Mathématiques préhistoriques

Dans un Cours historique se pose toujours cette question : Où commencer?

On peut [)arîir de l'instant où s'ofîrenl des données efTectives, dignes de fui, qui entraînent immédiatement une connaissance positive, certaine : c'est alors à l'historien d'établir exactement cette conséquence.

On peut encore partir de la préhistoire, qu'il faut alors déduire d'une foule de renseignements et de faits extrêmement divers qui, pris séparément, ne peuvent avoir la valeur historique de véritables sources. Dans ce cas, les données les plus voisines de l'Histoire proprementdite sont les traditions et légendes sur les mœurs et les événements, transmises par les plus anciens documents et concernant des époques plus lointaines encore. L'explication de ces légendes doit s'étayer sur des découvertes d'objets produits et employés à ces époques reculées, découvertes dont la signification s'éclaire en les comparant, en les situant, quant aux temps et aux lieux, pour contribuer, en revanche, elles-mêmes, à élucider les rapports qui ont existé entre les lieux où on les fait et à déterminer la succession, dans le temps, des races qui utilisaient ces obz. I

rMRODlCTIO.N.

jets; et, ce qu'on peut dire, à ces divers points de vue, des objets matériels sauvés du passé, on le peut également dire de ces mois que l'on rencontre en différentes langues connues, vivantes ou mortes, et dont l'âge peut être ainsi fixé : ils attestent l'antique notion des idées auxquelles ils correspondent.

Pour mettre en œuvre les matériaux acquis de la sorte, il faut recourir à d'autres ressources. Veut-on se faire une idée de la manière dont un ol)jet a été protluit et utilisé? dont une conception s'est formée, puis rattachée aux autres notions déjà existantes? Il faut savoir tout d'abord, d'une façon générale, comment un fait de cette nature peut avoir lieu et comment, étant données les ressources et les idées du temps telles qu'on peut se les représenter, il put elfectivement être réalisé, et cette estimation est souvent malaisée, surtout pour un homme civilisé de notre temps accoutumé de se servir des moyens d'action actuels, tant matériels qu'intellectuels, ou de commodités qu'il s'est appropriées — sans même savoir exactement de quelle utilité elles lui peuvent être, non plus que celles qu'il pourrait ou non facilement remplacer. Pour avoir des données à cet égard, nous avons : d'abord, la ressource d'observer nos propres enfants et, d'autre part, les peuples non civilisés — ou autrement civilisés que nous; mais ce que révèle la préhistoire nous sert ici de récompense et nous aide à mieux comprendre le développement de la connaissance chez l'enfant, ainsi que les mœurs et usages des divers peuples.

On voit donc que, historiens et archéologues de profession, naturalistes et philologues classant, les premiers leurs trouvailles, les seconds les vocables d'après leurs âges et leurs rapports respectifs, pédagogues, psychologues, théoriciens de la connaissance, ethnographes, tous, doivent apporter leur contribution à une étude de la préhisloirc. Si celle-ci porte sur une spécialité, c'est au spécialiste en question d'établir personnellement l'intime rapport des faits qu'on lui livre pêle-mêle; mais tous les savants énumérés ci-dessus trouveront à gagner, chacun pour leur branche, aux études préhistoriques ainsi dirigées.

Les Mathématiques ont aussi leur préhistoire, non des Moins importantes.

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Réduite à une malière étroite et bien délimitée, cette préhistoire peut conduire à des résultats relativement sûrs et clairs : on y apprend la manière dont les premiers peuples traitaient les grandeurs au moyen de nombres et de représentations géométriques, et c'est cela même ([ui nous permet de comprendre comment ils ])urent s'asservir la terre, qui nous facilite ainsi l'utilisation des renseignements que nous trouvons par ailleurs sur leur vie et leur activité. En nous montrant la base sur laquelle l'humanité devait édifier, plus lard, toute une mathématique mieux ordonnée, elle nous aide considérablement, somme toute, à pénétrer davantage le principe des premiers et plus importants concepts de cette Science, principe qui relève delà théorie de la connaissance.

Pour mettre en lumière la préhistoire des Mathématiques, il faut chercher chez les philologues quel est l'âge des dénominations des nombres les plus simples et quels moyens sont employés, en diverses langues, pour exprimer les nombres groupés par dizaines, vingtaines, etc., ou de quelque autr^ façon que ce soit, qui puisse servir à la division de mesures ou de monnaies (systèmes duo-, sexto-décimal, ...); il faut rechercher dans les inscriptions et les vieux monuments écrits les désignations, d'abord des nombres simples, lesquelles, pour la plupart, aux plus lointaines époques, consistent en une marque ou un signe pour chaque unité; ensuite, les signes moins simples des nombres composés qui, par exemple, peuvent être figurés par répétition d'un signe pour chariue unité décimale — comme chez les Romains — ; il faut découvrir la trace première de l'emploi de ces signes, ou encore de moyens mécaniques pour l'exécution des calculs simples — et il est même possible de retrouver des signes d'opérations jusque dans l'écriture idéographiqua des anciens, comme dans les papyrus égyptiens où une patte d'oiseau, selon son orientation, indique très clairement si un nombre est à ajouter ou à retrancher, bref joue le rôle de nos signes + et — .

Quant à la conception de l'espace, le premier dessin que nous allons rencontrer sera la preuve qu'on se représentait des figures, dont les unes sont en petit ce que les autres sont en grand, c'est-à-dire des figures semblables; et ce témoignage est d'autant plus probant que, la perspective ne pouvant être alors

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connue, l'imitateur tendait à obtenir une similitude réelle, encore que souvent avec peu de succès. Celte intention doit nécessairement avoir été consciente si l'imitalion présente le même nombre de dimensions que l'objet modèle, que cesoii une sculpture, par exemple, ou bien encore un objet qui, représenté par ses lignes de contour sur un plan, est luimême plan ou peut être considéré comme tel. L'exemple vaut, principalement, si ladite représentation constitue par elle-même un modèle, comme une carte ou le devis d'un bâtiment, et d'autant mieux encore si l'on y peut voir un essai de figure géométrique. Au reste, pour l'application de pareilles figures à des buts pratiques, aux besoins de l'bomme ou bien à l'enseignement des enfants, il est évidemment indifférent qu'elles soient dessinées un peu plus petites ou un peu plus grandes : nous aurons donc là, bien avant qu'il ait pu être donné de définition précise des figures sem blables, une preuve de leur emploi conscient.

Une chambre funéraire de l'Egypte ancienne, de décoration inachevée, montre comment cette représentation a conduit jusqu'à méthodiquement obtenir la similitude. On y voit, en effet, que, pour reporter une image sur la muraille d'après une nouvelle échelle, on divisa cette muraille et l'image modèle en carrés, au moyen do deux systèmes de parallèles, puis que, dans chaque carré de la muraille, on inscrivit ce qui se trouvait dans le carré correspondant du modèle. En réalité, ce procédé consiste à appliquer des coordonnées rectangulaires exi)riniées en nombres entiers, en prenant pour unité le côté du carré : sont alors déterminés comme points correspondants ceux dont les deux coordonnées, chacune à chacune, se trouvent dans un rapport donné.

En poussant plus loin l'investigation des anciennes représentations ou décorations on doit surtout rechercher les figures qui nous peuvent révéler la notion de quelques constructions géométriques simples, ou qui témoignent tout au moins d'une conception géométrique des figures. On rencontre certainement des essais de perpendiculaires et de parallèles dès l'enfance même des civilisations; chez des peuples plus développés, on a construit sûrement ces lignes par des moyens mécaniques (au début, peut-être, par des moyens

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aussi simples que ceux que nous employons nous-mêmes pour tracer des lignes droites, des parallèles ou des perpendiculaires, au cordeau, on encore en faisant un pli à notre papier, etc.). Une constiuction plus perfectionnée doit cependant avoir été usitée quand on appliqua ces lignes, comme nous le disions plus haut, à rendre un modèle avec une échelle nouvelle.

Des ornementations oii les hexagones réguliers se trouvent employés de manière ou d'autre prouvent que l'on connaissait la construction simple de cette figure, dont le tracé n'exige même pas, il est vrai, de compas perfectionné; mais, en revanche, chez des peuples d'assez haute culture, on chercherait en vain l'emploi du pentagone ou du décagone réguliers, figures dont la construction est aussi plus compliquée : on ne rencontre pas une seule fois ces polygones sur les vieux monuments d'Egypte.

Les restes de hàtisses conservés ont une non moindre signification que celle des dessins. Même aux premiers degrés du développement des peuples on remarque l'effort qui tend à donner au plan une figure déterminée, rectangle ou cercle; dans les constructions plus parfaites, comme les temples et les pyi-amides d'Egypte, on dut recourir à des procédés géométriques pour établir les angles droits, ce dont il faut d'autant moins douter que les constructions sont exactement orientées aux points cardinaux : on savait donc renir compte, pour obtenir cette orientation, de la culmination du Soleil. Les formes des pyramides témoignent de la notion de figures géométriques déterminées, et il fallut une grande précaution pour en assurer la configuration exacte, de même qu'une entente très sérieuse de la mécanique était indispensable pour obtenir l'équilibre de monuments aussi puissants que les temples égyptiens, fermes jusqu'à présent sur leurs bases, ainsi que pour le transport et l'érection des obélisques.

Je me suis efforcé d'exposer ici ce que l'on doit entendre par préhistoire de la mathématique et d'indiquer quelquesuns des moyens par lesquels on peut l'étudier; j'espère, en même temps, avoir fait comprendre quelle peut être l'importance de cette étude, mais la brièveté de ces leçons ne me permet pas' d'investigations plus complètes et plus rigoureuses

b INTRODUCTIOX.

sur ce terrain : non seulement je dois dépasser les mathématiques préhistoriques mais aussi, en majeure partie, les mathémaliques préscientijiques, et j'entends par là celles qui consistent, simplement, dans un ensemble de règles obtenues par em|)irisme ou par expériences fortuites, — ce fut peut-être le cas pour la division en six de la circonférence, — ou bien encore sans doute, à des époques plus anciennes, à l'aide d'investigations plus exactes aujourd'hui perdues et, couséquemment, préhistoriques. Je ne dirai des mathématiques préscientifiques que ce qu'il en faut strictement dire pour qu'on se fasse une idée des matières connues antérieurement aux mathématiques scientifiques, et qui ont servi de base pdur les créer; aussi me faut-il donc, en introduction à la Géométrie grecque, exposer ce que les Grecs ont présumablement appris des Egyptiens et des Babyloniens.

Mais, en revanche, je ne pourrai traiter du calcul des Grecs que comme une introduction préscientitique à celui qui parut lorsque les Indiens inventèrent la représentation des nombres, usuelle aujourd'hui, à l'aide de chiffres avec valeur dépositionslé calcul numérique des Grecs était en effet bien inférieur, sous tous les rapports, à ce qu'ils savaient, par ailleurs, de mathématiques et, en second lieu, quoique leurs grands mathématiciens aient pu se servir avec succès de leurs signes numériques et de leurs moyens de calcul, nous n'en pouvons rien tirer qui dépasse ce que nous traitons autre part comme mathématiques préscientifiques. Ceci soit dit, toutefois, avec la restriction que, peut-être, après plus complet examen, ces procédés de calcul apparaîtront meilleurs qu'ils ne nous semblent actuellement (').

Car, s'il est une erreur préjudiciable et qui l'ait été, non seulement pour des recherches historiques comme les nôtres, mais encore en ethnographie, c'est celle qui consiste à mesurer la valeur d'une chose découverte, uniquement par

( ' ) Paul Tannory, la plus haute autorité en pareille matière, a déclaré qu'en essayant de s'exercer pratiquement à l'usage des signes numériques grecs, il les a trouvés beaucoup plus appropriés au calcul qu'ils ne nous le semblent, habitués que nous sommes, dès l'enfance, au maniement d'un autre système de chillVes.