L'Arithmétique géométrique

Ou trouve couramment dans nos livres d'enseignement une démonstration géomélric|ue pour celte proposition : le produit de nombres entiers ne dépend pas de l'oi'dre des facteurs, et cette démonstration consiste à ranger les unités, ou les points qui les représentent, en forme de rectangle; chaque rangée horizontale contient les unités du multiplicande, le nombre des rangées est égal au multiplicateur, et la permutation des rangées horizontales avec les verticales démontre la permutabilité des facteurs. Si, au lieu d'unités, on se sert de petits carrés ayant i de côté, on aura du même coup démontré le théorème géométrique que « la surface d'un rectangle a pour expression le produit de ses côtés » : si l'on néglige, au contraire, de prendre une unité déterminée l'on obtient, pourvu que les côtés soient commensurables, cette proposition que « deux rectangles sont entre eux comme les produits de leurs côtés ».

C'est de cette représentation que provient la dénomination, universellement usuelle chez les Grecs, de nombres plans pour ceux qui se composent de deux facteurs, c'est-à-dii-e qui forment une surface rectangulaire, et la dénomination encore maintenant employée de nombre carré. Les nombres plans sont (Wii semblables quand leurs facteurs sont proportionnels : ces nombres sont alors proportionnels à deux nombres carrés.

Au moyen du carré, qui figure un certain nombre carré («-), on obtient le nombre carré suivant {n ~\- i)-, en construisant le long des deux côtés ■xn nouveaux petits carrés, puis un encore dans l'angle rentrant ainsi formé. Cette figure complémentaire s'appelle gnomon, comme en générai toute figure qui

02 LES MATHEMATIQUES GUECQLES.

représente la différence entre deux tigures perspectivenient semblables, avec un point angulaire comme centre do similitude : dans le cas présent, elle est égaie à 2/^4-1. On trouve ainsi que les nombres carrés se forment comine les sommes des premiers nombres impairs, et si l'on fait de 2/1-4-1 luimême un nombre carré l'on obtient précisément la détermination des côtés rationnels d'nn triangle rectangle, on la solution même de l'équation indéterminée ^--1-/-:=^- en nombres entiers : cette solution a été attribuée (p. 27) à Pylhagore, et celle que Ton rapporte à Platon s'obtient en donnant 2 de largeur au gnomon.

Si l'on veut donner au gnomon une largeur quelconque, on a la solution la plus générale de cette même équation en nombres entiers : pour cela, Euclide, dans le premier lemme à la proposition 28 du dixième Livre, emploie une transformalion qui, dans noire langue algébrique actuelle, correspondrait à peu près à l'introduction des nouvelles inconnues z^ ce = u, z — a- =: ç { c'est-à-dire que la largeur du gnomon est v); «('doit alors être égal à un carré/"-. Euclide, dans ce cas, peut s'appuyer sur l'Algèbre géométric|ue qu'il a développée dans son deuxième Livre, et pour le serrer de plus près nous énoncerons dès maintenant la sixième proposition de ce Livre, proposition que nous rencontrerons bientôt de nouveau sous la forme suivatite {voir p. 89) : C étant le milieu

Fig. ..

de AB, et D un point du prolongement de AB, A!) . BD = CD-— CBS

c'est-à-dire, avec les signes emplovés plus liant

in' := c- — X-.

L'AniTnM(^;TIQLE GÉOIIÉTKIQLE. 33

Si loules les lignes représenlenl des nombres entiers, il faut, alors que AD (=:«) et BD (= v) soient loules deux des nombres pairs ou toutes deux des nombres impairs pour queArJ=:2CB (ou u — v=i-ijc) puisse être pair; la condition nécessaire et suffisante pour que le gnomon AD.BD soit un nombre carré est, d'autre part, que AD et BD représentent des nombres semblables ou, dans notre langage, que AD = am-, BD = a/i-; alors

y =: a.nin;

Nous verrons que cette rc^présenlation des nombres par des rectangles et des carrés donna naissance au principe de l'Algèbre géométrique, tandis que rArilbméti(|ue géométrique employa d'autres figures encore.

Nous avons dit que la notion des nombres triangulaires fut attribuée aux pytbagoriciens : on entend, par là, les sommes des premiers nombres de la série numérale naturelle, et l'on place les unités de chaque nombre en rangées de points, les unes sous les autres, de manière qu'elles forment un triangle.

On voit alors facilement comment cette représentation put servir à un véritable calcul, car, en effet, il suffisait de construire, à côté du premier, un second triangle formé de points, de telle façon qu'ils formassent à eux deux un parallélogramme : comme il y a un nombre égal de points dans chaque rangée («4-1 si « désigne le nombre des rangées), le total des points du parallélogramme, c'est-à-dire le double du nombre triangulaire, est /^(« + i) et c'est bien là, on le voit, un procédé identique à celui que l'on emploie en Algèbre lorsque l'on ajoute à elle-même, mais dans l'ordre inverse, la progression arithmétique.

Comme l'unité, qui dans cette série est la différence, peut être choisie à volonté, et comme une constante addità-e ne donne dans chaque terme qu'un produit qui doit être ajouté à la somme, on put alors facilement faire la somme d'une progression aiithmétique quelconque; au reste, on peut aussi figurer la différence, comme dans la fig. 2, par un segment désignant immédiatement une quantité arbitraire. Arcliimède entreprit, dans son Traité des spirales, une investigation plus z. 3

34 lES MATHÉMATIQUES GRECQUES.

large des progressions arithmétiques d'où il résulte Ijien que la sommation fut exécutée par la méthode que nous venons d'indiquer.

Fig. 2.

Mais revenons à la représentation des unités par des points pour citer encore un moyen, connu de Nicomaque, de représenter géométriquement des progressions arithmétiques ayant I pour premier terme et, pour raison, un nombre entier quelconque {n —2), moyen qui consiste dans l'emploi des nombres dits polygonaux (nombres «-gonaux). Ou figure le second terme {n — 1) par des points qui forment, avec un point fixe, un polygone d'ordre n; le point fixe étant le centre de similitude, on passe de ce polygone à une série de polygones semblables d'ordre n au moyen d'une série de gnomons, dont chacun représente un terme de la progression : pour n =: 4, en particulier, on obtient les nombres quadrangulaires ou, étant donné que la forme du quadi'ilatère importe peu, les nombres carrés, ainsi qu'on l'a déjà vu.

On a même étendu à l'espace cette Arithmétique géométrique : les nombres solides sont des nombres qu'on figure par un parallélépipède, c'est-à-dire des produits de trois facteurs — si ces facteurs sont égaux, on obtient des nombres cubiques; les facteurs de deux nombres solides semblables sont proportionnels et, par suite, leur rapport est égal au rapport entre deux nombres cubiques. Un nombre pyramidal esi la somme d'une sériede nombres polygonaux d'ordie /^ avec I pour premier terme, en imaginant les polygones superposés de manière à former une pyramide.

Une grandeur très générale, rationnelle ou irrationnelle, peut être figurée d'abord par la longueur d'un segment recti-

ALGÈBRE GÉOMÉXniQLE. 35

ligne el la sousliaclioii ou l'addition dos grandeurs ainsi représentées se fera en rapporlanl l'un des segments sur l'autre, ou sur son prolongement : nous venons d'avoir un exemple de ce procédé dans la sommation des progressions arithmétiques chez Archimède, et il est surtout applicahle à la représentation d'équations du premier degré à coefficients entiers ou seulement rationnels, ces derniers étant réduclihles en nomhres entiers.

La multiplication, au sens immédiat du mot, des grandeurs générales, est un non-sons, mais on s'en tira en appliquant aux grandeurs générales la représentation géométriciue, que nous connaissons déjà, d'un produit de deux nombres entiers. Toutefois, on n'élargissait point, comme dans les Mathémati(|ues modernes, les concepts arithmétiques de multiplication et de produit : au lieu de parler d'un produit de grandeurs générales, on parlait d'un rectangle formé par les deux segments figurant les facteurs, et l'on opérait au moyen de ce rectangle. Cependant, étant donné que l'on j-eprésente de la même manière de véritables produits de nombres entiers, on pouvait toujours se faire guider par le traitement arithmétique usité dans ce dernier cas, et je pourrai donc, sans crainte d'induire en erreur, désigner dans ce qui va suivre par ah le rectangle formé par a et b, et par a'le carré de a.

On obtenait, de la sorte, une deuxième représentation géométrique des grandeurs, à savoir, comme surfaces, tout d'abord des rectangles et carrés; pour les additionner ou les soustraire, on devait leur donner un côté commun mais, cela, sans employer la théorie des proportions, car celle (|u'on en possédait au v* siècle reposait sur l'usage exclusif de quantités commensurables. On introduisait donc un côté nouveau, dans un rectangle, à l'aide de la proposition suivante : les parallèles aux côtés d'un rectangle, qui se coupent sur une diagonale, divisent ce rectangle en quatre autres dont deux sont égaux, à savoir ceux que ne traverse pas la diagQiiale considérée ( cf., p. Sj-Sg \csjig. 3-5, où, pour le cas présent, l'on doit s'imaginer les carrés comme remplacés par des rectangles); si l'un de ces rectangles est le rectangle proposé, il est alors facile de donner à l'autre un côté donné.

Cette construction, qui répond à la division tout comme celle d'un rectangle de côtés donnés répond à la multiplication, porte le nom d'application des surfaces (-acaSoXri), ou de TrxpaooXv] simple par opposition à la TiapaSoÀv^ elliptique et hyperbolique dont nons parlerons plus loin, et nous verrons que la figure que l'on y emploie présente encore d'autres applications importantes : la partie qui comprend les deux rectangles égaux et l'un des deux autres s'appelle, ici comme en Arithmétique géométrique, gnomon — c'est, par exemple, CBEM dans \ixfig. 4-

Le théorème en question se trouve employé de cette manière dans Euclide, I, 43-44, mais il y est sous une forme un peu plus générale : les rectangles y sont remplacés par des parallélogrammes à angles égaux. Au contraire, au Livre II, le même Euclide opère au moyen de rectangles; et c'est dans son Livre VI qu'il nous faut chercher des éclaircissements sur l'emploi qu'on dut faire des théorèmes de ce Livre II, longtemps avant lui, puisque, nous dit-on, les pythagoriciens avaient connu l'application des surfaces. Dans ce Livre VI, toutefois, les applications desdit théorèmes sont présentées sous une forme généralisée qui est bien de l'invention d'Euclide, ou de ses prédécesseurs immédiats (').

Un rectangle, dont les côtés sont eux-mêmes des sommes, est la somme de tous les rectangles ayant pour côtés un terme de chacune des sommes données.

Au lieu de la formule moderne

{a -\- b)- r=a- + h- -{- 'icib

Euclide (II, 4) donnait \'Afig. 3 suivante. Le problème que nous poserions maintenant par l'équation

(i) ax — .r-^ 0-

était exprimé par les anciens de la façon suivante {fig- 74) : Construire, sur un segment donné AB (:=«), un rectangle

(') Le but de cette généralisation est expliqué dans notre § IG.

AM égal h un carré donné (6-), de telle sorte que la portion de surface manquant — au rectangle ax sur AB — soit un carré (BM=:^^).

Fis.

nf}

ab

On obtient celte construction, qui s'appelle application elliptique des surfaces — de T/ltvl'.ç, action de faire défaut—, en ramenant à la figure précédente celle parlaquelle on résout le problème : si C, en effet, est le milieu de AB et qu'on applique le rectangle CK au côté DB (il prend la position DE), on voit que le rectangle AM est égal à un gnomon, c'est-à-dire égal à la différence des carrés élevés sur BC et CD ou, en notre langage algébrique, que

Maintenant, étant connus 6 et CB = -, on neuf, au moven

du théorème de Pythagore, trouver CD = - — ,r et, de la

sorte, jc.

On peut conclure d'Euclide (VI, 28) que telle est à peu près

la manière dont fut résolu ce problème, encore que cette proposition le présente sous une forme plus générale, mais la transformation employée ici se trouve déjà dans Euclide, 11, 5, où il est dit que, C étant le milieu et I) un autre point de AB,