CHAPITRE XI. 1850 — Poésie (page 190 du l^»- volume

Version latine de l'élève Gustave Rolin.

Ta lettre, ô Suillius, toi dont l'esprit est cultivé par l'étude, n'est parvenue ici que tard, mais elle ne m'est pas moins agréable. Si ton crédit, dis-tu, si tes pieuses prièi'os peuvent adoucir les dieux puissants, tu me porteras secours. Et quand même tu ne

HISTOIRK DES CONCOURS (iÉXÉKALX. 587

m'aiderais en rien, je te suis di^biteur d'un cœur reconnaissant ; et j'appelle bienfait, la volonté d'être utile. Puisse cette ardeur, que tu montres, avoir une longue et éternelle durée : puissent mes maux ne pas lasser ta compasssion : j'y ai quelques titres, puisque des alliances nous ont unis. Que ces liens restent toujours indissolubles, je t'en supplie. Car celle qui est ton épouse, elle est presque ma fille : et celle qui t'appelle son gendre, m'appelle son époux. Malheur à moi, si, après avoir lu ces vers, tu montres un visage irrité, si tu rougis d'être mon parent. Mais ici tu ne peux rien trouver de quoi rougir, si ce n'est la fortune, qui fut aveugle pour moi. Recherche mon extraction. Tu nous trouveras chevaliers, depuis notre origine première, jusqu'à travers la suite de nos innombrables ancêtres. Informe-toi, si tu veux, de mes mœurs. Supprime la faute d'un malheureux, et elles sont sans tache. Quant à toi, si tu espères pouvoir faire quelque chose par tes prières, ces dieux que tu honores, cours les implorer de ta voix suppliante.

CHAPITRE XVI. 1855— Rhétorique (page 338 du 1«' volume). Thème latin de l'élève Charles Laurent.

Quamdiu Romani de sainte Reipublicse timuerunt, religionis institutis et justitae normse subditi permanserunt. Tune populus ille, fortis ac vehemens quasi factio, ut refert egregius scriptor, tantam admirationem movere, quantum terrorem injicere debuit. At postquam Carthago deleta, Hispania victa, Grœcia subjecta, Asia subacta, ab omni metu eum liberaverunt, frena cupidinibus adhibere non valuit. Frustra honestissimi quidam cives, priscos mores, omnia invadenti luxurise, objicere conati sunt ; eorum vox' libidinum tumulta oppressa est.

Romanse Reipublicse aspectus post tertium bellum punicum, novus et sinistrorum ominum plenus apparet. Non jam cernitur laureatum Cincinnati aratrum ; temperantia et paupertas non jam triumphantes comitantur ; dictatores, consulesque non jam virtutes suas, populi licentise, potentiumque superbise objiciunt : justitia vi obruitur, concurritque multitude ad aras fortunée. Senatus, quem Cineas regum conventui similem dicebat, severam majestatem exuit; cupiditas et ambitio cruentarum dissensionum preenuntise Curiam invadunt.

Attamen corruptio paulatim tantum Reipublicse opes attrivit. Primum sola ambitio loges perfregit, ambitioni tamen verse glorise spe(jies adhuc aliqua inerat. Sed postquam, spretis antiquis legibus, majoremque moribus, optimates spoliationibus et provinciarum ruinis ditati, ad usum vitiorum contulerunt divitias, avaritia dominatrix animi cupiditas evasit ; decus, justitia, patria pecunise cupidini posthabita sunt. Ex illo tempore evanuit virtus ; omnia venum iverunt, in illa urbe, quse se dominam mundi jactitabat. Factiosus quisquis erat, ut divitias acquireret, quibus ubi affluebat, cives corrumpebat, ut adipisceretur aut servaret imperium ; atque in illo cupidinum tumultu, inter sese varie pugnantium, vix interdum integrse indolis vir, majorum morum, quos, jam diu obliti erant, memoriam, civibus corruptis refricabat.

CHAPITRE XVI. 1855 — Première scientifique (page 348 du 1" volume). Travail de l'élève Ernest De Jaer.

4*^ question. — Démontrer que les diagonales d'un parallélogramme circonscrit à une ellipse forment un système de diamètres conjugués?

On peut démontrer cette propriété par l'analyse directe ou par un moyen plus court.

l""" méthode. — Soit le parallélogramme ABCD. Si nous joignons les points de contact M et N des 2 tangentes parallèles, nous savons par un théorème démontré par Lefébui'c que MN est un diamètre conjugué aux deux tangentes. Il en est de môme de M'N'.

Donc si les coordonnées des points M, M' sont x' , y et x'' , y" , celle des points N, N' seront — x' , — y' et — x" , — y". Rapportons la courbe à ses axes, son équation sera

Et nous aurons pour les équations des 4 tangentes.

De DC ahjy' -f h^xx' = a^b'^ AD a'^yy" + b^xx" = a^b*

AB a^yy' -\- b^xx" = — a^b^ BC a^yy" + b'^xx" = — a'ô». Combinons les 2 équations de DC et de AB pour avoir les coordonnées du point D

f^Wy" -}- b^oox'y'' -= a'^b^y", a^yy'y" + b^ocx" = a^bh/ ;

d'où

xy—xy Substituons dans l'équation d'une des 2 tangentes nous aurons y.

Les coordonnées du point D sont donc

Combinant de la même manière les autres tangentes 2 à 2, nous aurons pour les coordonnées des 3 autres points.

De B

De C

De A

a' {y" + yl

oo'y" — x"y'

Nous pourrions maintenant chercher les équations des diagonales, puisque chacune

devrait passer par 2 points dont les coordonnées sont connues. Mais nous n'avons besoin

que de leur coeficient d'inclinaison donné par la formule — ; -.

Nous aurons pour le coeficient d'inclinaison de BD b^ {oc" — x') b^ {x" — x')

xy

xy'

0'Hy"-y') , o.Hy"-y')

xy'

Cc'y" — x'y

On aura de la même manière pour h' S' =

"2 rr^''2

nt

D'où

Mais les points de tangence étant à la courbe, on a •.

a'^y"^ -[ b'^xx"^ = a'^b^, ««y'^ + b^x"^'= a%^;

/-p''2 x'^ CL

d'où a^ (y"* - y'^) + b^ (x"^ - x'^) - o, — ,^^ --= - -

Nous avons donc ûô' = -7 X = r condition qui lie 2 diamètres conjugués.

Donc le théorème est prouvé.

2*^ méthode. — Nous avons vu dans la démonstration précédente que MN et M'N' étaient 2 diamètres. Donc o est le centre de l'ellipse, je joins Do, Bo. Les 2 triangles oDM' et oBN' sont égaux. Donc oD, oB sont en ligne droite. Donc oD = oB. De même l'on a : oA = oC. Done les diagonales sont des diamètres.

On sait par une propriété déjà reconnue que la ligne oD qui joint le centre au point de rencontre des 2 tangentes est conjuguée à la corde des contacts MM'. De même oA est conjugué à

M'N. Mais MM' et M'N sont 2 cordes supplémentaires, donc les diagonales sont des

diamètres conjugués.

2" question. — Trouver le volume d'un tétraèdre régulier inscrit dans une sphère de

rayon connu R. 1

Vol. : tétr. : = ABC X ^ So.

So étant la perpendiculaire abaissée du point S sur la base ABC. Soit I le centre de la sphère.

Nous savons que l'on a : par un théorème démontré,

.o = lsi=iR.

Ainsi So = - R, cherchons C A, joignons Co, o\,

Mais puisque S est équidistant de A, B, C, S est le pôle du cercle passant par A, B, C. Donc Co = oA = oB. Donc o est à la rencontre des 3 perpendiculaires ou des 3 médianes de la base, puisque ABC est équilatéral. Donc en représentant CA par C on a :

CK' =- CA* — Âïc' = C2 — ^ = ^', d'où CK = 5 |/3.

Mais par une propriété connue on a : Co = - CK = - 1/ 3 = — — .

On a donc, en substituant dans l'égalité trouvée plus haut :

On a pour la surface de la base ABC =AB X -CK = C X-l/3 = — (/S

et en remplaçant C par sa valeur ABC ^^ — - k 3 .

On a donc pour le volume demandé, ABCS = — x r R = -^r- |/ 3.

V^ question. — Théorie des radicaux arithmétiques.

1° Pour élever un radicalà une puissance, il peut se présenter trois cas : 1*^ l'indice du radical et le degré de la puissance sont premiers entre eux : il faut alors élever la quantité sous le radical à la puissance voulue, / «^.\î' «^,

Elevons chaque membre à la puissance m. Il viendra :

Hl/W J =Hl/«) J r^{a)P = aP, yap] =:^ aP .

Les puissances m étant égales, comme il ne s'agit ici que de radicaux arithmétiques, les racines le seront aussi.

2° Si l'indice de la racine est un multiple du degré de la puissance, il n'y a qu'à diviser

l'indice de la racine par le degré de la puissance, [y a] = y a.

r Im nVnY"' I mn\mn Elevons chaque membre à la puissance m, L\|/ a) J = \y a] = a, / m \m /' mn\n m

[y a] '= a. Donc on a : [y a] = y a. 3" Si l'indice de la racine et le degré de la puissance ont un facteur commun, il faut supprimer le facteur commun à l'indice et élever la quantité sous le radical à la puissance

/ mnXnp m

marquée par le facteur qui n'est pas commun, [y a] = [/ aP.

\lmn \npY' [ I mn \nff \l m \mf

[(|/â) J =i[(|/a)J S =[(|/â) J=(a)P=aP.

/ m \«i / vnnKnp m

\\/ ap] = aP . Donc on a -. (|/«) = [/aP,

IIIRTOIKE DES CONCOURS GÉNÉRAUX

2° On en tire les réciproques que pour extraire la racine d'un radical il faut quand l'indice du radical et la racine à extraire sont premiers entre eux, multiplier l'indice du radical par celui de la racine à extraire, quand l'indice du l'adical est un multiple de l'autre, le diviser- par cet autre, et quand ils ont un facteur commun le faire disparaître, et multiplier les 2 facteurs restants ;

3° On en déduit encore qu'on peut multiplier ou diviser l'indice du radical et l'exposant de la quantité sous le radical par le même nombre, sans altérer la valeur du radical, ce qui fournit le moyen de réduire les radicaux au même indice. On donne à toutes un indice commun, puis on fait les simplifications.

4° La puissance d'un produit = le produit des puissances de chacun des facteurs,

Y a \/b y/'c] = |/a \/a {/a ... \/h \/~b \/b ... |/c \/'~c \/c In \m I p \m I q \m = (l/â) (l/ft) (|/~c) .

b^ On en déduit la réciproque que la racine d'un produit = le produit des racines de chacun des facteurs.

6° La multiplication des radicaux de même indice se fait en multipliant les quantités

sous le radical, et couvrant le tout du radical commun \/a[/byc = \/ abc,

[[/a[/b[/'c] =-([/a] [[/b] (i/c) =abc, \\/ abc] ^ abc. S'ils n'étaient pas au même indice, on commencerait par les y ramener. 7° La division des radicaux de même indice se fait en divisant les termes sous le radical, et couvrant le tout du radical commun,

de même

Il faut s'appuyer sur cette règle que pour élever une fraction à une puissance, il faut

[d\^ a a a .a ... a^^ élever chaque terme à cette puissance, -,

(m \ni f m \'»i |/« (l/^â a = ; — = T> [/~bl {[/b] ■

Si les radicaux n'ont pas même indice on commencera par les y réduire.

Remarque. — Le signe -}- élevé à une puissance quelconque donne toujours ~\-. Le signe — élevé à une puissance pair donne -|- et à une puissance impair donne — . Donc on peut écrire : (d=j^* = + (±:)^*+^ = db-

Il s'en suit que la racine d'indice pair d'une quantité positive est positive et celle d'une quantité imaginaire est imaginaire, et que la racine d'indice impair d'une quantité garde le signe de cette quantité.

3*^ question. — Résolution du triangle scalène.

Soit AD =.-- a, DC = fl

On a évidemment AD = DB et DBE = EAD.

Donc BBC = (B — A).

On a dans le triangle DBC, DB : DC = sin C : sin (B — A).

Mais CD = [3 et DA = DB == a.

a : |3 = sin C : sin (B — A), sin (B — A) = -

S sin C

On aura ainsi B — A. Mais on a A -|- B = 180 — C.

Donc on connaît les angles. On aura alors pour les côtés.

(a 4- S) sin C (a 4. ?j) = sin C : sin B, AB = ^ ' ^'

AB : (a 4- 0) = sin C : sin B, BC : (a -\- (3) == sin C : sin A,