CB^-CD=^OB^-ODS

et les théorèmes sur la puissance sont démontrés.

Toutefois, les éléments d'Algèbre géométrique exposés ici embrassent nolammenl le traitement des équations du second degré, c'est-à-dire précisément le terrain sur lequel s'était fait sentir la nécessité d'une représentation autre qu'une représentation numérique, à cause de l'intervention des quantités irrationnelles : pour traiter ces équations on pou-

ÉQUATIONS QUADItATIQl RS NLMÉUIQLES. ^'i

vait, il est vrai, se contenter de l'emploi de rectangles et de carrés, tant qu'on n'avait pas déjà de grandeur donnée qui fût représentée par la sui'face do (juolque aulrc figure, mais, quand rAlgéI)re géométrique et son application se furent développées davantage, en particulier par la théorie des sections coniques, on l'élargit jusqu'à se servir d'autres figures (que le rectangle et le carré) pour représenter les quantités avec les(|uelles on opérait.

H est clair, cependant, que l'Algèbre géométrique, en son ap|)licalion aux rectangles — et même aux i)arallélogrammes, vu qu'on n'y introduil jamais d'unités déterminées et qu'ainsi l'on y opère toujours |)ar équations homogènes, — que cette Algèbre, disous-nous, implirpie rArillimélifiue géométrique : car alors seulement il est possible de changer les |)oinls représentant des unités en Arithmétique avec des carrés ou des parallélogrammes égaux; les nombres triangulaires, au contraire, n'ont rien à voir avec la surface du triangle., confusion qui devait amener plus lard les arpenleurs romains à se servir

de la loi'mule — ^ pour calculer la surlace il un triangle

cquikitc'ral de côté a.

5. — Équations quadratiques numériques; extraction de la racine carrée.

De la concordance entre l'Algèbre et l'ArilhméiiqiK^ géomélri(iue applifiuées aux rectangles il résulte qu'il était désormais facile de transporter, aux équations numériquement données, la solution générale trouvée pour les équations quadi'atiques. Ici, toutefois, surgissait un inconvénient : les racines étaient en général irrationnelles.

On chercha évidemment des types où l'inconvénient fût éludé, ce qui se voit aux efforts tentés pour résoudre des équations indéterminées telles que a^- -h v^ =: z- , mais, dans les problèmes géométriques ou autres applications, il fallait bien prendre les grandeurs telles qu'elles étaient et, quand on ne pouvait trouver une solution rationnelle, c'esl-à-dire exactement exprimable en nombres, il y avait alors deux choses à faire : r' prouver que les quantités cherchées n'étaient réelle-

ment point rationnelles et, passant à des équations où les granfleurs données étaient déjà irrationnelles, classer les différentes quantités irrationnelles qui se pouvaient présenter; 2° pour les applications, calculer les quantités irrationnelles avec la plus grande approximation possible.

C'est dans la première direction que les anciens Grecs abondèrent le plus : nous avons déjà cité un exemple d'investigation de ce genre dans la solution par Euclide de l'équation a:- -i- y- z= z- , et comme il la résolvait complètement, il trouva les conditions non seulement suffisantes, mais

aussi nécessaires, pour que \/x--^ y'- et ^/j:'^ — y- fassent rationnelles; il trouva donc que, ces conditions n'étant pas remplies, les racines en question sont irrationnelles.

Une démonstration de l'irrationalité de \'2, vraisemblablement très vieille et qui, dans quelques éditions, piit place, à tort, à la fin du dixième Livre d'Euclide, est cependant beaucoup moins compliquée et, représentation géométriciue à part, peut s'exprimer à peu près de la façon suivante : si l'on a

^^^2 = — (fraction simplifiée le plus possible), on aura m-^ 2/1-, d'où résulte que m^ est un nombre pair et que m l'est également; — n'étant pas simplifiable, n serait alors

impair. Mais si m est pair, il s'ensuit que m- sera divisible par 4; donc n- le sera par 2; donc n sera pair, or ;? ne pouvant être à la fois pair et impair, il est bien impossible que y/2 soit une fraction irréductible.

Pareil procédé s'emploie, on le sait, d'une manière générale, pour prouver que la racine d'un nombre entier ne peut être une fraction.

Plusieurs des tbéorèmes du huitième Livre d'Euclide ont été probablement développés d'abord à cette fin : c'est le cas, par exemple, de la sixième proposition qui dit, quoique sous une autre forme, que la puissance d'une fraction irréductible doit être, elle-même, une fraction irréductible. Telle est, en tous cas, la démonstration générale dont on se servit plus tard, comme on le voit dans le commentaire d'Eutocius sur Archimède.

Cependant, Euclide donne encore, dans son dixième Livre,

f;QL"ATIO.\S QUADRATIQUES NLMl'RIQLKS. /pj

un moyen général pour vérifier la rationalité d'une grandeui', ou, ce qui renient au même, la commensurabilité de deux grandeurs, et ce moyen consiste à employer la môme opération que pour déterminer la plus grande commune mesure cnire les deux gi'andeurs : les grandeurs élant figuiées par des segments, on porte le plus [jclU, h, sur le plus graud, jusqu'à ce que le reste c soit plus petit que b, puis on porte de même c sur b, etc.; si celte opération se |)Oursuit à l'infini, les grandeurs sont incommensurables. De celte façon on trouve facilement qu'un segment partagé en moyenne et extrême raison se résout en segmentations, incommensurables entre elles et avec le segment tout entier. Le segment s'a|)pelant a et ses segmentations x et /, on a, en effel,

et l'opération ([ui doit aboutir à la plus grande comnnine mesure consiste donc en segmentation de segmentations, tant que manifestement il soit impossible d'en venir à bout.

De cette façon on peut démontrer que et, par conséquent aussi y/à, sont irrationnels. Il est d'aillëiu's probable que Théétète, s'est servi d'un procédé analogue dans une suite de démonstrations particulières de l'irrationalité de \/3,

Maintenant, comme les racines d'équations du second degré, au cas où elles sont incommensurables avec les quantités données, ne peuvent s'exprimer exactement par ces quantités, on comprend que les Grecs n'aient introduit aucune valeur approximative dans leurs investigations exactes, mais qu'ils aient seulement poursuivi l'opération avec les quantités trouvées, représentées par les segments qui résultaient de la construction correspondant à la solution de l'équation : c'est au fond ce que nous faisons quand, au lieu de calculer les raciues, nous nous contentons de les exprimer par des signes de racine carrée, ou autres symboles algébriques, mais toutefois, un segment ayant tout l'aspect d'un autre segment, on ne pouvait arriver avec cette métbode à la clarté de notre

angage algébrique, et il fallut entreprendre une classification des quantités irrationnelles, fournies par solutions successives d'équations du second degré.

C'est ce que tenta, du temps de Platon, Théétètc, dont le travail fut continué par Euclide et compris dans le dixième Livre des Éléments : nous y reviendrons à propos de ce Livre et il nous suffit ici de remarquer que ce Travail devait contenir aussi un examen des cas où une quantité, qui appartient en apparence à une classe, se ramène en réalité à une autre; en d'autres termes, traiter de la simplification de l'irrationalité double.

Nous rencontrons les applications de cette classification dans les cas où l'on veut déterminer exactement des grandeurs qui dépendent de racines carrées, et c'est le cas pour les côtés des polygones réguliers les plus simples comme pour les arêtes des polyèdres réguliers : ïhéélèle s'est particulièrement occupé de cette dernière application qui joue un rôle capital dans les Éléments d'Euclide.

(Cependant, cet Ouvrage omet tout calcul approximatif de nombres, et l'explication en est peut-être qu'un pareil calcul abandonne la détermination absolument exacte à laquelle on visait en Géométrie, mais, d'un autre côté, le fait pourrait bien aussi tenir à ce que les Grecs étaient inliabiles à exécuter les calculs véritables; cette indigence paraît déjà lorsque, par exemple, Hérodote ne peut faire une division juste par l\%, et elle est encore plus frappante s'il s'agit de sortir des quatre règles simples pour calculer, j'imagine, la racine carrée.

Tenons-nous-en donc provisoirement à leurs moyens ordinaires : il est vrai que la numération grecque écrite (dont nous aurons plus tard l'occasion de parler davantage), si l'on s'y exerçait comme nous le faisons pour la nôtre, dès l'enfance, pourrait bien être beaucoup plus pratique qu'on ne se l'imagine tout d'abord. On recourait bien aussi, dans les calculs, à des moyens mécaniques comme les tablettes à calculer munies de divisions, mais, quand il s'agissait de représenter de grands nombres, la numération grecque ne suffisait plus : on le voit à ce fait que, à l'époque même où les Malbématiques étaient à leur apogée, des hommes comme Archimède et Apollonius, dans les écrits desquels un savant mathématicien

ÈQLATIONS QUADRATIQUES NUMÉRIQUES. '\-

(raujoiird'liiii {jourrait encore trouver des théorèmes et des démonstrations qu'il ignore, durent se construire des systèmes spéciaux afin de désigner les nombres de grandeur illimitée; c'est ce que fait précisément Archimède dans son écrit sur le calcul du sable, où il veut donner une idée de l'infinité de la série numérique et suppute combien de grains de sable il peut y avoir dans le monde, si l'on allribue certaines grandeurs à ce monde comme aux grains de sable.

Enfin, ce qui ne plaide encore nullement en faveur des moyens de calcul numérique particuliers au commun des Grecs, c'est que les astronomes ne les estimèrent point suffisants et adoptèrent, avec TAsIronomie des Babyloniens, leur système sexagésimal pour les calculs astronomiques.

Pour le calcul de la racine carrée chez les Grecs, mentionnons d'abord une détermination parliculière de \J2 : on ne la tient immédiatement que d'un arithméticien relativement récent, mais il faut faire remonter cette détermination à une épocjue bien antérieure, car on la trouve établie dans Euclidc, II, 9 (et lo). En outre, la façon dont elle y est établie constitue un type d'application de l'Algèbre géométrique : C étant le milieu, et I) un autre point du segment AB, le théorème 9 dit que

AI)2-l-DB-=2AC2 + 2CI)S

théorème que l'on eût pu démontrer par des transformations de rectangles; mais Euclide le démontre à l'aide du théorème

de Pylhagore appliqué aux triangles rectangles isoscèles, démonstration qui tient sans doute précisément à ce que y/a est

représentée comme l'hypoténuse AB d'un pareil triangle AEB. Z étant alors le point oiî la perpendiculaire à AB en D coupe le côté EB, on a

DB = DZ,

et

AD^^- DZ- = AE^+ EZ^ = 2 AC^-!- sCD^

Pour rendre plus claire l'application de l'équation trouvée, posons

CD=::r, BD==j,

d'où

AD = 2a^-i-j-, AC = a:+j',

et, en désignant les deux dernières quantités par j, et .Xi, on a

L'équation trouvée sert à tirer, d'une solution en nombres entiers de l'une des deux équations indéterminées