Égyptiens et Babyloniens

En ce qui concerne ces deux peuples, comme nous l'avons déjà dit, nous ne voulons mentionner que brièvement leurs connaissances et leurs aptitudes mathématiques, au temps où ils entrèrent en contact avec les Grecs, connaissances que ceux-ci auront pu leur emprunter.

Commençons tout de suite par les Égyptiens.

Les écrivains grecs, sans exception, nous apprennent que leurs plus anciens savants nationaux ont eu pour maîtres les Égyptiens, et rapportent encore comment leur fut ouverte la Science des prêtres d'Egypte. Ce furent, nous dit-on, les débordements du i\il qui conduisirent les Égyptiens à s'occuper de Géométrie car, une fois les inondations jjassées, on s'efforçait de réintégrer exactement chacun dans son fonds. Il est clair, en tous cas, que la très grande valeur des étroites mais fertiles bandes de terre sises entre le désert et le fleuve dut nécessiter un arpentage exact, et la haute importance des règles égyptiennes en celte matière ressort encore du fait suivant : lors même que les Grecs eurent si brillamment développé la Géométrie, ce furent encore ces propres règles qui, en substance, servirent aux arpcnieuys {a ff/-iniensores) romains, lesquels ne comprenaient sûrement que d'une façon très restreinte les règles établies par les Grecs.

Peuple civilisé sous maint rapport, très commerçant et, de plus, bâtisseur comme nous l'avons signalé déjà, les Égyptiens ont eu besoin de certaines facilités de calcul et de notions géométriques plus étendues que celles usitées en arpentage; et nous trouvons encore une autre preuve de leur entente des mathématiques dans leur Astronomie dont l'importance, toutefois, était loin dètre comparable à celle de l'Astronomie babylonienne.

Quant à ce que surent les Égyptiens à une époque relativement moderne, nous le déduisons, partie de ce que les

« INTRODUCTION

Grecs et, postérieurement, les Romains ont appris d'eux, partie, par tradition directe, de quelques textes. En tous cas, cela ne paraît avoir que fort peu différé de ce qu'ils savaient déjà vers 1700 à 2000 avant J.-C, à savoir, d'après un papyrus fort antique, le Manuel de calcul du scribe Ahmès : aussi cette collection de problèmes, avec leurs solutions, estelle la meilleure source où puiser quelque connaissance des Mathématiques et du Calcul égyptiens.

En utilisant cette source, ainsi que d'autres encore, nous ne voulons, conformément à notre |)lan, entrer dans aucun détail sur la manière dont les Égyptiens représentaient les nombres entiers et s'en servaient pour compter. Pour les fractions, ils les décomposaient en quantièmes, c'est-à-dire en fractions ayant jiour numérateur un; le Manuel d'Abmès contient une Table de pareilles décompositions de quotients, avec le dividende 2 et les diviseurs de 3 jusqu'à 99, Table qui

se termine par — ^= -— -] -; d'ailleurs cette décompo-

sition fut également employée par les Grecs et, quelque peu

pratique quelle ait été en apparence, son usage a cependant

fait remarquer la composition variée des nombres entiers.

Dans leur calcul nommé Uau, les Egyptiens savaient résoudre des problèmes qui s'expriment, en notre langue mathématique, par des équations du premier degré à une inconnue : aa: + bx -\- ex -\- . . . z=^ d , où a, b, c, . . ., d sont des nombres entiers, ou des fractions elles-mêmes composées de quantièmes; ils traitaient en outre des problèmes qui appartiennent aux règles de société, quelques-uns même dont la solution demande des progressions simples, arithmétiques et géométriques.

Dans la solution de problèmes qui, posés algébriquement, auraient dépendu d'équations delà forme susexprimée, nous rencontrons pour la première fois un emploi de la méthode de \<y fausse position, que nous retrouverons souvent plus tard : elle consiste à substituerai: une valeur d'essai x^; si l'insertion de celte valeur donne d^ «u lieu de d, alors

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En Géométrie, la détermination des surfaces devait, comme nous l'avons dit, constituer un des points capitaux.

Or, chez les Égyptiens, ainsi f|ue chez plusieurs autres peu|)les, il était assez usuel de calculer la surface d'un quadrilatère de côtés a, b, c, d avec la formule inexacte

et l'aire d'un triangle de côtés a, a et b, avec la formule

limite de la précédente; mais ces formules ne donnent point, au reste, de mauvaise approximation, du moment que les angles du qiuulrilatère ou les angles adjacents au côté 6 du triangle s'écartent peu de l'angle droit : l'expression de la surface ne comporte alors qu'une erreur que nous pouvons appeler du second ordre. Bien que l'établissement de ces formules ait pu conduire à les employer en d'autres cas, les Égyptiens, autant qu'on le peut conclure avec quelque assurance de la grandeur des côtés dans les exemples rencontrés, les employaient de préférence là où elles fournissent une bonne approximation; au contraire, les arpenteurs romains, imitateurs des Égyptiens, allèrent jusqu'à les employer pour le triangle équilatéral bien qu'ils possédassent, pour ce cas, de meilleures méthodes de calcul.

Les Égyptiens calculaient la surface d'un cercle de diamètre d

-d\ , ce qui revient à - ^= ( — j ^ ou

3,i6; les formules employées montrent que les Égyptiens, tout comme nous, ont utilisé comme unité de surface le carré dont on prend le côté pour unité de longueur; la construction d'angles droits, en terrain plan, s'opérait, semble-l-il, par celle d'un triangle ayant respectivement pour côtés 3, 4 et 5, et, dans la construction des Pyramides, ou du moins dans la détermination de leurs dimensions, on paraît avoir utilisé la grandeur du rapport entre la demi-diagonale de la surface de base et une arête, c'est-à-dire ce que nous ap •