dans une vérificalion de ces (pianlités

Cette vérilication se l'ail, en règle générale, par substitution directe, mais on peut aussi l'exécuter, conformément à ce qui a été dit plus baut de la démonstration synthétique, en remontant pas à pas et dans l'ordre inverse, les équations employées; et il ne faut pas croire qu'une telle démonstration soit

Cj Nous otuf)loierons la désignation do Géométrie anahlique dans le sens ordinaire, sans tenir compte de ce que la Géométrie puie peut aussi bien prendre la forme analytique, et de ce que l'on peut aussi bien opérer synthétiquemont avec les moyens de calcul auxquels ou a coutume de donner exclusivenifiut le nom de Gconivtne analytique.

•jS LES MATHÉMATIQUES GRECQUES.

rendue inutile pyr l'analyse qui l'a précédée : on le voit dans des cas oi^i l'on a fait disparaître un radical par élévation à une puissance, car si cette expression était une des valeurs de la racine, par exemple la valeur positive d'une racine carrée, on sait bien alors qu'on peut introduire des solutions étrangères. Alors, au lieu d'une démonstration de la justesse, l'épreuve donnera une démonstration de l'inexactitude de ces dernières racines trouvées : l'analyse, seule, peut donc introduire des solutions étrangères.

Si la solution est préalablement connue, on peut se contenter de la donner synthétiquement, elle et sa démonstration, mais il est, à cela, un autre inconvénient : le problème étant, par exemple, celui de l'équation

.r^ — ax -i- h =^ o,

ou un problème qui, ramené à une équation, s'exprimerait ainsi, on peut écrire par synthèse

=lWiÏÏ-^'

et entendre, par le symbole de la racine carrée, la racine carrée positive; mais si l'épreuve, ou la démonstration synthétique, prouvent alors que cette solution est juste, on ne voit pas cependant si elle est la seule juste.

Ce qu'on vient d'établir touchant la solution algébrique peut s'exprimer de la façon générale : la seule analyse peut donner trop de solutions, la seule synthèse peut en donner trop peu.

Cherchons encore en quel point du traitement complet se présentent les conditions de possibilité.

On les ratlache ordinairement aujourd'hui tout à la fin de la solution formelle, que l'on discute seulement alors : dans l'exemple donné ci-dessus, on conclut de l'expression trouvée

que, pour que x soit réel, ( - j doit être '^ b, mais une telle

discussion n'est possible qu'en admettant, sous les dénominations de quantités négatives et imaginaires, des quantités

MÉTHODE AXALVTIQLK. 79

(jui n'élaiciil pas oiigiiicliemcnt attendues comme solutions; car, sans ces nouvelles espèces de grandeurs, on trouverait bien plus lui la (condition de possibilité, au cours de l'analyse.

Si, par exemple, on a dédiiil, de réf[ualioM ci-dessus, que

l'on n'en saurait conrliire

ïl

((ue si ( - . ib puisque, autrement, le membre de droite n'a

aucun sens.

On déduit donc, si l'on veut, de l'analyse les conditions de |)ossibilité aussi bien que la solution, mais on peut, pour elles comme pour celle-ci, se contenter d'une exposition purement syntbétique.

Les (irccs ai)|)li(iuaient la métbode de solution, que nous venons d'exposer, aux problèmes g-éoniétrif/aes, dans lesquels il s'agit notamment, comme nous l'avons vu, de trouver une construction, soit réelle à l'aide de la règle et du compas, soit formelle. Tant que l'on cherclie mcthodiquenicnt la solution de pareils problèmes on doit, d'après nos remarques générales, les traiter par l'analyse, genre de traitement qui devait être usité déjà jtar les pythagoriciens pour la solution géométrique des équations du second degré : cependant, il se peut que la méthode ait été plus ou moins consciemment appliquée car, comme cela s'est vu souvent dans l'histoire des Mathématiques, employer défait une méthode n'est pas identique à l'élucider pour soi-même au point de savoir s'en servir chaque fois que le besoin s'en ressent et, encore moins, l'établir de telle façon qu'autrui la puisse utiliser.

La détermination que fait Archytas de deux moyennes proportionnelles revient à une construction qui fut évidemment trouvée par la méthode analytique. Archytas, en effet, n'avait pu deviner l'application de la courbe cylindrique, qui jusque-là lui était inconnue, et ce dut être exclusivement

8o LES MATIIÉMATIQLES GRECQUES.

l'application de l'analyse qui le conduisit à introduire cette courbe absolument comme lorsque, dans une investigation de (réométrie analytique moderne, un lieu géoméirique, qui intervient pour la solution du problème, se manifeste sous l'aspect d'une courbe sur laquelle on ne savait rien auparavant, et qui se définit cependant par l'équation résultant de l'analyse.

L'emploi de iieit r géoDU'triques. el la détermination même de ces lieux, présentent donc un autre exemple des applications de la mélbode analytique qu'il faut faire remonter jusqu'aux pythagoriciens, mais ce fut avec les écoles fondées par les successeurs d'Arcbytas, Platon et Eudoxe, que cette méthode même atteignit à la lorme ([ui, dans la suite, se maintint usuelle chez les mathématiciens grecs.

La méthode, en son application, et l'exposition des résultais acquis de la sorte, consistaient en une série de termes dont l'exposé se rattache très facilement à lapplicalion elliptique de surfaces prise pour exemple (p. Sj); mais nous allons exprimer ici les , divers termes un peu plus brièvement que ne l'eussent fait les anciens.

1° Le problème se pose dans la protasc (::p6TX(7iç) : appliquer, à un segment donné, une surface donnée, de telle sorte qu'un carré fasse défaut.

?/• Le problème se rappoile, dans l'ecthèse {lyJitn'.z), à une figure tracée, et s'exprime : ap|>liquer, sous forme de rec-

langle, au segment AB le carré (tracé) y, de telle sorte qu'il manque un carré.

; " Dans l'apagoge, ou transformation ( à-aytoY"//) , on suppose le problème résolu (au moyen du rectangle AM, qui laisse manquer le carré BM) et on le ramène de la manière sui-

MÉTiroDr: anai.ytiqi r.. 8r

vaille à un problème coiimi : (1 rtaiiL le milicti de AI*, on pince le rectangle KC sui' i)B — cl l'on a DE.

Le rectangle \M se transforme ainsi en un gnomon, ou bien en la différence des carrés Ciî^ et CI)'; le segment CI) doit donc être déterminé de façon que ce gnomon soit égal an carré q.

4° Dans la icsoliilion. on exaniine jnsfpi'à (|uel point on est en possession réelle de tout ce que nécessite la solution du prohlènK» posé : cela n'a lieu, dans le cas présent, que si 7, (jui doit êlie juste aussi grand qu'un gnomon pris sur le carré CB-, est au plus égal à ce carré.

Ceci étant remarcpié, on s'aperçoit pourtant qu'il manque quelque chose au problème posé, car il est de régie, en efl'et, du moins dans ce (pii nous fut transmis d'Œuvres malliématiques, que les problèmes soient posés avec une limitation telle qu'on les puisse résoudre : on obtient donc, au lieu du |)roblème que nous avions essayé de poser ici, d'une part un théorème, d'autre pari un problème plus limité.

Le théorème (qu'on trouve sous une forme un peu ])lus générale dans Euclide, VI, 27) a pour but de démontrer qu'un rectangle, appliqué sur un segment de manière que manque un carré, est inférieur ou égal au carré élevé sur le demisegment; ou bien, si l'on veut, (pi'un rectangle est moindre qu'un carré de même périmètre.

Le problème (qu'Euclide traite sous luie forme plus générale, VI, î>8) est le même que celui dont nous avons ici tenté la solution, mais avec cette addition, cependant, que le carré donné doit être au plus égal au carré élevé sur la moitié du segment donné.

Cette addition à la {irolase s'apjielle iUorisme (o-.oc-.'jy.o;), ou délimitation du problème; aussi faut-il, dans l'eclhèse, à propos des figures données, énoncer qu'elles satisfont à la condition (//^CB-). Grâce à la délimilalion, que nous supposons introduite ainsi dans la protase et dans l'eclhèse, la résolution, comme nous le verrons, devient absolument superflue; en etTel, si l'on essaie de résoudre le problème, on réussira, et la résolution se confondra avec ce que la synthèse nous apprend, par la suite, touchant la façon de le résoudre; si, au contraire, au lieu de considérer la forme z. 6

SOUS laquelle les auteurs des Ouvrages conservés nous communiquent des résultats prèls, nous considérons l'application de la méthode à de nouvelles recherches, la résolution doit alors avoir joué un rôle important. En effet il fallait, au cours de l'analyse, vérifier constamment si l'apagoge était |)oussée suffisamment loin pour qu'il fût possible de résoudre le problème; mais, en dehors décela, la résolution était un moyeu d'atteindre à ce que nous avons déjà (p. -5) qualifié comme étant le but principal du traitement des problèmes, à savoir la décomposition du problème primitif dans le théorème et le problème par lesquels on s'assure que les conditions d'existence de la figure demandée sont respectivement nécessaires et suffisantes.

Ce à quoi l'on arrive, tant en général que dans l'exemple proposé, c'est à la détermination d'un maximum ou d'un minimum.

Un autre résultat de la résolution devait être de donner le nombre de solutions possibles : ainsi, dans le cas présent, il est à remarquer qu'à la condition que CD- soit la grandeur juste, peu importe que D tombe de l'un ou de l'autre côté de C, circonstance à laquelle, tout en découvrant la valeur maximum de q, on a pu prêter attention; toutefois les Grecs, pour qui la construction était surtout un moyen de s'assurer que In figure existait, n'attachèrent pas à ce fait d'importance particulière. Comme, en d'autres cas, la multiple signification d'un problème repose sur celle des problèmes auxquels il se ramène, si elle passe inaj^erçue dans ces derniers, l'analyse du premier ne la fera pas remarquer davantage, ce pourquoi l'on fut obligé de faire de certains cas, dans lesquels cette signification multiple semblait être aux Grecs de quelque importance, l'objet d'une investigation spéciale.

La transformation et la résolution constituent V analyse au moyen de laquelle on trouve la solution ; et la solution trouvée est ensuite exprimée dans la synthèse, qui comprend :

5° La construction (/.aTaTxs'j/i) par laquelle on réalise l'objet des recherches à l'aide des procédés de construction reconnus. Il n'est pas question, toutefois, de nommer toutes les particularités, mais bien d'indiquer seulement les constructions antérieurement connues dont on composait la construc-

MiVrUOME ANALVTIQir.. 83

tion cherchée: (hMermiiiation, dans noire exemple, de CD \mw le ihéoi'ème de l*v(hagore, etc. La consirnclion n'est donc, avec une légère variante de forme, que la répélilioii de ce (ILi'on a dit dans la résolution.

Notons encore que la construction, dont l'invention était pourtant, naturellement, la difficulté capitale de la recherche, n'est après tout qu'un des termes du traitement pris dans son ensemhle, ce qui s'accorde hien avec le hut déjà mis on relief de la solution des problèmes pour démontrer l'existence des figures qu'il fallait construire, but qui apparaît encore dans l'exposition des constructions. Cette forme d'exposition est absolument la même, comme nous l'expliquerons bientôt, que celle employée pour la construction des figures qui aident à démontrer les théorèmes : on dit toujours, à Vimpcratif parfait, que ce point ait été pris, que cette ligne ait clé tirée; les constructions sont donc comme les hypothèses d'une science ou d'une intelligence, et ne constituent pas, i)our exécuter le problème, des règles aussi catégoriques que nous ne les entendons aujourd'hui pour faire les solutions de nos problèmes de construction. La transition à cette dernière conception est déjà, du reste, dans les traductions latines qui propagèrent dans l'Europe moderne la connaissance de la Géométrie antique : dans ces traductions, en elTet, on ne pouvait rendre rim[)ératif parfait que par le ?,\ih]onc\\{ présent : « Que ce point soit pris, que cette ligne soit tirée », ou : « Qu'on prenne, qu'on lire. . . ».

6° Ensuite on démontre {démonstration, à-ciost;-;) que la construction a véritablement établi la figure demandée, démonstration qui s'opère, régulièrement, en employant les mêmes déductions que dans la transformation, maison ordre inverse. Ainsi, dans notre exemple, on forme le rectangle A]M, avec le gnomon, en plaçant le rectangle DE sur AC.

7'^ Enfin, dans la conclusion (luij.r.ioy.aiJ.T.), on affirme avoir véritablement atteint le but demandé; ce qu'on fait en reprenant la protase. avec la formule du début : « donc. . . », etc., et la formule de conclusion : « ce qu'il fallaU faire ».

Tandis que l'analyse, comprise dans les n"^ 3 et 4, c'està-dire dans la transformation et la résolution, est méthodiquement importante pour découvrir la solution, elle n'est

plus nécessaire dès qu'il ne s'ogit que d'exposer d'une manière inattaquable ce qu'on a trouvé, ce qui l\it toujours le iMiucipal but des écrivains grecs. On l'omet donc très souvent, de sorte que l'exposition ne consiste plus qu'en l'emploi des paragraphes numérotés 1, 2, 5, C, 7 ; on obtient ainsi une forme que nous qualilîerous de syntlirtique.

Cette forme synthétique s'emploie notamment pour le traitement systématique de toute une théorie dont les constructions étaient préalablement plus ou moins connues des auteurs, ou furent trouvées par eux et constituées en système comme dans les ÉUmcnla d'Euclide, ou dans la majeure partie de la théorie des sections coniques d'Apollonius. Du reste, les endroits où lauteur expose également l'analyse n'y gagnent guère, à proprement parler; car, premièrement, on peut, d'après ce que nous avons dit, faire la transformation en intervertissant tout bonnement la série des déductions de la démonstration, et la résolution se confond alors avec la cojislr action; et, deuxièmement, l'analyse donnée n'est que l'analyse du problème délimité par le diorisme et non, comme dans noti^e exemple primitif, celle qui put amener à cette délimi talion.

Après avoir si longuement parlé de l'analyse de problèmes et de la représentation synthétique qui s'y rattache, nous pouvons passer plus rapidement sur l'application, aux théorèmes, de cette méthode et des formes correspondantes : la forme d'exposition synthétique consiste ici, ou en tout cas peut consister absolument dans les mêmes termes; on n'a qu'à remplacer partout problème par théorème. La construction ne consiste plus qu'à construire les lignes nécessaires pour aider à la démonstration, et elle se peut omettre, même, si ces lignes sont inutiles; (]uant à la conclusion, elle se termine ici par les mots : « ce cpi'il fallait démontrer ».

Ces termes qui, à ce que l'on voit, sont aussi logiquement suffisants pour les théorèmes, se retrouvent partout dans Euclide, qu'il s'agisse de théorèmes ou de problèmes.

Cependant, pour les théorèmes mêmes, il peut être question d'une méthode analytique proprement dite et c'est le cas lorsqu'on veut vérifier si un théorème, énoncé par d'autres, ou

MÉTHODE ANALYTIQUE. 8o

dont la (lécouverlc fut peiil-èlre intuilive, est juste ou non : on commence par supposer juste le théorème en question, que nous désignerons par A, puis on transforme ce théorème par une série de déductions, ahsolument comme dans l'apagogeou transformation pour les prohlèmes, jusqu'à ce que l'on voie qu'il conduit à un résultat nouveau K, dont on connaît la justesse ou la fausseté. Dans le premier cas, il n'y a encore qu'une possibilité, mais aucune certitude que A soit juste, car K peut dériver d'une série déductive où A n'est (pie d'un usage apparent et cela arrive, par exemple, même avec les ressources de l'Algèbre moderne, si dans les deux membres de l'équation posée l'on a, sans le remarquer, multiplié par une grandeur composée, qui en réalité se trouve être nulle. Une fois le résultat juste K dérivé de A, l'on vérifieia la justesse de A en remontant autant (\uo [)ossil)Ie la série déductive parcourue dans l'analyse, de manière que la justesse de K eritraine celle de A lui-même. Si tel est le cas, cette série déductive à rebours fournit la démonstration de la justesse de A, et l'on se contente d'exprimer celte démonstration sous la l'orme synthétique mentionnée plus haut, omission faile de l'analyse qui y conduisit.

Dans le cas où le résultat dérivé de A est faux, on peut au contraire conclure tout de suite que A est faux, ou bien, A et B étant deux affirmations dont l'une doit nécessairement être vraie, l'affirmation que B est vraie peut être établie comme théorème qu'on démontrera par le raisonnement suivant : l'hypothèse de B faux, ou de A juste, conduirait au faux résultat K. Une telle démonstration par antithèse est apagogique, donc proprement analytique : étant donné, toutefois, qu'elle assure la pleine évidence que l'affirmation B est juste, on s'en sert diversement dans des Ouvrages où la représentation est par ailleurs synthétique, fréquemment par exemple dans les Éléments d'Euclide.

Cette forme antithétique de démonstration fut aussi appliquée par Dinostrate à la quadratrice (p. 63) et on l'emiiloya constamment, comme nous le verrons, dans la démonstration par exhaustion.

Enfin, le théorème que nous avons obtenu comme résultat secondaire quand nous avons tenté plus haut d'établir, sans

limitation préalaJjIe, l'application elliptique des surfaces (p. 82) nous est un bon exemple pour prouver qu'un théorème ne se déduit pas nécessairement d'une analyse du théorème même supposé vrai, ou de celle de son antithèse, mais de l'analyse d'un problème connexe.