Les sections coniques d'Apollonius

Si donc c'est à Euclide que nous devons la connaissance de la Géométrie élémentaire des Anciens, de même c'est par le grand Ouvrage d'Apollonius que nous possédons principalement leur théorie des sections coniques ; et, cependant, parmi ses huit Livres sur cette matière, sept seulement nous ont été conservés, les quatre premiers en grec, les trois derniers par une traduction arabe.

Les quatre premiers Livres renferment ce qu'on nomme les éléments de la théorie des sections coniques, c'est-à-dire l'exposition, en un tout suivi, des prof)iiétés principales de ces sections : c'est de là qu'il faut ensuite partir, aussi bien pour appliquer la théorie à la solution des problèmes de construction au mo3'en des lieux solides, que pour se livrer aux recherches particulières sur des questions concernant les sections coniques.

Les Livres suivants, au contraire, comportent des études spéciales : ainsi le cinquième Livre, traitant des normales aux sections coniques et de la construction des normales issues d'un point donné, est le type le plus complet qui nous soit conservé de l'application des sections coniques à des constructions, en même temps qu'un exemple de la subtile étude théorique que. l'on savait rattacher à une telle construction.

Mais ce sont, directement et avant tout, les quatre premiers Livres qui nous font saisir la connaissance générale que possédaient les anciens sur les sections coniques : aussi nous arrêterons-nous assez longuement, non seulement pour pouvoir donner un aperçu de ce qu'ils savaient sur ces courbes, mais aussi pour faire sentir les ressources réelles dont ils disposaient pour aller jusqu'où ils atteignirent.

Voyons donc, tout de suite, comment le premier Livre établit le fondement de la théorie.

Quoique le point de départ diffère de celui dont s'étaient servis les prédécesseurs d'Apollonius, il résulte toutefois de son avant-propos que les propositions particulières qui composent ce fondement sont, en grande partie, les mêmes que

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connurent cl employèrent ces prédécesseurs. Cepentlunt, pour ce qui est de l'hyperbole, Apollonius allaclie à ces propositions un progrès notable : bien qu'il nomme hyperboles opposées \es deux brandies de l'hyperbole, il les traite toutel'ois comme une courbe unique et obtient ainsi, dans les propositions sur l'ellipse et sur l'hyperbole, la ressemblance qui n'est possible rpi'avec un tel procédé.

Ainsi la nouveauté du point de départ va se trouver localisée : au lieu de considérer les sections produites sur des cônes de révolution par des plans situés dans une position déterminée, Apollonius envisage tout de suite des sections planes quelconques de cônes circulaires quelconques; alors, pour rattacher à ces sections une propriété planimétrique telle qu'elle puisse servir de base à plus ample information des courbes, Apollonius emploie une généralisation du procédé même qui servait à Archimède pour l'étude de seclions perpendiculaires au plan de symétrie du cône. Mais, de par celte extension, la propriété planimétrique devenait, elle aussi, plus générale, elle ne s'exprime pas en rapportant la section conique à l'un de ses axes et aux demi-cordes conjuguées pour axes coordonnés, car c'est celle même que l'on obtient de pareille manière en rapportant la courbe à un diamètre quelconque et à ses cordes conjuguées : c'est là ce qu'il faut bien retenir si l'on veut aisément suivre la marche du Livre.

Au début, on ne connaît donc que ceci sur les courbes cherchées : c'est qu'elles possèdent la [)ropriété mentionnée, par rapport à un diamètre particulier et au système de cordes conjuguées qui forment, en général, un angle aigu avec ce diamètre. Ensuite, au cours de l'exposition, on voit qu'elles jouissent de la même propriété par rapporta un nombre infini de diamètres et, à la fin du Livre, on parvient à construire des diamètres perpendiculaires à leurs cordes conjuguées; on constate à ce moment que les courbes, une fois rapportées à ces diamètres, peuvent être considérées comme sections dans un cône de révolution.

Alors, seulement, l'identité est parfaitement manifeste entre les courbes traitées par Apollonius et les sections coniques que l'on envisageait auparavant.

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Ces derniers résultats constituent donc le but essentiel qu'Apollonius eut devant les yeux en composant tout son premier Livre; mais, chemin faisant, parfois il fut contraint, parfois il chercha lui-même l'occasion d'exposer maintes propriétés qui pourraient trouver leur application dans les Livres ultérieurs ou qui, en soi, méritaient d'être connues : c'est ainsi que la théorie des tangentes et de leur détermination sert d'introduction à la thèse fondamentale du Livre, celle des diamètres aux systèmes de cordes parallèles.

Pour se faire une idée précise des tournures employées, le mieux est encore de les comparer à la transformation algébrique des équations, dans les formes nouvelles qu'on obtient par rapport à de nouveaux systèmes de coordonnées, transformation aujourd'hui usuelle en Géométrie analytique, ou peut-être de les comparer en général avec les opérations algébriques de la Géométrie analytique. Apollonius, lui, n'a recours qu'à V Algèbre géométrique, qui est ici d'un emploi assez pratique : on peut sans peine le reconnaître en considérant la forme géométrique sous laquelle Apollonius représentait les équations des sections coniques qu'il avait déduites, au début, de considérations sléréométriques et, dans ces équations, nous avons déjà vu que les courbes sont rapportées à un diamètre et aux demi-cordes conjuguées pris pour axes coordonnés.

Soient {fig. 20-21) AB un diamètre ia d'une ellipse ou d'une hyperbole, et CD la moitié d'une corde conjuguée : le carré CD^

doit être dans un rapport constant - avec le produit AC.CB, ce

qui s'exprime en élevant en A et en C les perpendiculaires AE et CF sur AB, et en reportant sur la première AE= ip. Si F est le point d'intersection de CF et de BE, le carré élevé sur CD sera égal au rectangle AF; car alors CF est précisément égal au produit-- CB.

La figure employée constitue donc l'appareil géométricoalgébrique à l'aide duquel on figure exactement ce que nous exprimerions par l'équation

y- =: - X {laz^ x).

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dans laquelle x et y figurenl respectivement AC cl CD, et l'on voit que la propriété fondamentale qui se trouve représentée (le la sorte, est celle même que l'on connaissait avant Apol-

Fig. 20.

lonius : c'est à tort, par conséquent, qu'on lui donne le nom de théorème ci' Apollonius.

La forme de cette représentation est d'ailleurs parfaitement adéquate aux formes ordinaires de l'algèbre géométrique,

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mais elle prit une importance particulière par ce qu'elle a servi de base aux nouvelles dénominations qu'Apollonius devait donner aux sections coniques, une fois abandonnée la méthode de détermination à laquelle étaient attachées les anciennes désignations. La figure dont on se sert est la même, en effet, que celle qui correspond à la transformation de l'équation en

y- r= ■?, px ZH — X- 1 •^ 'a

pour exprimer que le carré f- est appliqué sur le segment AE:=2/j>, de telle sorte que les côtés du rectangle, manquant ou en trop, soient dans le rapport /j: a {cf. 6® Livre d'Euclide); et, conformément aux notations employées dans la résolution des équations du deuxième degré, la courbe représentée est elle-même nommée ellipse ou hyperbole, selon que le rectangle EF manque, ou est en trop.

S'il n'y a ni défaut ni excès, on est alors en présence d'une simple application du carré j^ sur 2/? : et la courbe/-:= 2^:r, dans ce cas, a reçu le même nom de parabole que l'application simple de surface.

On voit que l'Algèbre géométrique rend, ici, exactement les mêmes services que ceux que rend plus tard l'Algèbre dans la Géométrie analytique : tandis que nous exprimons aujourd'hui la propriété fondamentale d'une courbe par une équation algébrique, Apollonius, lui, la représente par une figure; et, par le fait que cette figure auxiliaire est tracée à angle droit avec l'axe des abscisses, quand bien même les ordonnées coupent cet axe sous un autre angle, elle reste toujours, en quelque sorte, indépendante de la figure pour l'étude de laquelle elle doit servir.

De plus, comme l'équation algébrique de la courbe est du second degré par rapport à x, cette figure auxiliaire est bien la même que celle dont on se sert dans les éléments pour la représentation et la solution d'une équation du second degré : c'est donc précisément comme courbes du second degré que les sections coniques se trouvèrent si heureusement appropriées, ultérieurement, à la méthode des Anciens.

Toutefois, la forme géométrique que cette méthode don-

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nait à l'Algèbre elle-mèmo, fut cause de comliinaisons miilliples entre le moyen et l'objet de l'investigation géométrique, combinaisons qui devaient rester assez loin de la Géométrie analytique, notamment en tant que celle-ci devait transformer complètement les questions de géométrie en problèmes de calcul. Au contraire, le procédé antique ressemble davantage à l'emploi actuel de la Géométrie analytique, pour lequel on tient compte en même temps de la signification géométrique des transformations à opérer.

Sans doute, nous ne pouvons songer à suivre séparément toutes les transformations des équations de la courbe, représentées sous forme géométrique, et à l'aide desquelles, peu à peu, l'on atteint le résultat que nous avons dit être le but essentiel du Livre; mais nous devons néanmoins citer un moyen terme qui joue un rôle capital, tant ici que, plus tard, dans les questions du troisième Livre :

On considère une section conique de centre C et de diamètres CE et CB comme lieu géométrique de points H, tels que le quadrilatère CMHT, limité par ces deux dia-

mètres, par la ligne HM parallèle aux cordes conjuguées à CB, et par HT parallèle aux cordes conjuguées à CE, ait une superficie constante.

Pour nous, ce théorème de surf aces est valable d'une façon générale, à condition toutefois, s'il intervient des quadrilatères impropres, d'attribuer le signe -r- ou — à chacune de

jyO LES MATHÉMATIQUES GRECQUES.

leurs parties, suivant leur situation par rapport au périmètre; Apollonius, au contraire, doit le décomposer en plusieurs théorèmes distincts, mais dont cependant il saisit parfaitement les rapports. On comprend alors l'application que fait l'auteur dans le premier Livre : il suffit en effet de remarquer que ce théorème se tire tout d'abord de l'équation qui rapporte la courbe à l'un des diamètres et à ses cordes et qu'il conduit ensuite, d'une manière correspondante, à l'équation où la courbe est rapportée à l'autre diamètre et à ses cordes. Mentionnons encore, dans le premier Livre, la détermination des tangentes : d'après l'équation de la courbe il s'agit, pour cette opération, de mener par un point {œ', j') de la courbe une droite dont les autres points {^, y) satisfassent à la condition

ipx 31 - X- rtpx q= — X

condition dans laquelle, pour la parabole, — se change en o.

Apollonius montre que, pour l'ellipse et pour l'hyperbole, on y parvient si la tangente et l'ordonnée au point {x' , y') partagent harmoniquement le diamètre (l'expression harmonique est toutefois de date plus récente). La démonstration est trop étendue pour que nous la puissions reproduire, et nous allons nous contenter d'établir qu'une droite issue du point {x' , y') de la parabole r^= ipx, et qui rencontre l'axe des abscisses au point {—x',o), est tangente à la parabole, ce qui se fait à peu près comme il suit : {oc, y) étant un point de cette droite, on a

maintenant, comme on sait par Euclide que la moyenne géométrique entre deux grandeurs est plus petite que leur moyenne arithmétique, ou que