Géométrie calculante

Par ce fine nous avons appelé {(nintégralinnsfl Arcliimède, par la tlK'orie des sections conif|ues d'Apollonius, cl rap|)licaliou qu'en firent les Grecs à la discussion de prohiènies que notre Analyse fait dépendre d'équations du Iroisiènie et du quatrième degré, nous voyons jusqu'à quelle liauteur s'étaient élevées, soit la Géométrie, soit les autres Mathématiriues grecques représentées sous forme géomélri(|ue. Nous avons également constaté la rigueur avec laquelle on s'assurait de la valeur universelle des Mathématiques; et, cependant, nous devions souvent rencontrer l'occasion de dire que cette tendance à la généralisation fut cause qu'on attacha trop peu d'importance au développement des ressources du calcul numérique réel, alors que c'était par lui seul que les Mathématiques pouvaient fournir des applications praticjues.

Bien entendu, toutefois, on ne négligea point complètement ce côté de la science : on continua d'appliquer à la mensuration du sol les propositions géométri(pies qu'on tenait des arpenteurs égyptiens, et l'on y joignit encore l'applicaiion des théorèmes les plus simples que l'on découvrait soi-même. Il serait, en effet, fort inconséquent d'admettre que des mathématiciens assez sagaces pour donner à leurs résultats une forme si générale, ne l'étaient point suffisamment pour voir l'usage dont ces résultats étaient susceptibles, en particulier pour les problèmes numériques qui se présentent dans la pratique; ceux qui élaborèrent une théorie aussi subtile des proportions ne pouvaient certainement ignorer le moyen de traiter des problèmes pratiques qui dépendent d'une règle de trois, simple ou composée.

Héron, chez qui nous rencontrons également l'un des résultats géométriques dont l'application pratique était des plus immédiates, à savoir la détermination de la surface d'un triangle à l'aide de ses côtés. Héron, dis-je, témoigne, dans ses collections de problèmes, que l'on appliquait numériquement au moins les plus simples théorèmes de planimétrie et de stéréométrie, et que l'on résolvait des équations du second degré. Mais on empruntait ces applications à un domaine

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restreint de la Géométrie, et Héron se contente d'un médiocre degré de précision pour ses calculs : ces indications montrent bien que, en fait, on a raison d'estimer assez peu ce côté de la Mathématique grecque.

Cette entrave dans l'application aux calculs réels, pendant les meilleurs jours de la Géométrie grecque, ne tenait pas exclusivement à ce manque d'aptitude pour le calcul dont nous avons déjà parlé (p. 46-5i) : les résultats mêmes de cette Géométrie n'étaient pas précisément appropriés à semblable usage. Les problèmes se résolvent, en etîet, sous forme de constructions : celles-ci, sans doute, peuvent souvent se transformer en calcul, comme cela se faisait certainement longtemps avant Héron; cependant il existe, même en se limitant à la Géométrie élémentaire, tout un domaine important où cette transformation n'est pas réalisable, à savoir celui où les quantités que l'on doit déterminer les unes par les autres ne sont plus simplement des segments, des surfaces et des volumes, mais bien aussi des angles.

En d'autres termes, aux plus beaux jours de l'époque alexandrine, les Grecs ne possédaient point encore de Trigonométrie; les grands géomètres et astronomes de cette époqte devaient seulement commencer à combler cette lacune.

Avant que cela n'eût lieu, on n'était pourtant point tout à fait incapable des recherches que l'on fait aujourd'hui par la voie trigonométrique : les théorèmes 12 et i3 du second Livre des Éléments d'Euclide en sont la preuve, puisqu'ils expriment la même chose que la formule

a- = b- -h c- — 2 bc cos A ,

et la peuvent remplacer dans toutes les questions générales pour lesquelles l'angle A n'est, ni donné, ni cherché en mesure d'angle. Comment saisissait-on la connexité entre la grandeur des angles et le rapport des segments? on le voit aux propositions des Data d'Euclide disant qu'un triangle est donné, selon sa forme, sous certaines conditions : d'après la proposition 80 de ce Livre, c'est le cas, par exemple, pour un triangle dont on donne un angle, ainsi que le rapport entre le rectangle des côtés qui le comprennent et le carré du côté

GÉOMÉTRIE CALCULANTE. lOO

opposé — les autres angles du triangle et les rapports entre ses côtés se déterminent donc à l'aide de ces quantités.

Du reste, les Data renferment encore des propositions plus compliquées de cette nature, mais elles ne peuvent servir au calcul numérique que si, sous une forme ou sous une autre, la relation est déterminée entre un angle donné, en mesure d'angles, et le rapport des segments : on connaissait bien pareille relation pour les quelques angles au centre de polygones réguliers, dont on savait alors construire et calculer les côlés, mais ce calcul paraît avoir été longtemps négligé, -et il n'était (juestion que d'angles tout à fait particuliers.

De tout ceci l'on peut conclure que l'application de la Mathématique à l'Astronomie, commencée avec Rudoxe, ne pouvait encore permettre des déterminations bien précises au temps d'Euclide. En effet, ce sont précisément les angles eux-mêmes qui sont susceptibles d'être observés avec quelque exactitude, et les mathématiciens ne savaient point s'en servir : ce qui explique, en retour, que l'on ne prêtât aucun soin à de telles déterminal ions.

Dans l'école d'Eudoxe, et surtout dans celle de Platon, on pallia sans doute cette indifférence de la même manière que l'indifférence pour le calcul explicite des quantités irrationnelles : on estimait alors que, puisque aussi bien dans les déterminations empiri((ues il n'est point d'exactitude mathématique possible, aussi bien on pouvait se contenter d'une détermination grossière. Si l'on faisait de ces déterminations ■des postulats, il ne s'agissait plus que d'en déduire, avec une sûreté absolue, les résultats qui découlaient des hypothèses une fois posées.

Malgré qu'on en fut ainsi venu à négliger la mesure des angles, les grandeurs d'angles s'imposaient néanmoins d'ellesmêmes en Astronomie : elles pouvaient se présenter, par exemple, comme rapports entre les temps employés pour parcourir un arc et le cercle entier d'un mouvement uniforme. Quant à la manière dont on savait appliquer cette sorte de déterminations pour des déductions mathématiques exactes, nouveau cas de l'imprécision d'alors dans la détermination des angles, nous en trouvons un exemple dans l'étude, par Aristarque de Samos, sur la distance et la

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grandeur du Soleil et de la Lune : pour celte recherche qui nous a été transmise, et que d'autres, Eudoxe notamment, avaient préparée avant Arislarque, on se sert du rayon de l'ombre terrestre pour la distance de la Lune à la Terre — rayon dont on calcule le rapport à celui de la Lune par la durée de l'éclipsé — et de la distance angulaire entre le Soleil et la Lune au moment où cette dernière a exactement une moitié éclairée. Pour le reste, on opère selon la théorie des proportions, sur les rapports des distances et des rayons, tandis que l'on trouve le dernier angle en mesure d'angle : son complément est évalué par Aristarque à 3°, d'où il déduit que la distance du Soleil est 19 fois aussi grande que celle de la Lune, ce qui revient à admettre, dans notre langage trigonométrique,

sin 0"^=-. — .

Pour y parvenir, Aristarque utilise un lemme qui, Iri-

gonométriquement , s'exprime de la manière suivante :

l'angle b croissant de o à - ? le rapport - — - urandira, et y.

° 2 ' ' sin 0 "- tang 0

diminuera. Il considère ce théorème comme connu, et nous

en voyons sans difficulté la liaison avec des recherches anté-

i-ieures dont il rend le sens encore plus clair : -^ — ,, et -^

' <è\nO tang 9

sont en elTet proporlionnels au rayon vecteur et à l'abscisse

(,1e la quadralrice {cf. p. 62), de sorte que les résultats cités

se rattachaient naturellement à l'étude de cette courbe.

En outre, le calcul des côtés des polygones réguliers avait fait