LES SECTIONS CONIQUES I) APOLLONIUS. 17I

il en résulte

Quand on voit si l)ien rexccllcnce et la perfection du fondement posé par Apollonius dans son premier Livre, on comprend d'autant mieux qu'il puisse s'élever à une telle hauteur dans ses autres Livres, notamment le troisième et, en partie aussi, dans le cinciuième.

Nous devons ici nous contenter d'indi(iuer très brièvement la matière de ces différents Livres.

Dans le second, sont expliquées les propriétés principales des asymptotes et des diamètres conjugués : on y considère, outre les branches connexes d'une hyperbole, les hyperboles conjuguées, situées dans les différents angles formés i)ar les mêmes asymptotes; on suppose que ces hyperboles ont des diamètres d'égale longueur, car, en effet, on attribue môme aux diamètres ne coupant pas les courbes des longueurs qui, en réalité, sont les mêmes que celles dont nous nous servons actuellement. Divers problèmes sur les diamètres et les asymptotes sont encore résolus, notamment la construction du centre et des axes d'une section conique donnée, celle d'une tangente formant un angle donné avec le diamètre passant par le point de contact, etc.

Le troisième Livre traite, avant tout, des propriétés des points des courbes et indépendantes des diamètres et des axes : il les fait aisément résulter du théorème de surfaces déjà nommé et qui revient en réalité à rapporter la courbe à deux diamètres non conjugués. On conçoit qu'il doit aussi fournir un excellent point de départ pour la démonstration du théorème de puissance connu par Archimède : ce théorème concerne, en effet, des cordes de directions données, mais choisies arbitrairement. On y rencontre encore les principaux théorèmes sur les pôles et les polaires, ainsi que la génération d'une section conique par deux faisceaux de droites qu'on appelle aujourd'hui projectifs ou homographiques : les sommets des faisceaux sont des points quelconques A et C de la courbe, et les droites correspondantes AM et CM se déterminent par ce fait qu'elles interceptent.

sur les parallèles menées respectivement par C et A aux tangentes en A et C, des pointions CP et AQ dont le rectangle possède une surface constante.

Fis. 2.3.

On aperçoit facilement que toutes ces propositions sont incomplètes, et même peu intelligibles, si l'on considère à part une branche unique de l'hyperbole : aussi comprend-on l'avantage réel qu'il peut y avoir à considérer les deux branches de courbe selon la conception originale d'Apollonius, notamment dans son troisième Livre, avantage qui subsiste sur tous les modes antérieurs de traiter le même sujet, quand bien même certaines propriétés eussent été connues avant lui sous forme plus restreinte.

Une autre série de propositions du même Livre contient les déterminations de tangentes les plus simples, sans emploi des points de contact, en particulier celle des tangentes à une hyperbole considérées comme droites qui, à partir du centre, segmentent sur les asymptotes des portions formant un rectangle de surface constante, et des tangentes à une ellipse et à une hyperbole, comme droites qui segmentent, sur des tangentes fixes et parallèles entre elles, et à partir des points de

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contacl de celles-ci, (les portions foniiaiil un rectangle de surface constante. — Les tangentes à une parabole seront déterminées comme droites dont les points d'intersection parcourent, sur des tangentes fixes, des espaces proportionnels.

Nous pouvons encore faire remarquer ici que ces mêmes propositions nous éclairent sur le but de deux autres écrits d'Apollonius, sur la section de raison et sur la section de l'espace, dans lesquels il résout, au moyen de l'Algèbre géométrique, et — au moins dans celui sur la section de raison — discute, avec un souci des détails presque pénible, les problèmes que voici : « D'un point mener une droite ([ui, sur deux droites doiuiées, à partir de deux [joints donnés, détermine des segments qui soient dans un rapport donné, ou forment un rectangle de surface donnée. » La solution de ces problèmes à l'aide de la règle et du compas conduit effectivement, conformément aux théorèmes mentionnés du troisième Livre sur les sections coniques, à la détermination de la tangente menée par un point extérieur donné à une section conique suffisamment déterminée.

Ce même troisième Livre comprend également une petite subdivision remarquable, à savoir, la théorie des foyers de l'ellipse et de l'hyperbole traitée par la Géométrie élémentaire : la position de ces foyers, F et Fj, sur l'axe principal AA], s'obtient par ce fait que le rectangle AF.FA, doit être égal à ap, où 2 a et 2/> désignent les longueurs de l'axe et du paramètre. Au moyen de la détermination dont nous venons de parler pour les tangentes à l'ellipse et à l'hyperbole, on trouve alors que le segment que les tangentes en A et A, déterminent sur une tangente mobile est vu des points F et Fi sous un angle droit; après ([uoi l'on obtient facilement les autres théorèmes principaux.

Chose étonnante, Apollonius ne dit rien sur le foyer de la parabole; mais, il est vrai, les lemmes apportés par Pappus à un ouvrage perdu d'Euclide permettent de supposer que ce point était, parliellement au moins, connu d'Euclide.

Le quatrième Livre détermine le maximum du nombre des points d'intersection de deux sections coniques : Apollonius dit expressément, dans l'avant-propos, que le progrès réalisé par lui consiste essentiellement dans le fait d'avoir égard aux

deux branches de l'hyperbole, circonstance qui joue ici un rôle capital; et nous parlerons plus en détail du cinquième Livre lorsque nous exposerons comment les Anciens traitaient les problèmes solides.

Le sixième Livre traite, d'une part, des sections coniques semblables; d'autre part, il contient quelques extensions des constructions relatives aux cônes qui passent par des sections coniques données, constructions qui avaient été entreprises dans le premier Livre.

Le septième Livre réunit un assez grand nombre d'expressions pour certaines fonctions entre les longueurs des diamètres conjugués, des paramètres, etc.; on y trouve d'importantes propositions, telles que les suivantes : la constance de la surface du triangle formé par deux diamètres conjugués et par la corde qui joint leurs extrémités (dans le cas de l'hyperbole, les deux diamètres conjugués en question ne sont autres (pie des diamètres d'hyperboles conjuguées); l'invariabilité de la somme ou de la différence des carrés de diamètres conjugués — pour d'autres cas, où de telles fonctions ne sont pas constantes, on en recherche les valeurs maxima et minima.

Enfin, le septième Livre renferme les démonstrations relatives aux diorismes des problèmes qui devaient être résolus dans le huitième Livre, actuellement perdu; c'est au moins ce qui est annoncé dans l'avant-propos, ce qui nous permet d'induire que ces problèmes avaient pour but de trouver des diamètres conjugués pour lesquels ces fonctions eussent des valeurs données; alors, les expressions trouvées pour ces fonctions dans le septième Livre fournissaient immédiatement les équations nécessaires à la solution des problèmes.

C'est dans ce sens que le Livre a été restitué par Halley.