10 ou un autre multiple de 11 moins 1, car 10 = 11 — 1. Ainsi : 1000=- 100 X 10 = (99+ 1)10= (11 X 9+1) 10 = 11 x 90+ 10-= 11 x 91 — 1.

Cela posé, une collection d'unités d'un certain rang, sera un multiple de 1 1 plus ou moins son chiffre significatif, selon qu'elle sera de rang impair ou de rang pair. Ainsi : 50000 = 10000 X 5 = (1 1 X 909 + 1) 5 -= 1 1 X 4545 + 5 4000= 1000 X 4 = (11 X 91 — 1)4-= 11 X 364 — 4.

Or tout nombre peut se décomposer en ses diverses collections d'unités, dizaines, centaines, etc. chacune d'elles sera un multiple de 1 1 plus ou moins son chiffre significatif, selon qu'elle sera de rang impair ou de rang pair. Le nombre sera donc la somme de plusieurs multiples de 11, plus la somme des chiffi'es de rangs impairs, moins la somme des chiffres de rangs pairs, ou un multiple de 11 plus ou moins la différence entre les deux sommes, selon que la plus grancl^e somme est celle des chiffres de rangs impairs ou que cela n'est pas.

Si cette différence est nulle ou est divisible par 11, le nombre le sera aussi ; car si la plus grande somme est de rang impair le nombre sera la somme de 2 multiples de 11. Et

54G HISTOIRE DES CONCOURS GÉNÉRAUX

comme chacun d'eux contient un certain nombres de fois 11, leur somme contiendra un certain nombre de fois 11 et sera divisible par 11.

Si au contraire la somme des chiffres de rangs pairs est la plus grande, le nombre sera la différence de 2 multiples de 1 1 ; et comme chacun d'eux contient un certain nombre de fois 11, leur différence contiendra aussi un certain nombre de fois 11 et sera divisible par 1 1 .

Pour faire la preuve de la multiplication par 11, il faut diviser le multiplicande et le multiplicateur par 11, multiplier les restes entr eux et diviser le produit des restes par 11. Le reste de cette dernière division doit être le même que celui de la division par 11 du produit des 2 nombres.

Pour faire la preuve de la division par 1 1 , soustrayez le reste du dividende, et alors opérez de même qu'à la multiplication, car le diviseur et le quotient sont les facteurs du dividende.

Mais comment trouver immédiatement le reste de la division d'un nombre par 1 1 ?

Si la somme des chiffres de rangs impairs est la plus grande, le reste est le même que celui de la division par 11 de la différence entre la somme des chiffres de rangs impairs et celle des chiffres de rangs pairs.

En effet le nombre alors est la somme de la différence entre les deux sommes et d'un multiple de 11. Le reste de la division du nombre par 1 1 , sera la somme des restes des deux parties dans lesquelles ils se décompose. Mais le multiple de 1 1 est divisible par 1 1 et ne laisse aucun reste. Donc le reste total sera celui de la division par 11 de la différence entre les deux sommes.

Si la somme des chiffres de rangs pairs est la plus grande, le reste sera l'excès de 11, sur le reste que laisse la division par 11 de la différence entre les deux sommes.

Le nombre alors est la différence entre l multiple de 1 1 et la différence entre la somme des chiffres de rang pairs et celle des chiffres de rangs impairs. Cette différence entre la somme des chiffres de rangs pairs et celle des chiffres de rangs impairs pouvant surpasseï' 11, on en extrait les unités. Le nombre est encore la différence entre un multiple de 11, et le reste de cette division. En prenant 1 fois 11 au multiple de 11, on aura un autre multiple de 11, plus l'excès de 11 sur le reste de la division par 11 de la différence entre les deux sommes.

Le nombre sera alors la somme de ce multiple de 1 1 et de l'excès de 1 1 sur le reste de la division par 11 de la différence entre les deux sommes ; et le reste de la division par 1 1 sera cet excès.

III. Si je porte la virgule successivement à droite et à gauche de la \^^ période, j'aurai les

deux nombres 35369,369 et 35,369369 les deux nombres ont une partie entière

différente et une partie décimale semblable. En retranchant le 2™^ du l^*" le reste sera la diflérence des 2 parties entières, c'est-à-dire : 35369 — 35. Or en portant la virgule à droite de la l'"® période, je rends le nombre 100000 fois plus grand et en la portant à gauche de cette même période, je le rends 100 fois plus grand.

De 100000 fois le nombre j'ai retranché 100 fois, donc il reste 99900 fois le nombre. 35369 — 35 vaut donc 99900 fois la fraction, donc celle-ci était 35369 — 35 35334 1963 99900 "~ 99900 "" 555Ô'

Toute fraction irréductible dont le dénominateur contient les facteurs 2 et 5 ou l'un des deux avec d'autres facteurs, fournit une fraction périodique mixte.

En effet, si elle n'est pas mixte, elle est pure et en la réduisant en fraction ordinaire on devra retomber sur la génératrice. Or le dénominateur d'un fraction ordinaire équivalente à une fraction décimale périodique pure est formé de tous 9 et par conséquent ne contient aucun facteur 2 ni 5. Et en la réduisant à sa plus simple expression, on ne pourra retomber sur la génératrice dont le dénominateur est censé contenir "au moins 1 facteur 2 ou 1 facteur 5. Puisqu'elle n'est pas pure, elle sera mixte.

Je dis en outre que la fraction périodique contiendra autant de chiffres irréguliers qu'il y a d'unités dans le plus haut exposant des facteurs 2 et 5 qui entrent dans le dénominateur.

HÏSTOIRK DES CONCOURS GÉNÉRAUX. 547

D'abord nous prouverons que le numérateur d'une fraction équivalente à une fraction périodique mixte ne peut pas être terminé par 1 zéro, car pour cela, le dernier chiffre irrégulier devrait être le mônie que le dernier de la période et alors la période ne commencerait pas où elle doit commencer.

Le dénominateur d'une fraction équivalente à une fraction périodique mixte est formé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres dans la période, suivis d'autant de zéros qu'il y a de chiffres irréguliers. Puisque le numérateur ne peut pas être terminé par des zéros, il n'est pas divisible à la fois par 2 et par 5. Donc en réduisant cette fraction à sa plus simple expression, il restei'a nécessairement dans le dénominateur tous les facteurs 2 ou tous les facteurs 5 qui s'y trouvent. Mais comme on retombe alors sur la génératrice, on voit qu'il y aura autant de chiffres irréguliers qu'il y a d'unités dans le plus haut exposant des facteurs 2 et 5 du dénominateur.