J NG

— /i .r, — ^ — NG

NG est la quantité dite maintenant sous-normale, et elle équivaut à p dans la parabole; ainsi l'équation trouvée se change en

ocy — {x,—p)y— YiP = o.

Pour l'ellipse et l'hyperbole, la sous-normale est respect ivement égale a =p ~o^> en prenant le centre pour origme, et l'équation s'écrira

Dans les deux cas, (^r,, }\) étant donné, le point {.r,y) sera situé sur une hyperbole : les points d'intersection entre cette hyperbole et la courbe donnée seront les pieds des normales issues du point {xi, j,).

Apollonius emploie précisément cette détermination pour rechercher en détail combien on peut mener de normales à partir des difTérents points du plan et, dans la discussion de cette question, l'objet essentiel est de déterminer les points (•^i> /i) dont les hyperboles correspondantes soient tangentes à la courbe donnée : le lieu de ces points constitue, en effet, la transition entre deux régions du plan telles que, des points de l'une, on puisse mener deux normales de plus que des points de l'autre. Et, en cherchant les conditions d'un pareil contact, Apollonius trouve comment on peut déterminer l'ordonnée d'un point de ce lieu, connaissant son abscisse.

La courbe est celle que l'on nomme aujourd'hui la développée de la section conique; mais, ni dans Apollonius, ni chez les Anciens en général, il n'est question d'aucune étude plus spéciale sur ce sujet, autre que celle que nous venons d'indiquer.

(;éom(^:trh: c.vLf:iL.iMi:. i83