Aperçu des Éléments d'Euclide; système synthétique

Les Éléments d'Euclide se composent de treize Livres aux quels on adjoint comme quatorzième, dans la plupart des éditions, un travail d'Hypsiclès et, comme quinzième, un travail plus récent et de moindre importance.

Le premier Livre renferme les plus importantes propositions sur les côtés et les angles dans les triangles, sur la construction de ces derniers, sur les droites perpendiculaires et parallèles, sur les parallélogrammes et sur leur surface ainsi que sur celle des triangles. Le deuxième Livre contient les principes déjà exposés de l'Algèbre géométrique. Le troisième, la théorie du cercle, des lignes et des angles dans le cercle, ainsi

APEitçr i)i:s fiLÈMEMS n'iaci-iDi- : svstI:>ir sYMiirmoi e. 89

(|ue le Uiéorèmc de la |)uissaiicc tl'uii point [lar lapporl à 1111 cei'cic. Le (|iialriànie Livro traite dos |)oly;40iics iiisciits etciicoiisciits, noIainmeiH de la coiistriiclion des triangle, qnadi'iialère, pentagone, hexagone et décagone régniiers.

Sons doute, le travail personnel d'KncIide dans ces divers I.ivies lut parlicnlièrenienl d'ordonner et d'exposer toute cette matière, déjà connue, d'une façon plus précise qu'elle ne l'avait été juscpj'alors, en se conformant aux formes rigoureuses dont l'exigence s'était développée entre temps chez les (îrecs; mais, à cette hesogne, dut se joindre un travail mathématique proprement dit : les proi)ortions furent en eiTet, comme nous l'avons déjà vu, employées en Géométrie, même avant que fût née la théorie exacte des i)roportions d'Eudoxc Lorsque, en maintes occasions, l'on devait recourir à une théorie des [)roportions, fondée unifiuement sur la théorie tles grandeurs rationnelles, il n'imiJortait guère que ces applications trouvassent leur place dans le système un peu plus l(M ou un i)eu plus tard.

INfais Euclide, lui, connaissait la théorie d'Eudox(> sur les proiiorlions, et comme elle était tro|) nouvelle, toutefois, })our trouver place au début du système, il la rejeta au cimiuiéme Livre. 11 fallait donc, avant d'y arriver, éviter absolument tout em|)loi, ouvert ou caché, des proportions et de la similitude, et il est probable, par exemple, f|ue c'est précisément cette considération qui contraignit Euclide, ainsi que nous en avons dit un mot, à imaginer la démonstration du théorème de Pythagore qui se trouve à la lin de son premier Livre.

Pour faire comprendre qu'il était possible d'aller aussi loin sans les. proportions, je rappellerai que c'est à l'aide de l'Algèbre géométrique que sont démontrées les propositions sur la puissance d'un point par rapporta un cercle (111, SS-Sj) : ces théorèmes s'emploient pour construire un triangle isoscèle dans lequel l'angle au sommet est la moitié de l'angle à la base (IV, lo), la base étant alors le côté d'un pentagone régulier inscrit dans le même cercle que ce triangle (IV, 11).

Dans le cinquième Livre est exposée la théorie des proportions d'Eudoxe et, dans le sixième, ses applications à la Géométrie et à l'extension de l'Algèbre géométrique. La construction des moyennes proportionnelles et la division d'un

segmont en moyenne et extrême raison, obtenues déjà sous une autre forme au deuxième Livre par l'Algèbre géométrique, reparaissent ici, mais résolues cette fois à l'aide des proportions, savoir dans V'I, i3 et 3o.

Combien, parmi les théorèmes et démonstrations de ces Livres, appartiennent à Eudoxe? combien se rattachaient antérieurement à une théorie moins développée des proportions? c'est ce que nous ignorons; mais toujours est-il que c'est à Euclide que revient l'honneur d'avoir disposé le tout en un ensemble systématique.

Il n"a cependant point fait entrer dans cet ensemble la théorie spéciale des grandeurs rationnelles et des nombres entiers grâce aux rapports desquels s'expriment ces grandeurs, el il expose cette théorie, du VIP au IX^ Livre, c'est-à-dire après la théorie générale des proportions, mais sans la fonder sur cette dernière. Les démonstrations sont vraisemblablement celles que l'on employait avant ré]ioque d'Eiuloxe, et dont on étendit alors les résultats aux grandeui's irrationnelles elles-mêmes.

Les grandeurs irrationnelles, à leur tour, sont traitées dans le dixième" Livre : c'est là que se trouve leur classification, commencée par Théétète {cf. p. 46)), mais que devait achever Euclide. C'est en cela, et dans l'application de ce classement à la détermination des arêtes des polyèdres réguliers, que consista sans doute la part la plus originale du travail d'Euclide.

Mais, avant cette application, il était nécessaire de développer la Stéréométrie élémentaire, ce que fait le onzième Livre; le calcul du volume des pyramides exige alors des déterminations infinitésimales de limites que l'on obtient, quoique par un détour de forme, au moyen de la démonstration par exhaustion d'Eudoxe, employée à cet effet dans le douzième Livre après l'avoir été, tout d'abord, à démontrer que deux cercles sont proportionnels aux carrés élevés sur leurs diamètres. La déterminalion des éléments des polyèdres réguliers n'a lieu qu'au treizième livre.

Jusqu'à un certain point, on voit que les objets de même nature, comme la théorie des grandeurs irrationnelles, et les méthodes similaires, comme les applications de la démon-

AITRÇl' DFS l^;[i;MF.NTS d'kI CLIDK : SYSTf-MK SVNTIII-TIOU;. gi

sUalion parexhaiislion, sont lappiocliés les uns des aiilros : loiilelois, ce rapprocliomciit doil èlre mis en partie sur le compte de l'évolution lii.sloriqiic anliTicme. l'oiir Kiiclide, ce rapprochenKMil n'a quinie impoitance secondaire, pour être subordonné à la considération suivante : tout en tenant compte des principes logiques et rigoureux développés à l'époque précédente, principes au perlectionnement desquels l'jiclide avait lui-même contribué par son traité des fausses conclusions, l'important était que l'cpuvre lût logiquement inattaquable, qualité qui était garantie comme nous l'avons vu à cbaque problème ou tbéorème particulier par l'exposition synthétique; mais il s'agissait en outre, tant dans cbaque livre séparément que dans tout l'ensarnble, d'ordonner les problèmes et théorèmes de telle sorte que la hase et les matériaux de chaque nouveau théorème (ou problème) fussent déjà fournis par les précédents. (7est en vertu de ce |)rin- (•i[)e qu'Euclide ne se permettait même pas d'employer le milieu d'un segment dans une démonstration avant d'en avoir, antérieurement, prouvé l'existence par construction.

Cet ensemble de propositions, cette liaison à l'aide de laquelle on va du connu à l'inconnu, comme pour la démonstration synthétique d'une proposition détachée, c'est-à-dire on s'élève du simple et du particulier au (•()nq)osé et au général, constitue ce que nous n\)\)c\lQVon< un système sy/ilhéti'^/ue. encore que l'antiquité ne nous otïre aucune juslilication directe de cette appellation et, dans un tel système, le point de (lé|)art et la conclusion présentent un intérêt tout particulier.

Pour ce qui est du point de départ, il est clair que les problèmes, qui se composent de solutions fournies par des problèmes antérieurs, et que les théorèmes, dont les démonstrations s'appuient sur des théorèmes et des problèmes précédents, doivent sup[)oser certaines constructions premières et préalables dont l'exécution est, sans plus, considérée comme connue, ainsi que certaines affirmations premières dont la justesse est regardée comme directement évidente : ces constructions, pour Euclidcj se nomment postulats ou demandes (a;T-/-;/.aTx), et ces affirmations, notions communes {y,o'.\y.\ 'ivvo:x:); mais, au lieu de ce dernier mot, on rencontre communément chez les autres écrivains, notam-

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meut chez les écrivains philosophiques, le mot axiomes (àç'.oJaa-ra). Avant ces deux sortes de présuppositions, il faut d'abord établir les concepts auxquels elles ont trait, ce que l'on fait dans les définitions (opoi).

Aussi allons-nous nous occuper, dans le § î'i, des idées et des hypothèses établies de la sorte par Euclide, ce qui nous apprendra par la même occasion ce que les anciens exigeaient en général de leurs hypotlièses.

Outre les hypothèses préalables, la conclusion, elle aussi, mérite une certaine attention dans un système synthétique, puisque tout ce qui la précède semble n'être disposé que pour servir de prémisses à cette conclusion même. 11 est vrai que si, comme nous l'avons déjà dit, Euclide termine ses /i7eme/its par la détermination des arêtes des polyèdres réguliers et par la construction qui en résulte pour ces polyèdres, ce ne fut pas là son unique but, puisque, au cours de son œuvre, il embrasse maintes questions qui ne servent ni directement ni indirectement à celte détermination; il a donc plutôt établi un fondement général aux futures investigations mathématiques et, sûrement, c'est bien là ce qu'il voulait, mais l'importance que la construction des polyèdres réguliers puise dans ce privilège de couronner l'œuvre d'Euclide fut cause, néanmoins, que l'on ait introduit de très bonne heure des iravaux étrangers sur ces polyèdres à titre de quatorzième et de quinzième Livres.

D'une façon plus précise il s'agit, dans le premier Livre d'Euclide, pris séparément, de trouver ce qui est logiquement nécessaire pour établir l'Algèbre géométrique développée au Livre suivant; la base de cette Algèbre sera la conclusion même du premier Livre, à savoir, le théorème du gnomon, I, 43, et le théorème de Pythagore, I, 4-. Ln but provisoire se subordonne néanmoins au but principal : c'est le théorème (32) sur la somme des angles d'un triangle qui se trouve nécessaire pour le but principal et qu'Euclide rattache, au milieu du Livre, à la théorie des parallèles. Du reste, ce Livre comprend des théorèmes sur la situation respective des lignes droites, sur les droites perpendiculaires et parallèles, avec constructions appropriées, sur la congruence et la construction des triangles, et sur la dépendance entre l'égalité et

APi:u(.f i)i:s fii.f^.Mi-NTS D'ncr.iDr : systI:.mk symiii':tiqi r:. 9.3

l'inégalilé des cotés et des angles; il y a le'i un mélange fini n'est pas très clair, mais qui est cependant une conséf|aence de la niclliode, logiquement sûre, d'a[)rès laquelle les théorèmes s'édilient les uns sur les autres: mentionnons, pour exemple, que les lliéorèmes sur la congruence des triangles sont les théorèmes k, 8 cl 20, et qu'lùiclide ne se préoccupe nullement à cette occasion de rechercher la congruence de triangles dont un angle, un côté adjacent et un côté opposé se correspondent. En effet, il n'a pas à employer pareils théorèmes.

Au contraire, au sixième Livre, où il réunit les théorèmes sur la similitude des triangles, il ne néglige pas le cas correspondant de la similitude. A la (in du Livre, les théorèmes sur l'égalité des surfaces sont plus étroitement rattachés les uns aux autres.

Puisque nous avons expose ici la conception d'un système syntliétique de tliéorie, nous dirons un mot sur ce que nous entendrions par système analytique, par antithèse et aussi parce que, en dehors de toute considération d'application aux écrits des Anciens, nous désirons éclaircir pleinement les idées d'analyse et de synthèse.

Dans un système synthétique, l'on ne s'élève que peu à peu à la considération de rapports plus composés et plus généraux ; dans un système analytique, au contraire, on part d'un principe général capable, de par sa généralité même, de présenter une certaine simplicité, et l'on fait découler de ce principe les relations à établir dans les divers cas particuliers. Un traitement de la Géométrie dans lequel l'on commence par la ligne droite el le cercle, pour s'élever, successivement, aux sections coniques et aux courbes d'un degré supérieur, est foncièrement un traitement synthe'tique, même si les particularités y sont traitées analytiquement; mais un traitement dans lequel on recherche tout de suite les propriétés générales des courbes pour en tirer des théorèmes particuliers sur la droite ou les sections coni(pics est, lui, foncièrement analytique.

Nous avons un exemple typique de traitement par analyse dans la Mécanique analytique de Lagrange où tout dérive du principe des vitesses virtuelles : et si ce principe n'était pris qu'à titre d'hypothèse qui dût être démontrée par ses applications ou ses conséquences, le procédé serait absolument conforme à l'application de la méthode analytique aux théorèmes particuliers, telle que nous l'entendons. Si le principe est, comme chez Lagrange, établi au préalable, le procédé employé est encore, cependant, essentiellement le même et, en l'appelant analytique, on ne s'écarte pas du sens que nous avons attribué à ce mot.

g^ LES MATHÉMATIQUES GRECQUES.

Au reste, c'est en avançant synthéliquement du plus spécial au plus général que l'on parvient, en bonne règle, au point de vue d'oîi peut partir ensuite un système analytique.