Lieux et problèmes solides

Comme nous l'avons indiqué déjà, le but primitif de la tliéorie des sections coniques était d'établir des lieux géométriques susceptibles de conduire à la solution des questions pour lesquelles la droite et le cercle étaient devenus insuffisants : les problèmes qui se résolvent à l'aide de la droite et

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du cercle s'appoWcnl problèmes plans, en même temps que la droite cl le cercle, en tant f|ue lieux géométriques, s'appellent lieux plans. A une époque plus récente de l'anticiuité, on supposait que ce dernier nom est le nom primitif, parce que l'on déterminait initialement les lignes en question (droite et cercle) comme étant situées dans un plan ; mais, à côté d'une telle origine, il est tout aussi vraisemblable d'admettre que la dénomination de plans appartenait primitivement à des problèmes qui dépendent d'équations du second degré, au plus, et qui, par conséquent, sont représentés en Algèbre géométrique, — dans le plan, — par des relations entre surfaces.

Cela étant, la dénomination de problèmes solides devait s'appliquer à la Uiéme époque à des j)roblèmes qui dépendent d'équations du troisième degré, et s'expriment par des relations entre parallélépipèdes; quant aux lieux solides, ils désignent les lieux géométriques représentés par des sections coniques, et l'on peut admettre que leur nom vient de ce (pTils étaient destinés à la solution de problèmes solides. Dès ranti(|uité, pendant une époque plus récente, on admettait toutefois que la dénomination de lieux solides est antérieure, au contraire, et qu'elle provient de la définition stéréométrique des sections coniques.

Malheureusement l'ouvrage d'Aristée est perdu : les sections coniques y étaient sans doute particulièrement traitées comme lieux géométriques, et nous ne savons rien des ouvrages postérieurs qui poursuivirent le môme but.

Cependant, puisque la théorie des sections coniques d'Apollonius traite le même sujet à un autre point de vue, on peut en conclure les lieux solides que l'on connaissait ou, du moins, que l'on pouvait trouver aisément dès qu'il y avait lieu de les appliquer dans un problème; dès le jiremier Livre d'Apollonius, on voit que cela dut être le cas lorsque certaines lignes données apparaissaient immédiatement comme diamètres conjugués, et même pour des propriétés plus compliquées : en effet, dans le théorème des surfaces, on rapporte la courbe à deux diamètres non conjugués.

Mais le troisième Livre nous fait pénétrer plus avant, grâce à son caractère plus général et, aussi, par ce fait qu'Apollonius indique expressément son but : la manière particulière

de ce Livre, perfectionnée, sans nul doute, par l'introduction des deux branches de l'hyperbole, permet, selon Apollonius lui-même, de suppléer aux défauts de l'ancienne détermination des lieux solides. A cet effet, le lieu à trois ou quatre droites est mentionné d'une façon expresse : si x, y, z, u désignent les distances d'un point à quatre droites fixes, distances mesurées sur des obliques de directions données, et que K représente une constante, le lieu à quatre droites s'exprimera par l'équation

a:z =z Kyu ;

pareillement, le lieu à trois droites est la courbe représentée par la relation

D'après le langage d'Apollonius, il existait certainement des démonstrations plus anciennes, mais incomplètes, permettant d'établir que ces lieux sont des sections coniques; il les supposait d'ailleurs assez bien connues de ses lecteurs pour que, sans qu'on les leur répétât, ils pussent voir comment son troisième Livre les complétait. Ce Livre comprenait donc aussi, sans doute, le complément des données sur lesquelles on appuyait antérieurement ces démonstrations, et continuait d'établir ces démonstrations mêmes; mais, ne connaissant point la détermination primitive des lieux, nous ne pouvons tirer de conclusions à ce sujet que d'après le Livre d'Apollonius.

Ce n'est guère difficile pour le lieu à trois droites : une section conique quelconque en est un, et Apollonius luimême, au cours de sa démonstration dont nous avons parlé pour la génération par des faisceaux projectifs, déduit ce fait d'un cas particulier du théorème de la puissance.

Une section conique quelconque peut être, de môme, un lieu à quatre droites : cela résulte du théorème général de la puissance dans le cas oij deux droites opposées, /:= o et u z= o, sont parallèles.

C'est déjà beaucoup que de posséder ces résultats. Pour le sentir encore inieux, faisons un rapprochement avec la représentation du lieu solide tel que la Géométrie analytique nous la fournit : en prenant pour origine un point du lieu, on