AD.BD^CD-— CBS

et cette transformation géométrif|ue concorde précisément avec la Iransforinalion algébrique par laquelle nous résolvons acluellemenl l'équation (2), savoir :

70 0 fa \- (a

b- ^=z ax -\- X- =^ { r- X \ — -

on détermine Cl) ( = — \- x\ à l'aide du lliéorème de Py-

thagore.

Le théorème d'Euclidc ([I, 6) comporte immédiatement la solution du même problème sous une autre forme que voici : déterminer deux segments (AD et BD) dont on donne la différence et le rectangle (égal au carré b-), problème qui n'est à son tour que la forme géométrique du suivant : déterminer deux quantités, connaissant leur différence et leur i)roduit, et comme le problème se trouve également sous celte seconde forme chez les anciens {Data d'Euclide, 81), il importe fort peu que l'on ne rencontre aucune forme pour rendre réf|ualion

( 3 ) x' - ax " b''

d'une manière aussi directe que celle par laquelle les applications de surface rendent les équations (i) et (2).

Pour obtenir, dans notre langage algébrique, l'équation (2) ou l'équation (3), nous n'avons, en effet, qu'à transcrire Euclide (II, 6) à la manière moderne, en posant

BD = X ou AD = X.

Nous voyons donc que les anciens oui traité toutes les formes de l'équation du second degré qui donnent des racines positives car, pour les autres, il n'en pouvait être question

4o LES MATHÉMATIQLES GRECQUES.

\'u qu'ils n'avaient aucune idée des quantités négatives. Pour la solution géométrique que nous donnons ici, nous avons supposé que le terme connu, qui devait toujours être une surface pour l'homogénéité, était donné sous la forme d'un carré : alors la solution a été obtenue au moyen du théorème dit de PytJiagore. Ce théorème, dont les Égyptiens déjà connaissaient au moins des cas particuliers, fut attribué à Pylhagore sans que, toutefois, on sache rien sur la façon dont il l'aurait démontré, mais il se peut que cette démonstration ait été faite à l'aide de triangles semblables : elle ne pouvait donc être exacte, avec la théorie alors connue des proportions, que si les côtés étaient commensurables, car on ne faisait que commencer à ce moment-là d'introduire les constructions géométriques universellement applicables, et c'est bien Euclide, comme il nous est expressément rapporté, qui doit être l'auteur original de la démonstration générale, au Livre I, f\-, de son œuvre.

Euclide démontrant que le carré élevé sur un côté, est égal au rectangle (c'est-à-dire au produit) de la projection de ce côté sur l'hypoténuse par l'hypoténuse entière, il est assez vraisemblable que, dans l'ancienne démonstration qu'il voulait remplacer, on se soit servi des théorèmes qui y correspondent sur les moyennes proportionnelles.

La démonstration, du reste, pouvait être également faite au moyen des opérations qui servirent à la solution des équations; il ressort nettement de \'a Jig. 3 que

a- -h />"- = ( « H- b)' — 2 ah,

différence qui est égale au carré de l'hypoténuse d'un triangle rectangle ayant pour côtés a et ^ : on le voit en construisant, aux quatre angles du carré {a + b)-, des triangles de cette nature et tels qu'il reste un carré au milieu. Il nous faut peutêtre voir un signe de l'usage général de cette démonstration dans ce fait que Socrale (le Dialogue Ménon, de Platon) procède précisément ainsi pour persuader l'esclave de Ménon de la justesse du théorème dans le cas spécial oii a = b; mais, par rapport à une démonstration aussi simple, celle d'Euclide ne serait plus du tout un progrès. La variante que constitue cette explication possible nous prouve bien que nous n'avons.

sur les méthodes de démonslralion primilives, aucun renseignement solide pour guider nos reclicrches.

En ce qui concerne la transformation d'une figure en un carré, transformation dont on dut se servir, soit pour donner aux équations la forme admise ici, soit pour construire sans recourir au théorème de Pylhagore la grandeur représentée dans la solution moderne par une racine carrée, on attrihue expressément aux pythagoriciens la connaissance du problème :

Construire une figure qui soit égale à une figure donnée et semblable à une deuxième.

En tous cas, il ne peut avoir été question là que de figures rectilignes et, dans le cas spécial dont nous nous occupons, la deuxième figure est un carré, la forme plus générale du problème étant celle qui se trouve dans Euclide, M, 2.5, où cet auteur doit l'avoir employée à ses applications de surface généralisées. Celui qui, postérieurement, attribua aux pythagoriciens la notion du problème ainsi conçu voulait donner à entendre par là que ces pythagoriciens avaient été en possession des données que suppose et qu'exige l'application des surfaces; mais l'application simple des surfaces n'exige, elle, que la transformation de la figure en un carré.

La transformation d'une figure rectiligne en un rectangle n'est pas. embarrassante; en outre, Euclide nous montre comment on pouvait transformer un rectangle en un carré sans recourir aux movennes pro|)ortionnolles et sans s'appuyer sur la théorie des i)roportions, incomplète avant Eudoxe : pour cela, dans son Livre II, IV, il ne s'appuie que sur l'AIgèbre géométrique, car la construction repose, en effet, sur le théorème II, o (ou (>), précédemment mentionné, d'après lequel on représente un rectangle comme la dilTérence de deux carrés. Le côté du carré, égal au rectangle, se construit ensuite à l'aide du théorème de Pythagore.

Cette transformation correspond à l'équation

, [ a -^ b\- i a — ^ , ab =^

et contient la solution de Yéquation quadratique pure.

f\-l LES MATHÉMATIQUES GRECQUES.

On attribue aux pythagoriciens un emploi géométrique déterminé de l'application de surfaces : la construction du côté du pentagone (ou décagone) régulier. Cette construction dépend, on le sait, de l'équation

.r-=: a {a — x), qui se transforme en

et l'on résout cette équation par application hyperbolique de surfaces. Pour résoudre ce problème, Euclide (II, 11) se sert exactement de la même transformation d'équation sous forme géométrique.

Les théorèmes II, 5 et 6, ne servent pas exclusivement à résoudre les équations du second degré; ainsi nous avons déjà mentionné (p. 82) une application arithmétique qu'en fait Euclide dans son dixième Livre, et nous venons de dire comment, avec eux, on évite de recourir aux moyennes proportionnelles. Mne. autre preuve de ce fait que l'Algèbre géométrique dispense d'employer les proportions se rencontre chez Euclide (III, 3o-37), dans les démonstrations des théorèmes sur la puissance d'un point par rapport à un cercle; les théorèmes II, 5 et 6, aflirmaient {cf. les figures, p. 3- et 38) qu'étant donnés C, milieu de AB, et D, un point de AB ou de son prolongement,

Al).l)l}i==(CB2— CD-);

si, niaintenanl, A et B sont les points d'intersection d'un cercle dont le centre est 0, on obtient par le théorème de Pythacore