LIEL'X ET PROBLÈMES SOLIDES. I

ohlienl une équation de la forme

ax^ -+- bxy + cy- -\- dx -{- ey ^ o ou bien encore

x{ax -^ hy + <:/) = — cy (/+-)?

cl la courbe se trouve précisément représentée comme lieu à quatre droites, avec deux droites opposées parallèles.

Le maniement des surfaces, tel que les anciens l'entendaient, et l'introduction de coefficients au moyen de la théorie des proportions, répondent exactement à notre traitement des expressions du second degré : par conséquent, la représentation actuelle d'une courbe par l'équation générale du second degré a la môme portée géométrique que l'ancienne détermination comme lieu à quatre droites, lorsque deux droites opposées sont parallèles; on pouvait, au reste, y ramener également le lieu le plus général à quatre droites.

La mention toute spéciale que fait Apollonius de son perfectionnement dans le traitement de ces questions nous atteste suffisamment la grande importance, et l'attention réelle, que l'on prêtait aux lieux à quatre et à trois droites.

Un autre Ouvrage perdu d'Apollonius peut encore se rattacher à la question du lieu à quatre droites : c'est le Traité de la section déterminée. On sait, en elTet, qu'il comprenait, sur une droite, la construction de points dont les distances à deux couples de points de la même droite forment des rectangles ayant un rapport donné, avec une discussion soignée de ce problème; or celle construction se ramène facilement à la recherche des points d'intersection d'une droite et d'un lieu à quatre droites, en calculant les quatre distances comme parallèles à la droite donnée.

En opérant ainsi, la détermination d'un lieu à quatre droites coïncide avec le théorème sur l'involution des points d'intersection d'une droite avec une section conique et avec les côtés opposés d'un quadrilatère inscrit, théorème retrouvé plus tard par Desargues, et qui porte son nom. Toujours est-il que le Traité de la section déterminée contenait quelques l)arties inii)ortantes de la théorie moderne de l'involution.

Ainsi donc, suivant les suppositions que nous venons de faire, on appelait primitivement problèmes solides ceux qui dépendaient d'équations du troisième degré et que l'on représentait stéréométriquement : cette dénomination s'attacha plus tard à la solution par sections coniques, et l'on en vint à embrasser aussi sous ce nom des problèmes qui, exprimés analytiquement, eussent dépendu d'équations du quatrième degré.

Le problème solide le plus simple est relatif à l'équation cubique pure; nous en avons déjà pris connaissance à propos de la multiplication du cube, et nous pûmes voir, en mémo temps, comment l'usage des sections coniques était primitivement lié à la solution de cette question. D'autres exemples de problèmes de cette nature se présentèrent à notre attention dans la trisection de l'angle, ou dans les intercalations auxquelles se ramène celte trisection, et nous avons dit qu'Archimède, dans son Traité des spirales, fait encore différemment usage de ces mêmes intercalations : Pappus nous renseigne en effet sur la façon dont on les effectuait au moyen des sections coniques.

Mais, parmi tous les exem[)les que nous ayons des meilleurs jours de la Mathématique grecque, les plus importants pour la solution des problèmes solides à l'aide des sections coniques se trouvent, d'abord dans le traitement de l'équation à laquelle Arcbimède ramène sa division de la sphère (c/. p. i53), solution qui nous est parvenue, ])uisdans la construction des normales, issues d'un point, à une section conique, au cinquième Livre d'Apollonius; et ce qui rend ces solutions particulièrement intéressantes, c'est le soin avec lequel sont expliquées les conditions de possibilité, tout comme le souci pris de la discussion du nombre de solutions dans les divers cas que Ton peut obtenir en attribuant différentes valeurs aux quantités données. Il ressort alors clairement que la construction par les sections coniques n'est pas tant un moyen, très insuffisant d'ailleurs, de déterminer les grandeurs cherchées que, bien plutôt, un excellent procédé théorique pour s'enquérir des cas où elles existent — conformément à ce que nous avons déjà dit à propos du but de la construction géométri(|ue chez les Grecs.