PM PM

servent une direction invariable, le rapport ^^V ^1.-^ est

PJN. PM,

l62 LES MATHÉMATIQUES GRECQUES.

constant — soit k la valeur de ce rapport. Si, maintenant, MMi est la trace d'une section parallèle à la base et que r soit la portion comprise, sur la droite projetée en P, entre P et la surface du cône, on a

y'-= PM. PMi= A. PN. PN,,

et c'est là précisément la propriété par laquelle nous avons caractérisé, soit une ellipse, soit une hyperbole.

Le théorème planimétrique dont on se sert ici est sup[)Osé connu : on l'employait donc certainement avant Aichimède pour déduire les propriétés des sections coniques. Or, d'après le théorème dit de puissance dont nous parlerons plus tard et que connaissait également Archimède, le théorème planimétrique reste valable quand bien même les points M, N, M,, Nj sont situés sur une section conique quelconque; par conséquent, dans l'écrit mentionné sur les surfaces de révolution du second ordre, Archimède pouvait déterminer absolument de la même manière les sections planes de ces surfaces.

Lorsque nous avons admis que la découverte faite par Ménechme consista, essentiellement, dans la représentation de la paraljole, de l'ellipse et de l'hyperbole comme des sections coniques, nous dûmes supposer en même temps que ces courbes avaient été étudiées auparavant, partiellement du moins, et notamment à propos du problème délien, et que l'on avait pris pour point de départ de cette recherche les propriétés mêmes que nous exprimons aujourd'hui par leurs équations les plus simples.

Cette hypothèse se corrobore fortement au reste par cette circonstance que, chez tous les écrivains grecs, ce sont les propriétés planimétriques principales que l'on trouve à la base des recherches continuées, et non point la représentalion en sections coniques; et l'hypothèse contribue, de plus, à expliquer que la théorie des sections coniques se soit développée chez les Grecs avec la rapidité qu'elle devait acquérir aussitôt après Ménechme.

D'ailleurs, l'intérêt éveillé par cette théorie dut bientôt grandir lorsque l'on constata que les sections coniques ne sont pas seulement applicables à la construction des deux moyennes proportionnelles, comme chez Ménechme, mais encore à la

LA THÉORIE UES SECTIONS CONIQUES AVANT APOLLONIUS. l63

solution de nombrcMix aiilres problèmes qu'on avait en vain ItMilé (le résoudre avec la règle cl le compas : pour cela, il fallait se servir des sections coniques en tant que lieux géométriques, lieux solides selon l'expression d'alors.

Le tilre même. Lieux solides, du plus ancien Ouvrage cité sur les sections coniques, montre assez l'importance que l'on attachait à cet usage : ce livre, perdu, est d'un mathématicien, Aristée, contom|)orain d'Euclide et un peu plus âgé que lui, et son titre avait une signification particulière qui ne correspondait pas à une simple dénomination de la théorie générale (les sections coniques : cela ressort nettement de ce que les livies d'Kuclide sur ces courbes, parus bienlùl après, devaient compléter, et non remplacer, les Lieux solides d'Aristée. On continua même d'étudier et d'employer cet écrit concurremment aux Sections coniques d'Apollonius, qui avaient totalement supplanté celles d'Euclide.

L'usage qu'Arislée fit vraisemblablement des sections coniques, et qui devait se répandre encore davantage quand la théorie en eut été développée par Euclide et par Apollonius, se comprendra principalement lorsque le grand Ouvrage d'Apollonius nous aura renseignés sur la manière dont les anciens traitaient ces courbes; en outre, si nous voulons bien observer quels sont les progrès personnels dus à Apollonius, nous pourrons acquérir une idée de ce que devait renfermer déjà l'exposé d'Euclide. En attendant, il est possible de reconnaître aux écrits d'Archimède qu'il devait y avoir là quelque chose d'assez important, puisque les théorèmes sur les sections coniques, qu'Archimède suppose connus, devaient nécessairement se trouver dans l'Ouvrage perdu d'Euclide : on y rencontrait donc, non seulement la relation déjà mentionnée entre les sections coniques et leurs axes, ainsi que la détermination des tangentes, diamètres conjugués et asymptotes, (jui s'y rattache, mais encore la relation correspondante de ces sections à deux diamètres conjugués, ainsi que leur rapport aux asymptotes déjà connu de Ménechme; enfin, également, le théorème de la puissance dont nous avons parlé.