Duplication du cube

T*armi les problèmes qui dépendent, sous leur forme algébrique, d'équations du troisième degré et que, postérieure-

ment, ranliquité résolut par les sections coniques, la trisection de l'angle ne fut pas le seul auquel on s'attaqua au v^ siècle, et celui qui représente la forme géométrique de l'équation cubique pure, en d'autres termes la duplication ou multiplication du cube, était plus important encoic.

On appelle parfois ce dernier problème problème délien, à cause d'un oracle qui aurai! prescrit de donner à un autel de forme cul)ique, dans l'île de Dèlos, une grandeur double, sans en changer la forme; — en cette occasion, la Pythie ne pourrailelle pas, avoir été inspirée par les mathématiciens plus que par son dieu? Comme on l'a déjà dit, on avait, en Algèbre géométrique, transformé les produits de deux facteurs en général, et les expressions du second degré composées avec elles, en rectangles et en opérations de surfaces et, connexement, remplacé l'extraction de racine carrée par la transformation d'un rectangle en carré, problème que les pythagoriciens avaient sans doute résolu.

Il était tout naturel de passer de ces problèmes plans aux problèmes solides correspondants : on avait dès lors à représenter un produit de trois grandeurs par un parallélépipède et à remplacer les opérations relatives à des expressions du troisième degré par des opérations sur des figures solides. A côté de choses aussi simples que l'introduction d'une arête ou d'une base nouvelle dans un parallélépipède, et de leur application à l'addition et à la soustraction, ou que la iransforination d'un parallélépipède à base rectangulaire en un autre à base carrée, le problème ayant ])our but de changer un parallélépipède en un cube devait s'imposer forcément comme la question des racines cubiques se présente à un algébriste moderne après celle des racines carrées : la première racine cubique irrationnelle étant y2, la duplication du cube fut le premier type des problèmes que nous voulons ici désigner, et ce problème, i»our lui-même et pour les difficultés nouvelles qu'il comportai!, devait éveiller un grand intérêt chez les mathématiciens.

La première contribution à la solution de cette question que nous trouvions mentionnée est attribuée à Ilippocrate et, de même que la transformation d'un rectangle en carré repose sur la construction d'une moyenne proportionnelle, le

TM'PI.ICATION Dl Cl DE. 69

prol)lème de la duplicalion du cube (donc, probablement, aussi, le problème un peu plus général du cliangement du parallélépipède en cube) est ramené par lïippocrale à cet autre : déterminer deux moyennes proportionnelles. En eiïel, le parallélépipède élanl déjà cbangé en un autre a-b, à base carrée a- et de bauleur A, et ce dernier devant à son toui' être changé en un cube .r'-'. on détermine ,r par les proportions

Que cette transformation soit, (lu non, atlribuablc à Hippocrate, toujours est-il (pi'après lui le problème délien se présente ordinairement sous la forme suivante : DcLerminerdeux moyennes propuriionnelles .v et y aux segments donnés a et b. La |)remière des nombreuses solutions (lue donna l'anti- (piilé poiH' ce pioblème est due à Arcbytas : pour la bien comprendre, rappelons-nous qu'il s'agit de construire une ligure composée de deux droites OYA et OBX, entre les-

l'ii;. 10.

<|uelles doit être tracée la ligne brisée AXYB, de telle sorte i|ue XY soit perpendiculaire sur la première droite, AX et YB perpendiculaires sur la seconde, ()A et OH ayant une longueur donnée; en etlet, OX et OY sont alors évidemment les deux moyennes proportionnelles entre OV et 0!>, et l'on (onnail ainsi le diamètre OA d'un cercle sur lefjuel doit être situé \. mais non le diamètre OY d'un cercle sur lequel est situé H.

Arcbytas cherche à introduire ce dernier cercle comme cercle de section de la sphère dont le diamètre est OA; OB étant donné, le point B sera situé sur une section plane de

celte sphère, la ligne OB et, par suite, le point X seront situés sur le cône de révolution qui a pour directrice ce cercle de section connu. Si, maintenant, on essaie d'obtenir la position voulue par rotation delà figure autour de la perpendiculaire OC élevée dans son plan, en 0, sur OA, la projection Y du point X sur le plan parcouru par OA décrira un grand cercle et, par suite, la ligne XY une surface de cylindre sur laquelle sera également situé le point X; mais, pendant la relation, X devant se maintenir sur le cercle de diamètre OA, il doit être situé sur la courbe que ce cercle, dans son mouvement, décrit sur la surface du cylindre, c'est-à-dire en réalité sur la ligne de section de la surface du cylindre avec le tore engendré parla rotation du cercle autour de sa tangente en 0 : on détermine alors le point X au moyen de l'intersection de cette courbe cylindrique et de la surface de cône indiquée ci-dessus, et cette détermination est la solution même du problème.

Cette solution, sans doute, ne fut guère appliquée à une détermination pratique, et ce qui l'indique c'est, entre autres choses, cette circonstance qu'il n'est point parlé de la génération réelle de la courbe gauche, le tore qui sert à cet objet n'étant, en effet, qu'une explication que nous avons interpolée; Archytas étant sûrement à même de reconnaître que, par essais successifs, on obtient de plus faciles et de plus exactes déterminations de AX et de AY, on voulait donc bien une détermination théorique qui pût servir à d'autres investigations où interviennent des racines cubiques. Cependant, pour que celte détermination, ainsi entendue, fût véritablement satisfaisante, il faudrait admettre qu'Archytas ait déjà connu la courbe gauche employée ou, du moins, ce qui est difficilement admissible, des méthodes permettant d'en trouver les propriétés.

Malgré tout, sa solution est pour nous d'une grande valeuicomme preuve directe de ce dont il était capable. C'est guidé, en effet, par la pensée que le cercle est applicable à la solution du problème plan correspondant, qu'il a abordé cette autre question, alors bien connue : il recherche si la sphère, parallèlement, ne saurait servir à la solution du problème solide proposé, et il exécute cet essai avec la nette

DIPLICATION I)L' CinE. 71

inlellipence des roppoi Is d'espace (pi'il icriconlre; bien |)Ius, il no l'ccule iiièiiie pas devant l'iiiliodiM iioii d'une couil)e (|ii'un certain cercle, dans son mouvement, décrit snr un cylindre. Outre la fernieté des déductions, sa construction lémoigne qu'il était assez familiarisé avec l'application des lieux f^éomé- Iriques à la détermination de points pour tenter de l'étcndrcî à l'espace, et l'on se trouve de la sorte en droit de conclure que, à ré|)oquc d'Arclivtas, la Géométrie dans l'espace el l'emploi des lieux géoniéiriques, au moins dans le plan, avaient atteint déjà un degré de développement fort notable.

On rap|)orte (ju'Eudoxe, disciple d'Arcli.ytas, employa d'autres courbes pour résoudre le même problème, et il put être conjecturé que ces courbes étaient les projections des courbes d'intersection des trois surfaces réellement employées dans la construction d'Archytas.

Ménechme, disciple d'Eudoxe, trouva à son tour le procédé qui servit après lui dans l'antiquité grecque pour résoudre ce problème, ainsi ([ue beaucoup d'autres : Xa^ sections coniques. D'après des écrivains postérieurs, ce serait lui, en elfet, qui auiait déterminé les deux moyeiuies pi'0[)ortionnelles entrer/ el (^ comme étant les coordonnées r et/ du point d'intersection des courbes exprimées par deux des équations «y =:x-, bx^y"^, xy^^ah; de plii'^, il aurait montré comment ces courbes, qui sont deux paraboles et une hyi^erbole, sont stéréométii(|uement représentables comme sections de cônes de révolution : nous reviendrons d'ailleurs sur ces déterminalions lors(iue, plus avancés dans notre étude générale, nous pourrons traiter uniquement le développement de la tbéorie des sections coniques.

Mais il nous faut encore ici parler, en passant, des autres moyens que l'on continua de découvrir ultérieurement [)0ur la construction des deux moyennes proportionnelles : on imagina différents instruments mécani(|ues pour la construction d'une figure contenant, comme la fig. lo, des triangles sem- Itlables à l'aide desquels la relation demandée s'effectue directement; un de ces instruments est attribué à Platon, un second à Eratosthène, el puisque aucun de ces appareils n'eut d'importance réelle quant au développement des Matbématiques, nous nous épargnerons de les décrire, eux el l'usage

J2 LES MATHÉMATrQUES GRECQUES.

(|u'<)n en faisait, en nous contentanl de l'aire remarquer que ces appareils devaient inciter Descartes à en imaginer également un, ([u'il décrit dans sa Géométrie.

La construction des deux moyennes proportionnelles fut encore ramenée à une intercalation par Nicomède; mais la construction qui lui sert tians celle opération est loin d'être aussi simple que celles qui sont employées pour la trisection de l'angle.

10. — Théorèmes et problèmes; sens et portée de la construction géométrique.

Nous avons d'abord parle des i)rinci[)ales conceptions et méthodes, nées au v" siècle, développées par la suite dans les Mathématiques grecques; nous avons doimé, en citant certaines investigations particulières, des exemples de ce que ces Mathématiques contenaient alors de réel : à mesure qu'on progressait, on ressentait le Ijosoin ûq formes plus constantes et plus siu'es, qui s'accordassent avec les conceptions acquises en les affermissant encore davantage, et capables aussi de s'élargir |)oui' eudjrasser les nouvelles acquisitions sans cesse accrues.

L'œuvre de l'école |diilosophique de Platon et de l'école mathématicienne dEudoxe consista précisément à élaborcices formes, à les discuter en controverses.

Connue exemple d'un pareil travail, nous pouvons citer une discussion sur la question de savoii- jusqu'à quel point les vérités mathématiques peuvent se présenter comme théorèmes, jusqu'à quel point comme problèmes : le parti des théoièmes était soutenu par les platoniciens qui s'appuyaient sur ce que la solution d'un problème n'établit (|u'une chose existant déjà préalablement — ainsi les triangles équilatéraux existent indépendamment du fait qu'on les construit ou non, et l'on ne peut en construire un que parce que l'idée de triangle éfjuilatéralu une existence réelle antérieure à toute consti'uction ; pour les disciples d'Eudoxe, que Ménechme représente particulièrement à celte occasion, l'objet essentiel était dans la manifestation des vérités mathémalif|ues par construction sur les figures ou, du moins, par investigation.

Tiifioid:MEs i:t l'itoriiJiMES. 7->

l'^ii ai)[)arenco, nnciin des [lailis ne vîiiriquit l'autre, piiisf|nc lliôorèmes et proljlèmes voisiiieiil dans les Elémenls d'Kdclidc, mais rcxaiiieii de ce i|ui caraclérise roiKièi'emeiit les lliéoièines et les |)robièiiies seia hi-aiicouj) plus iuiportant, et fut à peu près exprimé, i)lus lard, de la manière suivante : dans le lliéoième, on alïirme ce (jui est unifpie connne possible; dans le problème, un cberclie ce qui est snsce|)lible d'être aulre. C'est à ces caractères cpie l'on doit distinguer si une vérité doit èlre exprimée sons une ou l'aiilre forme, de sorte tpi'il sérail faux, par exemi)le, de poser en problème : Inscrire un angle droit clans un demi-cercle.

De telles distinctions verbales importent toutefois beaucoup moins que le rôle joué par les tbéorèmcs et, en particulier, par les problèmes, dans les écrits (|ui nous sont parvenus, notamment dans les Éléments d'Euclide; peut-être, aussi, ce rôle nous fail-il saisir le point de vue défendu i)ar Ménechme et, cela, mieux (pie lous les renseignements possibles. D'après ces renseigncMneiits, en effet, les platoniciens faisaient valoii- que le triangle équilatéral existe antérieurement à sa consiruction ; au contraire, Ménecbme prétendaii sans nul doute que l'on n'apprend son exist(;nce réelle qu'en le construisant, et (Mi y joignant la démonstration que cette consiruction aboutit véritablement au but (pi'elle vise. C'est d'ailleurs ainsi ([ue procède Euclide : il ne se contente pas de délinir les triangles équilatéraux, mais, avant d'en faire usage, il s'assure de leur existence en résolvant, dans la [iremière proposition de son premier Livre, le proldème par lequel on construit ces triangles; jinis il démontre la justesse de c(Hte construction.

\a\ nécessité d'un tel procédé se fera d'autant mieux sentir, d'elle-même, qu'il s'agira d'employer ensuite les triangles équilatéraux à de nouvelles constructions, mais il faut remarquer qu'Euclide procède de cette manièie, même avec des objets qui, par la suite, ne devront être employés que pointa démonstration d'un théorème : avant de se permettre (LJv. I, i6) d'employer le milieu d'une ligne droite, il lui faut d'abord avoir démontré (Liv. I, lo), en le construisant, (|ue ce point existe réellement; même procédé pour tous les cas semblables.

^4 l'ES MATHÉMATIQUES GRECQUES.

Lnvaleiir essentielle de la constiuction géomélrique réside en ce quelle doit servir à démontrer que cela même, à la détermination de quoi la construction aboutit, existe réellement.

Il se peut que Ménechme soil le premier qui ait l'ail pleinement sentir cette signification des problèmes géométriques, résolus par construction, mais on en avait déjà conscience avant lui : l'Algèbre géométrique en est la meilleure preuve. Après avoir trouvé qu'il n'existe ni nombre ni rapport numérique (fraction) qui, multipliés par eux-mêmes, donnent 2, et lorsque, au lieu de rechercher un tel nombre, on cherchait un segment qui fût le côté d'un carré double du carré élevé sur un segment donné, il fallait démontrer tout d'abord l'existence d'un pareil segment, et c'est précisément ce que l'on fait en le représentant par la diagonale du carré élevé sur le segment doiuié.

La solution des équations générales du deuxième degré, à l'aide d'une construction, prend une signification semblable; et ce n'est qu'en tenant compte de cette conception générale que l'on comprend parfaitement le besoin ressenti de posséder une solution, par construction, poiu- la quadrature du cercle, la trisection de l'angle, la duplication du cube ou la détermination de deux, moyennes proportionnelles. Sans cela, en effet, on ne saurait absolument pas comprendre que des solutions impropres à l'usage technique, comme celle de la quadrature du cercle par la quadratrice ( ' ), ou comme la détermination par Archylas de moyennes proportionnelles, aient pu, en quoi que ce soil, satisfaire l'esprit grec : cette môme conception, d'ailleurs, nous livrera la clef de quelques autres circonstances encore dans la Mathématique grecque.

Dans certains cas, au reste, nous comprenons assez bien cet emploi des constructions, et c'est le cas, notamment, si un problème, posé d'une manière tout Ix fait générale, n'est pas

(') Cet exemple n'est peut-être pas tout à fait typique comme l'est le suivant; la preuve que la quadratrice coupe le diamètre axial en un point déterminé était en effet assez incomplète; d'autre part, la quadratrice, tracée par points, une fois pour toutes sur calibre, a pu réellement être employée pratiquement pour la division de l'angle dans un rapport donné (T).

MÉTHODE AXALYTIQLi;. ']')

toujours possiljle mais exige, pour l'être, certaines coiulilions particulières; en pareille occuirence, les écrivains grecs commencent par prouver la nécessité de ces conditions en démontrant un tliéorèmc (|ui dit que la figure en question possède toujours les proprùUés exigées par les conditions de possibilité : ils démontrent ensuite que ces conditions nécessaires sont en même temps sujjlsanles, par l'intermédiaire d'un problème (jui indique, les conditions étant rem[)lies, comment on peut construire la ligure — et démontrant que la ligure est alors réellement établie. Le premier exemple de ce genre que nous possédions se trouve cliez Euclide I, 20 et 22 : la première proposition comporte le théorème qui ditfiue chaque coté d'un tiiangle est plus [)etit (juc la somme des deux autres; la seconde proposition renferme le problème : construire un triangle pour lequel les côtés donnés satisfont tous trois à cette condition.

11. — Méthode analytique: forme analytique, synthétique d'exposition.

La plus importante des contributions, apportées à la forme des Mathématiques par les écoles d'Eudoxe ( ' ) et de Platon, et qui donnèrent à ces Mathématiques la physionomie qu'elles ont dans Euclide et les mathématiciens grecs postérieurs, est certainement la création de la méthode dite apagogiqae ou analytique, et des formes iM Analyse et de Synthèse grâce auxquelles on s'assura, non seulement des résultats solides, mais encore une irréprochable exposition de ces résultats.

La méthode analytique trouve une application immédiate dans la solution des problèmes; aussi, en parlerons-nous tout d'abord.

Nous croyons, cependant, que la signification logicjue des règles établies, pour trouver et exposer la solution, se comprendra bien mieux si, momentanément, nous abandonnons le domaine des Mathématiques grecques pour parler d'une façon très générale de la solution analytique des problèmes,

(') Les apports réels de l'école d'Eudoxe sont, d'ailleurs, plus importants poulies Mathématiques que cette contribution à \e\xr physionomie.

en élucidant leurs applications par des exemples emprunlés à des problèmes et à des ressources tout autres que ce dont disposaient les Grecs. Je veux indiquer, par là, et conlormément à ses origines, l'usage conséquent qu'on peut faire on Mathématiques des mots Analyse et SyiuJicse, analytique et syniliPtique, usage que l'on devrait bien adopter pour faire <esser la conlusion moderne, causée par l'exclusive applicalion du mot analyse à l'analyse algébricjiie.

Un problème mathématique a pour but de trouver des qiuintités ou des figures qui satisfassent à certaines exigences. Dans la solution, on peut souvent deviner, en (pielque sorte, on se basant sur des analogies avec d'antres problèmes, et l'on ne saurait nier que c'est par celte voie qu'on est peutêtre parvenu tout d'aljord à d'importants résultats; mais, malgré son excellence, une telle divination n'est pas une méthode proprement dite : dans tout traitement méthodique, il importe dV/«r//). ce/- les contlitions posées, et il faut en premier lieu les avoir bien clairement à l'esprit, ce à quoi l'on parvient en se les imaginant rem|)lies, donc en s' imaginant le problème résolu; il s'agit ensuite, par un moyen quelconque, selon des règles que nous tcuions de problèmes analogues au problème traité, ou que nous inventerons nous-mêmes, de transformer les conditions à remplir en d'autres qui seront remplies nécessairement si les premières le sont, et de pousser cette transformation jusqu'à ce que l'on arrive, enfin, à des conditions auxquelles ou sache satisfaire.

On trouve, par cette analyse, comment le problème doit se résoudre, s il est soluhle.

La synthèse consiste ensuite : d'abord, à réaliser cette solution, c'est-à-dire à déterminer les quantités et les figures cherchées de manière à satisfaire aux conditions requises et transformées; après q(mi, il faut encore démontrer que les conditions primitivement posées sont, elles aussi, satisfaites. A défaut de procédé plus simple, celte démonsi ration s'opère, en règle générale, par une transformation des conditions selon un ordre inverse de celui qu'on observait dans l'analyse, de manière à conclure que, les conditions nouvelles par lesquelles on a remplacé les premières étant remplies, celles-ci le sont aussi nécessairement \)nv là môme. On peut omettre

MÉTHODE ANALVTIQIE. 77

(;etlc démonstration, -ou bien on l'a iJéjà lou le faite dans l'analyse, — si l'on no s'est servi (|tie de transformations réversibles, de sorte (]iie les nouvelles conditions re(|uises soient les conditions., non seidenient nécessaires, mais snClisanles des premières; autrement, non.

Nous prendrons pour exemple la solution de problèmes par équations algébri(|ues : on introduit des dénominations pour les quantités inconnues, et l'on fait efttrer ces dénominations, absolument de la même manière (pie les désignations de quantités conum's, dans les équations (|ui expriment les conditions posées; puis on imagine ces équations satisfaites — donc le problème comme lésolu.

La Iransformatiou prèmeutioiuiée tics conditions est alors représentée par la transformation ûe^ équations, jusqu'à ce que l'on j)arvienue à de nouvelles é([ualions qui puissent fournir la solution : en riéométric anal\ li(|ue ( ' ), par exemple, on l'orn)e de cette façon les équations de lieux géométriques; qui permettent de résoudre le problème. Si l'on applique l'analyse à des problèmes ayant pour but de trouver les valeurs d'inconnues, les équations transformées seront celles mêmes où les inconnues sont isolées, et, pour nous en tenir à ce dernier cas, la syntbèse consécutive à l'analyse consiste alors :

1° dans le calcul réel des quantités données par les expressions trouvées, y compris leur transformation selon des règles déterminées ; par exemple leur simplificalion, leur réduction à l'irrationalité simple, etc.;