I TT I

connaître les valeurs sin -7= -> tang,^=:-^;^ > ou bien

encore tang |-' < ~ ? — en tenant compte de l'inégalité v/â > ^ : ^812 ° ^ b

d'où l'on déduit, pour la détermination de sin 3° ou sin -r-?

. TT I . 7: I . t: t: 2 5 I

sin -;- > — siii - = — et sin -T- < tang ^- < — — = -3; bo 10 b 20 bo bo 10 12 18

d ou, approximativement, sin 3°=: —

GÉOMÉTRIK CArcLLANTE. 187

Grâce à la double iiié^j^alUé

sin 9< 5< [au<^0

que les Grecs cxprimenulc la manière suivante : le |)érimèti"e (l'un polygone inscrit est plus petit et celui d'un polygone circonscrit est plus grand que la circonférence du cercle; le même procédé peut s'ai)pliquer à une détermination approximative de T.. On a ainsi

On savait déjà faire des déterminations de cette nature au temps d'Antiphon et de Bryson (p. 56-57) 6'> ^n reconnaissant leurs fautes, on fut à même, désormais, de les éviter ; de même, à l'époque d'Euclide, on possédait également les moyens géométriques permettant d'ai'river aune plus grande précision, moyens qui consistaient dans le calcul des périmètres de polygones réguliers ayant un plus grand nombre de côtés. A la vérité, Euclide représente expressément, telle quelle, l'irrationalité des côtés de polygone, se bornant à ceux que Ton applique à la construction de polyèdres réguliers, et il ne nous indique nullement dans son Livre tout ce que l'on pouvait faire dans ce genre; mais il est bien probable que l'on ne s'était point uniquement occupé des côtés en question. On peut pareillement conclure, en considérant l'emploi que fait Aristarque du côté de l'octogone régulier

circonscrit ( 2 lang ^

Mais, pour faire un véritable usage des ressources géométriques dont on disposait, soit pour une détermination plus exacte 'de ::, soit pour une application plus précise des mesures d'angles, il fallait d'abord que le besoin s'en fît sentir et, ensuite, il fallait alors une grande énergie pour mener jusqu'au bout un calcul où il y avait à extraire différentes racines carrées : or ce besoin se fit sentir notamment après la détermination plus précise de l'obliquité de l'écliptique parEratosthène, et dans sa mesure d'un degré du méridien. Dans cette dernière question, pour appliquer la différence de hauteur du pôle et la distance de deux lieux de

l88 LES MATHÉMATIQUES GRECQUES.

longitudes presque égales au calcul du diamètre terrestre, il fallait avoir une assez bonne expression de n : c'est Archimède, dans sa Mesure du cercle, qui devait vaincre les difficultés de ce calcul ; aussi allons-nous donner iirièvement ici le contenu de son Ouvrage, bien que celui-ci ne nous fournisse malheureusement aucun éclaircissement direct sur la façon dont il surmonta la plus grande de toutes les difficultés en question, à savoir la détermination des racines carrées.

Archimède commence par montrer, au moyen de la démonstration par exhaustion, que la surface du cercle est la même que celle d'un triangle qui aurait la périphérie pour hase et le rayon pour hauteur : la quadratuie du cercle est ainsi ramenée au calcul de la circonférence. Il démontre alors que le rapport de cette circonférence au diamètre, c'eslà-dire le nombre que nous appelons -, est plus petit

que 3 - et plus grand que 3 — : en effet, le périmètre du