Éléments » : moyens auxiliaires d'analyse

(Juon se serve de l'Analyse pour trouver la solution d'un problème ou la démonstration d'un théorème, ou qu'on se serve de la Synthèse pour exposer ce qu'on a trouvé, la solution se com[)Osera toujours de solutions de problèmes plus simples, et la démonstration se basera toujours sur la justesse de propositions plus simples, en supposant que l'on soit en possession préalal)Ie de ces problèmes ou propositions plus simples. Afin de pouvoir avancer par les procédés que nous venons de décrire, on doit donc disposer, tout d'abord, d'une collection de solutions pour des problèmes et des théorèmes plus faciles, et prendre ces solutions comme point de départ.

Les Ouvrages qui renferment ces collections s'appellent des Eléments.

Les premiers Éléments dont il soit parlé furent écrits par Hippocrate, mais, malheureusement, nous ne connaissons point cette œuvre si ancienne de l'ingénieux géomètre qui, paraît-il, était assez indépendant des Écoles philosophiques. Les progrès, réels et formels, accomplis entre temps dans les Écoles, furent plus tard réunis en de nouveaux Éléments. L'on attribue l'un de ces progrès, à savoir les délimitations ou diorismes, à un écrivain qui, après Hippocrate, composa également des Éléments, Léon : ses Éléments, et d'autres plus récents, ont été perdus au moment où ceux d'Euclide eurent conquis cette universelle autorité qu'ils devaient conserver, pendant plus de deux mille ans, partout oi^i pénétrèrent les Mathématiques grecques.

Nous nous occuperons très en détail de cette œuvre capitale : en l'étudiant, nous verrons combien la matière en est solide, composée de théorèmes et de ])rol)lèmes exposés synthétiquement, et quelle base ferme cela devait faire pour l'édifice mathématique établi sur elle. 11 se peut toutefois que.

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pour les invesligalions qui al)oulisscul à ce résultai, le Ijesoin se soil fait sentir de posséder, outre ces Eléments d'une rigueur logique d'un bout à J'aiilre, des moyens dont la (orme s'appropriât davantage au travail analytique : on a des exemples antérieurs et |)Oslérieurs à Euclide d'une telle reclierclie, et nous en devons un à Euclide même. C'est ainsi qu'un successeur d'Eudoxe, Hermotimus, aurait écrit sur les lieux géométriques, probablement sur les lieux dits plans, c'est-à-dire représentaijles par une droite ou un cercle; plus tard, également sur le même sujet, le grand géomètre Apollonius écrivit deux livres : ce qu'on sait de leur contenu contribua grandement, dans les temps modernes, à la formation de la Géométrie analytique.

Nous devons encore mentionner les />f/^a d'Euclide comme instruments auxiliaires de la mélbode analyti(|ue : cet Ouvrage, quant à sa matière, ne sort pas des Éléments, mais il les exprime sous une autre l'orme; les propositions y ont communément pour but de i)rouver (|ue, certaines quantités ou portions d'une figure étant « données », certaines autres le sont aussi, c'est-à-dire qu'elles se déterminent à l'aide des premières. Les premières propositions du livre affirment que i\ci ({uantilés données ont un rapport donné, une somme donnée, etc; une proposition ultérieure, que des droites données se coupent en un point donné; d'autres établissent les conditions pour ([u'un triangle, selon son espèce, soit donné, c'est-à-dire soit semblable à un triangle donné; d'autres encore expriment que deux quantités dont on donne la somme, ou la différence, ainsi que le rectangle, sont elles-mêmes données, etc.

La valeur de ce livre est évidente comme instrument auxiliaire d'analyse : il s'agissait, dans la « transformation », de trouver dans la figure, pourvue au besoin de lignes auxiliaires, des parties connues susceptibles de déterminer les parties inconnues, et s'il faut ensuite, dans la résolution, justifier que l'on dispose réellement de ce qu'exige la solution du problème, on ne le peut faire mieux qu'en citant les propositions nécessaires sous la forme que leur donnent les Data. Certaines propositions des Data nous font en outre pénétrer quelques-unes des métbodes plus spéciales d'analyse

qu'on avait à sa disposition : ainsi, dans les Data, il n'est pas seulement question de trouver quelles données peuvent déterminer un triangle, mais encore quelles données en déterminent uniquement la forme. 11 est permis d'en conclure qu'on ne résolvait pas seulemenl les problèmes en recliercliant, dans la figure, les triangles par la construction desquels on pût commencer la soluîion du problème, mais encore en en cberchaut dont la forme fût seule déterminée, et la construclion d'un triangle de cette forme ne pou^ait en général servir de point de départ qu'à la construction provisoire d'une figure send)lable à la ligure cherchée; après quoi, il se fût agi d'introduire la grandeur réelle de quelque segment. Edectivement, dans les Mathématiques grecques, il se présenle des problèmes que l'on résout ainsi.

La réduction d'un problème à la détermination de deux quantités dont on connaît le produit (leur rectangle) et la somme ou la différence, c'est-à-dire à la solution géométrique d'équations du second degré, apparaît, d'après les théorèmes des Data cités plus haut, comme étant une méthode applicable, et qui fut souvent employée par les mathématiciens grecs. Nous verrons i)lus tai'd que d'autres théorèmes des Dato trahissent encore la connaissance d'équations plus compliquées, qui s'expriment au moyen des proportions et de l'Algèbre géométrique.