DB^:DX2=XZ: TZ

où D, B, T, Z sont des points connus, et X un point cherché, sur une droite. Dans le manuscrit conservé dont nous avons déjà parlé — et (|ui est peut-être d'Archimède lui-même, pour former un appendice à son deuxième Livre sur la sphère et le cylindre, — ce problème est résolu d'une manière qui se peut l'cndre comme suit : écrivons son équation

sous la forme-- = -j puis égalons ces deux quotients a -?

ao- c y

dans lequel e est un segment quelconque; x aly peuvent alors être déterminées comme coordonnées d'un point d'intersection de la pai'abole ar- = . — y avec l'hyperbole {a — œ)y = ce.

Dans les applications à la division de la sphère, les constantes que nous avons désignées ici par a et c sont positives, et il s'agit de déterminer une valeur de .r telle que

G < j: < ;ç «, car X doit tomber entre D et B, extrémités du o

diamètre de la sphère, DB=: tc DZ; mais la représentation que

l'on obtient pour l'équation, à cause des diflférentes positions

qui peuvent être attribuées à Z, à Ton bien au point cherché X,

comprend toutes les équations de la forme

œ^ -+- ax- -h b z= o,

et le problème peut se poser de telle sorte que toutes les racines soient acceptables.

Nous avons donc là un exemple très net de ce que nous avons déjà dit précédemment : l'ignorance des Grecs, en ce qui concerne notre emploi des signes d'opération, constituait bien une lacune que la représentation géométrique rendait cependant moins sensible.

l8o LES MATHÉMATIQUES GRECQUES.

En quoi vont désormais consister les conditions limites dans les divers problèmes? d'une part, le point X tombe ou non sur l'intervalle exigé par le problème proposé; mais, ce qui demeure capital dans toutes ces questions, c'est de reconnaître les cas limites oîi les sections coniques sont tangentes, cas où, par conséquent, deux racines coïncident, car c'est par là que se l'ait la transition entre les cas où ces deux racines sont réelles et où, selon la conception alors en vigueur, elles pouvaient exister ou non.

Le fragment conservé indique que ce cas de transition a

lieu si œ ^-rci; par conséquent si W-c

cà. Au contraire.

si x'i^a,oï\ aura b'-c<. — «% condition correspondant à ^3 27

deux solutions.

La démonstration est facile grâce aux tbéorèmes sur les

tangentes aux sections coniques : en effet, si la tangente de la

parabole est elle-même en contact, au point P, avec l'hy-

perbole ayant pour asymptotes les droites 7 = 0 et ^^ = (7, P sera le milieu do la portion de tangente que sectionnent les asymptotes; et, de plus, le point S, intersection de la tangente avec l'axe des abscisses qui est tangent au sommet de la parabole, sera le milieu de la distance qui existe entre le point P et l'intersection de cette tangente avec l'axe des ordonnées. 11 en résulte que DQ, abscisse de P, est égale

LIEUX ET PROBLÈMES SOLIDES. l8l

En parliculic'i-, comme le dit Archimède, la condition de possibilité

est ellectivemcnt remplie dans le cas où, pour la division de la sphère, le point H tombe en Q, et T entre Q et Z. On n'obtient pourtant qu'une seule solution, car les points X tomberaient de dilîérents côtés par rapport à B et, pour le problème spécial dont s'occupe Archimède, on ne peut utiliser que celui qui tombe sur I)B,

Archimède ramène donc son problème sur la division de la sphère à une équation cubique de forme très générale : ainsi qu'on l'a déjà remarqué (p. i53), cette équation fournit également une démonstration pour le dernier théorème du second Livre sur la sptère et le cylindre; elle trouve encore son application dans quelques {|uestions, posées ailleurs par Archimède, sur la détermination de segments d'ellipsoïdes et d'iiyperboloïdes de volume donné.

En revanche, la détermination des normales par Apollonius est un type des problèmes que Ton résout directement

Fis;. 25.

au moyen des sections coniques, sans avoir recours à aucune équation. Nous nous contenterons d'en donner ici la solution en langage algébrique moderne : soient 0 un point {xi,y^) de la normale en un point M{x,y) d'une section conique, G le point d'intersection de cette normale avec l'axe principal, N la projection de M sur le même axe que nous prendrons pour axe des abscisses; pour embrasser d'un seul

l82 LES MATHÉMxiTlQCES GRECQUES.

coup les cas particuliers traités par Apollonius, nous pouvons écrire avec les signes actuels,