Trisection de l'angle; intercalations

Nous venons de dire un mol de l'application de la quadratrice et des spirales d'Archimèdeà la trisection de l'angle et, outre ces deux procédés, nous allons citer encore deux autres solutions de ce problème, solutions qui, de bonne heure, préoccupèrent les mathématiciens : l'une, dont on ne peut fixer la date, pourrait fort bien être du v siècle, tandis que l'autre, comprise dans leslemmes soi-disant d'Archimède que nous ont conservés les Arabes, date peut-être- d'Archimède. Ces deux solutions se ramènent à ce que nous appelons une intercalation.

1° Soit ABC l'angle qu'il faut diviser en trois parties égales : on lire d'abord AC perpendiculaire sur BC et AE, parallèle à BC; puis, entre AC et AE, on intercale DE = 2 AB, de telle sorte que son prolongement passe en B. F étant

TUISKCTIO.N I)K LA.NCI.r-; i>Tr:KCAi,.\rio>s.

le milieu de l)K, on ;i

L A l{ i" Z AFB - >. Z AEF ^ Z CBD,

par consc(|iieiit

ZCIU) ^'ZCBA.

Fis. 8.

■2" Soit ABC l'angle qu'il laiit diviser en trois parties égales, et un cercle de centre B, coupant les deux côtés et le |)roIongenient de AB au delà de B, en A, C <*t I) : on inter-

Fig. 9.

cale, entre le prolongement de BD et la circonférence du cercle, EF=BC, de telle sorte que son prolongement passe en C. On a alors

Z DEF = l L BFC — \ Z FCB = { Z ABC.

Quant aux deux intercalations exigées pour ces solutions, elles sont, comme le problème posé l'est lui-même, dépendantes d'équations du troisième degré et, par conséquent, ne sauraient se résoudre à l'aide du cercle et de la droite.

Bemarquous ici que la Géométrie grecque ramène souveni une construction à une intercalation sans dire au juste comment s'efïectue cette opération : c'est le cas qui s'offre à nous dans le fragment cité d'ïlippocrate, et Archimède en son Ouz. 5

vrage sur les spirales ramène d'autres problèmes à l'intercalalion même par laquelle fut effectuée cette trisection de l'angle que nous lui attribuons. Serait-ce là le signe qu'il y eut un temps où l'on admettait l'intercalation comme moyen de construction immédiatement applicable aux constructions géométriques, en plus de la règle et du compas? On entend ici par intercalation, en général, la construction d'un segment de droite dont les extrémités soient situées sur des lignes données et qui passe, lui-même ou son prolongement, par un point donné, segment que l'on peut, sans grande difficulté, obtenir mécaniquement au moyen d'une règle (ou d'un morceau de papier plié) sur laquelle on a fait préalaijlement deux marques à une distance égale à la longueur du segment donné, puis en faisant tourner cette règle autour du point fixe et la déplaçant en même temps de sorte que l'une des marques suive exactement l'une des lignes données : l'on continue ce mouvement jusqu'à ce que l'autre marque se trouve sur la deuxième ligne donnée.

Mais, à cause du but théorique que les Grecs avaient en vue dans ces constructions, ils ne se contentèrent pas longtemps de ce procédé mécanique facile et comme, en outre, afin de commettre le moins d'hypothèses possible, il ne fallait admettre que le minimum de moyens de construction possibles, on abandonna bientôt l'exécution directe des intercalations dans tous les cas où elles ne se pouvaient faire par la règle et le compas, seuls moyens de construction reconnus parEucIide dans sqs Éléments. C'est alors, peut-être, un usage plus ancien de l'intercalation mécanique qui a provoqué les deux Livres écrits sur la matière par Apollonius et dans lesquels, comme nous le savons d'après Pappus, il traitait de l'exécution des intercalations à l'aide de la règle et du compas : sans doute voulut-il ainsi suppléer à la lacune des œuvres antérieures qui ramenaient des problèmes aux intercalations sans en donner le mode d'exécution.

Pour les intercalations qui se font, non au moyen de la règle et du compas mais en employant les sections coniques, il devint obligatoire, à partir d'une certaine date, de recourir à ces courbes, obligatoire, par conséquent, de ne plus se contenter du procédé mécanique; et, que ce ne fut qu'après

DUPLICATION nu CLDE. 67

Vrchimède qii<> cette nécessité s'im[Josa, on ne le petit nullement conclure en pleine assurance du fait que ce dernier se contente de lauiener ses problèmes aux intercalations, sans rien dire de leur exécution, car l'usage ancien du procédé mécanique aurait bien pu provoquer avant lui, pour l'exécution de l'intercalation par les sections coniques, la création de règles constantes qu'Archimède pouvait considérer comme connues : Pappus nous a renseigné, en tout cas, sur la manière dont on peut exécuter par les sections coniques les intercalations mentionnées par Archimède.

Quand les intercalations ne se ramenaient pas, ou même ne pouvaientse ramener, ni à l'usage du compas et de la règle ni à celui des sections coniques, une investigation ibéorique de l'intercalation même devenait nécessaire, et la meilleure mélbode était alors d'établir une définition et, basée sur celte définition, une investigation de la courbe que parcourait l'une des extrémités du segment donné, dans le procédé mécanique ci-dessus exposé, à savoir l'extrémité qui n'est pas reliée à l'une des lignes données : on résout alors le problème de l'intercalation au moyen des points d'intersection de cette courbe avec la deuxième ligne donnée. Une pareille investigation fut d'ailleurs entreprise par Nicomède, après l'époque d'Archimède, pour le cas où la première des lignes données est une droite : la courbe décrite alors se nomme conchoïde et Nicomède imagina, de plus, un appareil pour décrire cette courbe mécaniquement — l'emploi de cet appareil coïncide à peu près avec l'exécution mécanique d'une intercalation, ci-dessus exposée.

De quelque manière qu'on ait effectué l'intercalation, celte méthode de trisection de l'angle que nous avons attribuée à Archimède, sous toute réserve, a joué, par la suite, un rôle important dans les Mathématiques, et c'est notamment sur elle qu'est basée la solution que donne Viète pour les équations du troisième degré dans le cas dit irréductible.