LA QUADRATURE DU CERCLE

petit que ladite abscisse : s'il était plus grand, les rayons vecteurs croissant avec 0, il existerait sur la courbe un point

dont le rayon vectciu' serait égal à — et l'on devrait donc

avoir (si, au lieu dos proportions de Dinostrate nouseni|)Ioyons, pour plus de clarté, nos équations et nos signes tiigonomé- Iriques)

— SMl V == y — 6 - =: — -7 '

c'est-à-dire que le sinus, dans le cercle do rayon —y devrait être égal à l'arc correspondant du niénie cercle; si, au contraire, le quotient — était i)lus petit (uie l'abscisse en ques-

tion, il existerait sur la courbe un point d'abscisse — ■> pour

lequel ou aurait

-tang9=y=--,

c'est-à-dire que la tangente, dans le cercle de rayon - , devrait

être égale à l'arc correspondant du même cercle. Dans les

deux cas, les conséquences sont impossibles.

En ce i\\n concerne la teneur de celle démonstration, on

voit que Dinostrate ne se contente pas d'une remar(pie

sin -c; comme celle que nous exprimerions par lim — j— == i, ou [)ar

,. tang'; .,.,,„, , • , ,,

hm — - — =^y, maisqu il prelere tourner la question de I approximation intinie en employant sim[)lement les inégalités

sine < :; < tangc,

qui, du reste, sont toutes deux nécessaires pour détei'miner chacune des deux valeurs limites. J.a façon dont il évite les déterminations directes de limites concorde bien avec ce qui a lieu dans la dénwnstration par c.v/iouslion: Dinostrate n'est-il pas, au reste, le disciple d'Eudoxe qui la découvrit? Nous verrons plus tard que la dépendance entre les varia-

lions des arcs de cercle et des longueurs de droites, représentées par la quadratrice, a servi de fondement à certaines déterminations numériques.

Archimède, lui aussi, dont nous menlionnerons ullérieurementla mesure des cercles, fit des recherches sur des conrhes susceptihles à peu près des mômes applications que la quadratrice, à savoir les spirales dites (ï Archimède (/• z= a 9), qui peuvent servir à la division de l'angle — on le voit au premier coup (l'œil — et, à la quadrature du cercle, qu'Archimède joint aussi bien à la détermination des tangentes qu'à celle des aires de ses spirales. A notre point de vue moderne, il semblerait plutôt employer la quadrature du cercle, ou le nom.bre t:, pour les déterminations que nous venons d'indiquer; mais, en comparant son procédé à l'emploi de la quadratrice, on reconnaît qu'on attachait alors autant d'importance à obtenir par la voie qu'il suit, notamment par la détermination des tangentes, sinon une construction, du moins une bonne détermination géométrique d'un segment de droite qui fût égal à la circonférence du cercle.

La courbe, elle-même, montre à l'intuition d'une façon immédiate et claire la variation périodiciue de ce que nous nommons aujourd'hui les fondions circulaires.