V. Van Campenhout
Ath.
Flavien Mathieu . .
Virton.
Victor Longflls. . .
Thuin.
Oscar Bergmans . .
Louis Coppieters . .
Bruges.
Marins Piton . . .
Liège.
Jules Groulard. . .
Hervé.
Edouard Samuel . .
Bruxelles.
Achille De Gliilage .
Mons.
Adolphe Orth . . .
Liège.
Edmond Prévôt . .
Edmond Bech . . .
Namur.
Frans Retsin . . .
Bruges.
Laurent De Deken. .
Anvers.
Stanislas Cornez . .
Binche.
Gustave Lardinois .
Hervé.
Henri Moucheron. .
Mons.
Ferdinand Vaes . .
Louvain.
Emile Gallée . . .
Arthur Bruneel. . .
Ostende.
Louis Tsiabbel, . .
Binche.
Félix Van Caillie . .
Id.
Charles De Moor . .
Gand.
Léon Dugauquier . .
Binche.
Jules Vignoble. . .
Ath.
Georges Malherbe. .
Alph. Vandenabeele ,
Enghien.
Jos. Van Ruymbeke.
Courtrai.
Jules Morisseaux , .
Liège.
Célestin Beaudoux .
Chimay.
Théophile Pery. . .
Saint-Trond.
Léon Dubuisson . .
Ath.
Adrien Groverman .
Bruges.
Alfred Rondeau . .
Albert Meur. . . .
Bruxelles.
Ernest Duquesne . .
Enghien.
Joseph De Mulié . .
Courtrai.
Jules Montenair . .
Hervé.
Justin Jeangette . .
Hervé.
Camille Bellis . . .
Saint-Trond.
Fridelin Stacquet. .
Jos. Van Weddingen.
Hasselt.
Charles Barthels . .
Bruges.
Eugène Van Syngel .
Gand.
Paul Van Wilderode,
Louvain.
Emile Parys. . . • .
Bruxelles.
Charles Chômé. . .
Charleroi.
Jules Carlier . . .
Enghien.
Emile Staesens. . .
Charles Barbé . . .
Id.
Adrien Hecq . . .
Nivelles.
Jean-Bapt. Delmée .
Id.
Servais Pirard. . .
Hervé.
Emile Coart. . . .
Id.
Maurice Renard . .
Liège.
Félicien Lardinois. .
Gustave Janssens . .
Malines (S'-Rombaut).
Sylvain Linard. . .
Malines (S'-Rombaut).
J.-B. De Ruysscher.
Id.
Joseph Goltfus. . .
Id.
Maurice Micheels . .
Liège.
Alfred Valerius . .
Arlon.
Armand Frison. . .
Id.
Jean Harmegnies. .
Emile François. . .
Arlon.
Félix Hendrick. . .
Tirlemont.
Léopold Nulens . ,
Ostende.
Léonard Englebert .
Hervé.
Désiré Mertens . .
Malines (S'-Rombaut).
Octave Govaerts . .
Enghien.
Emile Buysch . . .
Malines (coll. comm.).
Léopold Vrébos . .
Gand.
Oscar Degive . . .
Mons.
Ernest Dortu . . .
Hervé.
Franç.-J.-Jos, Delaet.
Malines (S'-Rombautj.
Eudore Guyaux . .
Louvain.
Arthur Franck. . .•
Verviers.
Robert Tudor . . .
Chimay.
Jean Craeynest. . .
Charles Fiasse. . .
Saint-Trond.
Robert Miller . . .
Arlon.
Alphonse Genotteau.
Id.
Victor Cheval . . .
Tournai.
Joseph Cartuyvels. .
Id.
Gustave Snoeck . .
Hervé.
Félix Defays. . . .
Camille Vyt. . . .
Gand.
Armand Kretz. . .
Bruxelles.
Jules Rasson . . ,
Ath.
Paul De Creeft. . .
Hasselt.
Maurice Lemonnier .
Mons.
Hippolyte Sablon . .
Liège.
Désiré Montignies. .
Enghien.
Travail de l'élève Georges Lembourg.
Première question. — Démontrer qu'un produit de plusieurs facteurs ne change pas dans quelque ordre qu'on effectue les multiplications.
Opérer sur l'exemple 15 X 5 X 6 X 7.
Énoncez et démontrez les principes sur lesquels repose la démonstration.
Nous allons démontrer d'abord que le produit de plusieurs facteurs no change pas si l'on intervertit l'ordre des deux derniers facteurs. Nous devons donc démontrer, pour notre exemple, que :15x5x6x'7 = 15x5x'7x6.
Effectuons d'abord le produit des facteurs 1 5 et 5 qui précèdent les deux derniers. Nous aurons maintenant à effectuer le produit : 75 X 6 X 7.
Or, pour multiplier 75 par 6, il suffit de le répéter 6 fois. Nous aurons donc : 75 X 6 = 75 + 75 4- 75 -t- 75 + 75 -I- 75.
Pour multiplier maintenant ce produit par 7, nous pouvons multiplier chacune des parties de ce produit par 7. Nous aurons donc : 75 X 6 X 7 = (75 X 7) 4- (75 X 7) 4- (75 X 7) + (75 X 7) + (75 x 7) + (75 X 7).
De cette façon, nous avons donc bien effectué la multiplication de 75 par 6, puis de ce produit par 7. Mais, en examinant le produit résultant, nous voyons que nous avons là, répété 6 fois, le produit de 75 par 7, c'est-à-dire que nous avons multiplié par 6 le produit de 75 par 7. Nous pouvons donc écrire : 75 X 6 X 7 = 75 X 7 X 6, ou, en remplaçant 75 par son équivalent 15 X 5 :
Démontrons maintenant qu'un produit de plusieurs facteurs ne change pas de valeur si l'on intervertit l'ordre de deux facteurs quelconques.
Soit le produit de plusieurs facteurs 15 X 5 X 6 X 7, et soit à démontrer que 15x5x6x7= 15 x6x5x 7.
Considérons d'abord le produit 15x5x6, qui finit par le second des facteurs qu'il s'agit de permuter.
En vertu du principe que nous venons de démontrer, nous pouvons écrire : 15 X 5 X 6= 15 X 6 X 5.
Or, en multipliant deux quantités égales par un même nombre, l'égalité n'est pas altérée ; nous pouvons donc écrire : 15x5x6x7=15x6x5x7.
Il résulte de ce principe, qu'en permutant un facteur successivement avec son voisin, on pourra l'amener à la place que l'on voudra ; donc un produit de plusieurs facteurs ne change pas de valeur dans quelque ordre qu'on effectue les multiplications.
Deuxième question. — Exposer la théorie de la division des fractions sur les exemples
suivants : ;^ : 9 et - : -.
Premier cas. — Pour diviser une fraction par un nombre entier, il faut multiplier le
dénominateur de la fraction par le nombre entier, en conservant le numérateur.
Amsi : - : 9 == = -— ..
En effet, lorsque l'on multiplie le dénominateur de - par 9, ce dénominateur devient
9 fois plus grand ; la fraction deviendra donc 9 fois plus petite, car elle se composera bien
encore du même nombre de parties, mais ces parties seront devenues 9 fois plus petites.
La fraction sera donc devenue 9 fois plus petite, c'est-à-dire qu'elle aura été divisée par 9.
Remarque. — Pour diviser une fraction par un nombre entier, on peut encore, lorsque la chose est possible, diviser le numérateur de cette fraction [)ar le nombre entier, en conservant le dénominateur.
En effet, en divisant le numérateur d'une fraction quelconque par 9, par exemple, ce numérateur devient 9 fois plus petit. La fraction deviendra donc aussi 9 fois plus petite,
car elle se compose bien encore de parties de même valeur, mais ces parties sont en nombre 9 fois plus petit. La fraction sera donc devenue 9 fois plus petite ; elle aura donc été divisée par 9.
Deuxième cas. — Pour diviser une fraction par une fraction, il faut multiplier la fraction dividende par la fraction diviseur renversée.
Ainsi, pour nolflE'e exemple, nous aurons :
Le dividende - est égal au produit du quotient par le diviseur -. Or, multiplier le quo-
tient par -, c'est en prendre les - ; donc les - du quotient égalent -; - du quotient vaudra
6 fois moins ; donc, pour obtenir - du quotient, il nous faudra diviser - par 6, ce qui se
fait, comme nous l'avons vu pour le cas précédent, en multipliant le dénominateur de
' par 6; - du quotient vaudra donc -j^ -; - du quotient, ou le quotient lui-même,
vaudront 7 fois plus; pour obtenir le quotient, il nous faudra donc multiplier — , qui
vaut - du quotient, par 7, ce qui se fait en multipliant le numérateur de cette fraction
4X7 par 7. Nous aurons donc p -;•, c'est-à-dire la fraction dividende multipliée par la fraction
diviseur renversée.
Remarque. — Nous avons montré que l'on obtenait - du quotient en divisant - par 6,
ce qui, avons-nous dit, se fait en multipliant le dénominateur de - par 6. Cette division
peut encore se faire, au cas où la chose serait possible, en divisant le numérateur de la
fraction par 6. De même, pour obtenir les - du quotient, ou le quotient lui-même, nous
pourrons, si toutefois la chose est possible, diviser le dénominateur de la fraction proposée par 7, car dans ce cas, le dénominateur étant devenu 7 fois plus petit, la fraction sera devenue 7 fois plus grande, puisque le nombre des parties sera le même, et que ces parties seront devenues 7 fois plus grandes.
Nous pouvons déduire de là une seconde règle pour diviser une fraction par une fraction :
Pour diviser une fraction par une fraction, il faut diviser le numérateur de la fraction dividende par celui de la fraction diviseur, et le dénominateur de la fraction dividende par celui de la fraction diviseur. -
Cette seconde règle ne sera applicable que lorsque chaque terme de la fraction dividende sera divisible par le terme correspondant de la fraction diviseur.
Troisième question. — Rechercher la génératrice de la fraction périodique : 0,27345345 ; démontrer : 1° Qu'une fraction ordinaire irréductible dont le dénominateur ne contient aucun des facteurs 2 ou 5, donne lieu, étant réduite en décimales, à une fraction périodique simple ;
2° Qu'une fraction ordinaire irréductible dont le dénominateur contient un des facteurs 2 ou 5, ou tous les deux avec d'autres facteurs, donne lieu à une fraction périodique mixte dont la période doit commencer après autant de chiffres qu'il y a d'unités dans le plus grand des exposants de 2 et de 5 qui entrent au dénominateur.
Première demande. — Rechercher la génératice de la fraction périodique 0,27345345
Portons la virgule à droite de la première période. Nous aurons le nombre décimal :
Portons maintenant la virgule à gauche de la première période. Nous aurons un second nombre décimal : 27,345345....
Si nous retranchons le second nombre décimal du premier, nous aurons, puisque la partie décimale est la même dans les deux cas, un nombre entier qui sera la différence entre la partie entière du premier nombre décimal et la partie entière du second, c'est-àdire entre le nombre entier exprimé par la partie irrégulière suivie de la période, et le nombre entier exprimé par la partie irrégulière de la fraction décimale proposée.
Or, en portant la virgule à droite de la première période, nous avons rendu la fraction décimale proposée 100000 fois plus grande (autant de fois plus grande qu'il y a d'unités dans le nombre exprimé par l'unité suivie d'autant de zéros que l'on a avancé la virgule de rangs vers la droite) ; et en portant la virgule à gauche de la première période, on a rendu la fraction décimale proposée 100 fois plus grande (autant de fois plus grande qu'il y a d'unités dans le nombre exprimé par l'unité suivie d'autant de zéros que l'on a avancé la virgule de rangs vers la droite). Le premier nombre décimal obtenu vaut donc 100000 fois la fraction ordinaire équivalente à la fraction décimale proposée, et le second nombre décimal obtenu vaut 100 fois cette même fraction.
Donc, en retranchant le second nombre décimal du premier, nous avons retranché 100 fois la fraction ordinaire équivalente à la fraction décimale proposée de 100000 fois cette même fraction ; le reste, c'est-à-dire la différence entre les parties entières des deux nombres décimaux obtenus, vaudra donc 100000 — 100 = 99900 fois cette fraction ordinaire équivalente à la fraction décimale proposée.
Une foiscette fraction ordinaire vaudra donc 99900 fois moins, c'est-à-dire
27345 — 27 99900 Donc, toute fraction décimale périodique mixte est égale à une fraction ordinaire dont le numérateur est égal à la différence entre les deux nombres que l'on obtient en portant la virgule successivement à droite et à gauche de la première période, et dont le dénominateur est exprimé par autant de chiffres 9 qu'il y a de chiffres dans la période, suivis d'autant de zéros qu'il y a de chiffres ir régulier s.
Deuxième demande. — Démontrer qu'une fraction ordinaire irréductible dont le dénominateur ne contient aucun des facteurs 2 ou 5, 'donne lieu, étant réduite en décimales, à une fi"action périodique simple.
Pour cela, je vais d'abord établir que le numérateur d'une fraction ordinaire équivalente à une fraction périodique mixte ne peut pas être terminé même par un seul zéro.
En effet, pour que ce cas pût se présenter, il faudrait que le dernier chiffre irrégulier fût le même que le dernier de la période, puisque, comme nous l'avons vu, le numérateur d'une fraction ordinaire équivalente à une fraction périodique mixte est égal à la différence entre le nombre formé par la partie non périodique suivie de la partie périodique, et le nombre formé par la partie non périodique ; mais alors on aurait fait commencer la période un chiffi'e plus tôt qu'elle ne commence en réalité ; donc la chose est impossible, donc le numérateur de la fraction ordinaire équivalente à une fraction périodique mixte ne peut pas être terminé par un zéro.
Démontrons maintenant qu'une fraction ordinaire irréductible dont le dénominateur no contient aucun dos facteurs 2 ou 5, donne lieu, étant réduite en décimales, à une fraction périodique simple.
En effet, si cette fraction ordinaire ne donne pas lieu à une fraction périodique simple, elle donnera lieu à une fraction périodique mixte, et, en convertissant celle-ci en fraction ordinaire, nous trouverons une fraction dont le dénominateur sera terminé par dos zéros, autant qu'il y a de chiffres irréguliors dans la fraction périodique. Il faudra donc que ces zéros dispai'aissent en réduisant la fraction ordinaire à sa plus simple expression. Or, cela est impossible, car nous avons vu que le numérateur d'une fraction ordinaire équivalente à une fraction périodique mixte ne pouvait pas être terminé môme par un seul zéro ; les facteurs 2 et 5 qui se trouvent au dénominateur de cette fraction ordinaire ne pourraient
donc pas disparaître tous, il resterait donc, dans le dénominateur de cette fraction réduite à sa plus simple expression, des facteurs 2 ou des facteurs 5, donc on ne retoniberait pas sur la fraction génératrice dont le dénominateur est supposé ne contenir aucun des facteurs 2 ou 5 ; donc la fraction génératrice proposée ne peut pas donner lieu à une fraction périodique mixte, donc elle donnera lieu à une fraction périodique simple.
Troisième demande. — Démontrer qu'une fraction ordinaire irréductible dont le dénominateur contient un des facteurs 2 ou 5, ou tous les deux avec d'autres facteurs, donne lieu â une fraction périodique mixte dont la période doit commencer après autant de chiffres qu'il y a d'unités dans le plus grand des exposants de 2 et de 5 qui entrent au dénominateur.
En effet, si cette fraction ordinaire ne donne pas lieu à une fraction décimale périodique mixte, elle donnera lieu à une fraction décimale périodique pure, et en convertissant cette fraction périodique pure en fraction ordinaire, on devra retomber sur une fraction équivalente à la fraction génératrice. Or, cela est impossible, car le dénominateur d'une fraction ordinaire équivalente à une fraction périodique pure n'est formé que de chiffres 9 ; en réduisant cette fraction résultante à sa plus simple expression, on ne pourra pas retomber sur la fraction génératrice, dont le dénominateur est supposé contenir quelque-un des facteurs 2 ou 5. La fraction génératrice proposée ne peut donc pas donner lieu à une fraction périodique pure, elle donnera donc lieu à une fraction périodique mixte.
Maintenant, si l'on convertit cette fraction décimale en fraction ordinaire, on obtiendra une fraction dont le dénominateur sera terminé par autant de zéros qu'il y a de chiffres irréguliers dans la fraction périodique mixte ; tous les facteurs 2 et 5 qui se trouvent au dénominateur de cette fraction ordinaire ne pourront pas disparaître à la fois lorsque on réduira la fraction à sa plus simple expression, car le numérateur de cette fraction ordinaire équivalente à une fraction périodique mixte, ne pouvant être terminé par un zéro, ne peut pas être divisible à la fois par 2 et 5 ; mais, après cette réduction de la fraction ordinaire à sa plus simple expression, on devra retomber sur la fraction génératrice, donc la période commencera, dans la fraction périodique mixte équivalente à la fraction génératrice, après autant de chiffres qu'il y a d'unités dans le plus grand des exposants de 2 et de 5 qui entrent au dénominateur.
Quatriètne question. — Trois ouvriers a, b, c, font ensemble, par jour, 132 mètres d'ouvrage, b ne fait que les - de l'ouvrage de a, et si c faisait 12 mètres de plus, il ferait la
moitié de ce que a et b font ensemble. On demande combien de mètres d'ouvrage chaque ouvrier fait par jour.
