I.RS MATHf^lMATIQUES PYTHAGORICIENNES

lions près, les recherches d'Aritlimélifiue de la meilleure époque ne nous sont pas parvenues.

En revanche, les Ouvrages que nous possédons de Diophante, contemporain de Pappus, alfeclenl une telle originalité qu'il nous faut hion y voir un élargissemenl réel des Mathématiques grecques; on nous a conservé, de sa main, la majeure partie d'un grand Ouvrage intitulé Arithmétique, encore que nous ignorions si un petit écrit touchant les nomhre? figurés faisait corps avec cette œuvre.

Si, maintenant, nous considérons le contenu mathématique de la Géométrie grecque en la prenant dés ré|)oque la plus reculée, nous ne savons qu'extrèmenient peu tie choses touchant le vi"^ siècle. Sans doute Eudème attrihue à Thaïes différentes propositions parmi lesquelles il peut fort hien avoir connu celle-ci :

« L'angle inscrit dans une derni-circonférence est un angle droit, »

qu'il l'ait, au reste, trouvée lui-même ou l'ait teime des Égyptiens : cette proposition, en effet, se déduit sans aucune dilticulté du fait facilement constatable qu'un rectangle peut être inscrit dans une circonférence.

En levanche, il est difficile de trouver quelque sens à l'aflirmalion d'Eudème qui attribue à Thaïes d'avoir démontré que le diamètre partage un cercle en deux parties égales : à cette époque, on n'aurait vu aucune nécessité de démontrer un fait d'une telle évidence. Toutefois, Eudème veut peut-être dire que la connaissance de cette proposition considérée, de son temps, comme indispensable pour la démonstration du théorème sur l'angle inscrit dans un demi-cercle, dut également être nécessaire à Thaïes, et il ne faut inis non plus attacher d'autre importance à la mention ([u'il fait encore des théorèmes suivants :

« Quand deux droites se coupent, les angles opposés par le sommet sont égaux; de même les angles à la base d'un triangle isoscèle »;

« On détermine un triangle à l'aide d'un côté et des deux angles adjacents ».

Cette dernière proposition, en particulier, n'acquiert toute sa valeur théorique que si on la présente avec d'autres propositions semblables, qui lui sont connexes, et comme on ne dit pas si Thaïes connut ces propositions, il faut y voir comme explication que la tradition aurait mis sur le compte de Thaïes certaines opérations pratiques, à l'établissement théorique desquelles la proposition en question est nécessaire : elle lui attribue, par exemple, la détermination de la distance de points inaccessibles, la mesure des hauteurs au moyen de l'ombre, et la relation qui nous est parvenue indiquerait que ces mesures furent exécutées à l'aide de triangles égaux. Or la détermination de l'inclinaison d'une arête pyramidale, entreprise par les Égyptiens, montre qu'ils savaient y employer des triangles semblables, et qu'ils étaient donc plus avancés que Thaïes.

C'est pourtant à Thaïes qu'appartient l'honneur d'avoir, pour la première fois chez les Grecs, entrepris des recherches mathématiques. A quel degré de culture mathématique le yi" siècle étàil-il, d'ailleurs, parvenu? Sur quelles données le siècle suivant put-il construire? La réponse à cette seconde question est la meilleure réponse pour la première. Si, par exemple, les pythagoriciens découvrirent les cinq polyèdres réguliers, celte découverte présume chez leurs devanciers des connaissances géométriques assez importantes.

Les renseignements qui s'offrent à nous sur la Mathématique des pythagoriciens sont beaucoup plus satisfaisants. Sans doute, non seulement on ne peut pas trop s'y fier en ce qui concerne la part à faire revenir au maître et aux disciples dans l'œuvre, car ils ont peut-être encore trop de tendance à attribuer aux pythagoriciens beaucoup de choses dont la découverte fut seulement de leur temps et, cependant, pour qui est initié aux Mathématiques grecques plus récentes, ils rendent une image d'ensemble si nette et si saisissable de ces Mathématiques à leur premier stade d'évolution, des efforts tentés dès l'origine et qui laissèrent ensuite leur trace dans les Mathématiques grecques, bien plus, dans toutes les Mathématiques postérieures, que ces renseigne-

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menls mérilont d'èlre rassenihlés en un exposé : de la sorte nous connaîtrons le fondement des travaux exécnlés à la fin du siècle en question, et nous en comprendrons mieux le but, tout en éclairant la physionomie qu'alTeclèrent notamment lesMatliématifjues au siècle suivant.

Selon Eudème, les pythagoriciens ont tout d'aijord « élevé la Géométrie à la dignité réelle d'une Science, par ce que Pylhagore en considéra le principe de plus haut et en scruta les théorèmes plus intellectuellement et immatériellement — pour ainsi dire ~ ; en outre, il découvrit les grandeurs irrationnelles et la construction des figures cosmiques (polyèdres réguliers) ». En fait de renseignements plus spéciaux dus à d'autres écrivains, outre quelques définitions plus [)hilosophi(iues que mathématiques du point, de la ligne, de la surface et des coips solides, nous a[>prenons que les pythagoriciens connaissaient la somme des angles du triangle, la division du plan en polygones (vraisemblablement réguliers), savoir en triangles, carrés ou hexagones, dont respectivement 6, 4 ou 3 ont un sommetcomtnun ; ils auraient inventé ce qu'on appelle V application des surfaces — on entendait par là, nous le verrons, la résolution d'équations quadratiques sous une forme géométrique — ; ils auraient connu la construction d'un polygone de même aire qu'un pol3'gone donné et simultanément semblable à un deuxième polygone; il est raconté qu'un pythagoi'icien commit, contre son école, le délit de divulguer le (' théorème de douze pentagones dans une sphère » ; on peut enfin mentionner le pentagramme qui est donné pour un symbole pythagorique : c'est un pentagone étoile dont les côtés forment, dans le cercle circonscrit, les cordes d'arcs

ayant pour grandeur ^•

Tandis que des cas particuliers du théorème, appelé encore aujourd'hui de Pythagore, ont été sûrement connus avant lui, ce théorème même, dans sa généralité, reste attribué aux pythagoriciens; de même que l'une des règles d'après lesf|uelles on peut former des nombres rationnels pour les côtés d'un triangle rectangle, à savoir les nombres

a- — I a'- -\-\ a, et j ou a représente un nombre impair, tandis

28 LES MATHÉMATIQUIiS GRECQL'ES.

que les nombres r/, ( - j — i et ( - 1 -f- 1, où a est un nombre

p;ur, sont attribués à Platon.

On nous apprend que les pythagoriciens connaissaient les trois sortes de proportions, arithmétique, géométrique et harmonique, de plus, les nombres triangulaires, c'est-à-dire les sommes des premiers nombres de la série numérale naturelle, et qu'ils s'occupaient aussi de progressions arithmétiques plus générales; enfin que Pythagore fait, du nombre, le principe de toules choses, et que les pythagoriciens se sont livrés à des recherches sur certains nombres entiers, comme les nombres amiables — dont l'un est égal à la somme des parties aliquotes (^) des autres — ou les nombres parfaits. qui sont égaux à la somme de leurs propres parties aliquotes (6 = 1 + 2-4-3). Enfin Pythagore aurait établi des rapports entre la Géométrie et l'Arilhmélique ou la Musique.

Nous parlerons plus en détail de plusieurs de ces sujets et de leur importance quant aux Mathématiques grecques mais, d'abord, il nous en faut montrer biièvement la connexité pour établir la concordance des données issues de sources de valeurs très diverses.

Commençons par noter l'etfort pour préciser clairement les idées de point, li<^ne. etc.; puis, aussi, l'on était déjà en possession de l'idée à'angle pour l'appliquer, tant à la division du plan qu'à rechercher d'une manière générale quels sont les polyèdres réguliers et possibles. Sans doute il fallait bien du travail avant d'arriver à la parfaite détermination et à la construction que l'on trouve chez Euclide du dodécaèdre et de l'icosaèdre, mais le premier pas vers ce but, la construction du pentagone régulier, était fait, et l'on s'enorgueillit visiblement d'être allé si loin.

Dans la construction des côtés du pentagone, ou du décagone, nous avons déjà un exemple de solution géométrique d'une équation du second degré, solution deux fois répétée par Euclide, mais ce qui prouve que les pythagoriciens ne s'en tinrent pas à ce cas unique c'est, non seulement la

( ' ) On sait que les parties aliquotes d'un nombre sont tous ses diviseurs, à l'exclusion du nombre lui-niême, mais en y comprenant l'unité. (T.)

LES MATHÉMATIQUES P\ I il \(,(tlll(;ii;> NHS. 29

ineiilion générale de l'applicaliuii des surfaces, mais encore la mention parliciilièrc du ihéorème de Pythagore si important, nous le verrons, pour ces investigations, ainsi que d'une construction ad hoc tout aussi importante. Ajoutons la dé couverte que les équations du second degré donnaient lieu à des grandeiu's incomniensitrahles; les écpialions numériques, à des grandeurs irralionnelles (par ces dernières nous entendons toujours des grandeurs inconunensurables avec l'unité employée).

11 se |)eut aussi que les reclierclies pytliagoriciennes sur la théorie des nombres n'aient été, partiellement, qu'une continuation de la numération mysticpio des Babyloniens; mais elles n'en aboutirent pas moins, en tous cas, à former par ailleurs des équations quadratiques où l'irrationalité fût évitée.

On ne peut éviter les grandeurs irrationnelles dans les recherches générales mais, par cela même, les procédés mathématiques usités jusque-là manquaient de sûreté, et c'est le grand mérite des pythagoriciens de s'en être aperçus. On connaissait bien les proportions et, vraisemblablement de bonne heure déjà, l'on s'en servait sous l'une ou l'autre forme ; mais avant Eudoxc il ne pouvait être question que d'égalité de rapports entre nombres entiers, ou d'égalité de ces rapports avec des rapports entre grandeurs géométri(|ues, (|ui devaient être par suite commensurables; on employait les opérations simples comme la multiplication; on savait, à l'instar des Égyptiens, que, par exen)ple, un rectangle est égal au produit des côtés, l'unité de surface étant le carré construit sur l'unité de longueur; d'ailleurs, si les côtés sont incommensurables, non seulement la démonstration par la division en carrés n'est plus applicable, mais même la proposition perd tout sens, car il est contraire à l'idée que l'on se fait d'un produit, dans le calcul ordinaire, que les facteurs de ce produit soient des nombres irrationnels.

C'est cette difficulté que supprimèrent les pythagoriciens et, à leur suite, les mathématiciens grecs en représentant géométriquement la grandeur en général : au premier abord, l'avantage de cette représentation peut, sans doute, paraître assez mince, étant donné qu'un segment quelconque a tout aussi bien une grandeur déterminée qu'un nombre pris arbi-

3o LES MATHÉMATIQUES GRECQUES.

Irairement, mais la figure tracée ne sert qu'à fixer pour l'imagination la figure conçue, et les grandeurs, dans celle-ci, peuvent prendre toutes les valeurs qui s'accordent avec la conception. Ainsi, au même titre qu'une lettre en Algèbre, la représentation d'une grandeur par la longueur d'un segment peut s'appliquer à des grandeurs variant d'une façon continue.

Sans doute les Grecs ne savaient rien des quantités négatives, pas i)lus que des quantités imaginaires : mais, à défaut des premières, les variations de la figure peuvent en partie présenter les mêmes généralisations que nous obtenons aujourd'hui au moyen des quantités négatives.

A ces remarques l'on peut reconnaître que les opérations sur les quantités repi'ésentées géométriquement jouent un rôle semblable à celui de nos opérations algébriques, de sorte que nous appellerons Algèbre géométrique la théorie de ces opérations, et nous l'exposerons ici telle que nous la font connaître le deuxième livre des Éléments d'Euclide d'une part, et, d'autre part, l'application qui en est faite partout, dans les Mathématiques grecques, principalement là où, maintenant, on emploie des équations du second degré. L'Algèbre géométrique, aussi bien chez Euclide que chez d'autres, est à la base de tant de recherches que cette fréquence même constitue une preuve de la haute antiquité que nous lui pouvons attribuer, d'accord avec ce qu'on nous rapporte de la notion pythagoricienne de l'application des surfaces, et sa facile application à telles grandeurs que l'on veut, tant irrationnelles que rationnelles et, conséquemment, sa nature abstraite, conviennent bien à ce que dit Eudème de la façon dont Pylhagore traitait la Géométrie, immatéricllcment.

Il est toutefois bien possible que ce caractère abstrait n'ait pas été tout d'abord si notoire et si niar(|ué qu'il l'était devenu au temps d'Eudème, et qu'il l'est dans Euclide. Au contraire, il est naturel — et tout à fait d'accord avec ce qu'on nous apprend sur la liaison, opérée par les pythagoriciens, de la Géométrie et de l'Arithmétique — d'admettre que la traduction géométrif|iie correspondant aux nombres entiers qui, chez Euclide, apparaît comme une application de l'Algèbre géométrique, fut antérieure à cette Algèbre même.

l'arithmétique géométrique. 3i

Dans les représenlalions géométiiques des propriétés des nombres entiers, par lesquelles on a commencé, on trouva par la suite une forme de lefiiéscnlation qui, d'elle-même, tout aussi facilement, s'appliquait géuéralemenl à des grandeurs continues, mais il est aussi probable que l'on ne s'en aperçut qu'à la longue : ce pourquoi nous commencerons par traiter de l'Arithmétique géométrique des Grecs, comme introduction à leur Algèbre géométrique.