gone inscrit est plus grand que 3 — d, et le périmètre

du 96-gone circonscrit est plus petit que 3 ~d, en désignant

par d le diamètre du cercle.

Archimède parvient à ce résultat en déterminant les rapports entre les côtés d'un triangle rectangle ayant un angle de

( -.c |, à l'aide des rapports entre les côtés d'un triangle rectangle possédant un angle j?. S'il cherche alors une limite supérieure pour la circonférence, il donne aux triangles

d'angles a: el- a: un côté commun adjacent à ces angles, tandis

que, si c'est la limite inférieure qu'il désire obtenir, il donne au contraire l'hypoténuse commune à ces triangles; mais, dans les deux cas, avec notre langage trigonomélrique moderne on peut rendre la relation trouvée entre les rapports par

I sin j? / tang^r

tang-:r=; ou

2 I H- cos .V \ sec X -t- I

Cependant cette conformité n'apparaît point dans l'application : en effet, dans l'une des recherches, on se sert des

(iÉOMr^:TIUn CALCULANTE. 189

limilcs supérieures pour les iMcines carrées auxquelles donne lieu la transition entre les rapports des différents côtés du même triangle reclanfile (sin-x -i- cos^^ = i), tandis que, dans l'autre (;as, on emploie les limites inférieures, limites f|ui sont exprimées par des valeurs approximatives diversement formées.

Partant d'un triangle rectangle d'angle ^> et passant à plusieurs reprises à de nouveaux triangles, Archimède trouve, suivant nos notations, que

96 ^46731 avec

sin — ^ >

et il parvient ainsi aux limites de t: que nous avons mentionnées ci-dessus.

La glace une fois rompue par le travail d'Archimède, Apollonius peut fovuMiir un calcul encore plus précis de t., et c'est peut-être à lui qu'il convient d'attribuer la valeur 3, i4i6 : c'est le degré de précision que l'on trouvera plus tard dans les Tables de cordes d'arc de Ptolémée et chez les écrivains indiens.

L'Ouvrage d'Archimède renferme, en fait, quelques calculs

des limites inférieures de sin - et des limites supérieures de

tang-^ pour « =: 6, 12, 24, 48, 06 : ce dernier fournit aussi n

une limite supérieure utilisable de sin A? et l'Ouvrage

d Arislarque montre que l'on savait s'en servir.

La détermination de 7:, par Apollonius, dut conduire à

une évaluation plus précise encore du sinus d'un petit arc,

ou de la quantité dont les valeurs, mises en Tables, nous ont

été transmises par de plus récents astronomes grecs : nous

voulons parler de la corde de l'arc double. Pour établir une

Table complète des cordes aux multiples de ce petit arc, il

n'est besoin de rien autre que de connaître le théorème sur

igO LES MATHÉMATIQUES GRECQUES.

les quadrilatères inscrits, dit aujourd'hui théorème de Plolémée, parce que celui-ci en fait expressément usage pour le calcul de sa Table de cordes — ou bien encore tout autre théorème applicable de la même manière. Un tel théorème put être facilement trouvé au temps d'Archimède et d'Apollonius et, après eux, dans le moment où le besoin réel d'une Table de cordes se faisait sentir; mais la plus grosse difficulté fut certainement de mener à bien les calculs nécessaires de racines carrées. Or cette difficulté fut précisément cause qu'on améliora ad hoc les méthodes employées : comme nous l'avons dit précédemment (p. 5o), ce progrès fut connexe à l'introduction des fractions sexagésimales.

La première Table de cordes d'arc, pour laquelle nous ayons un témoignage certain, date du deuxième siècle avant notre ère et fut dressée par le grand astronome Hipparque; elle fut perdue, d'ailleurs, ainsi qu'une autre Table moins ancienne de Ménélas.En revanche, la Table de cordes qui se trouve dans la Syntaxe de Ptolémée nous a été transmise et procède par intervalles d'un demi-degré jusqu'à un arc de i8o°; fondée sur celles qui l'avaient précédée, elle doit avoir été plus complète qu'elles et présenté une plus grande exactitude : et puisque le sinus est la moitié de la corde de l'arc double, cette Table joue donc le même rôle qu'ime Table de sinus d'arcs allant jusqu'à 90° par intervalles d'un quart de degré. Le diamètre du cercle est supposé égal à 120; les cordes sont exprimées d'après le système sexagésimal en entiers, minutes et secondes, c'est-à-dire, comme dans la mesure encore usuelle des angles, en fractions ayant pour dénominateurs 60 et 60^; le rapport des cordes au diamètre est donc indiqué en fractions ayant pour dénominateur 432ooo. Pour leur emploi dans l'interpolation, sont adjoints les trentièmes des différences entre les cordes consécutives, trentièmes qui correspondent aux différences d'arc d'une minute.

Pour calculer cette Table, Ptolémée utilise principalement le théorème sur le quadrilatère inscrit; on peut l'employer pour calculer directement la corde de la sonnue ou de la ditïérence de deux arcs : par là môme ce théorème pourrait servir pour obtenir aussi les expressions de la corde de l'arc double, ou moitié, mais Ptolémée déduit

UÉOMÉTRIi: CALCULANTE. IQI

relto (leniière expression d'une construclion parliculière qui

ji^ / [ cos ce

équivaut à notre formule sin— =4/

En parlant des cordes connues on peut arriver par celle voie à calculer celles de i°3o' el de o°^b' : à l'aide de ces cordes, on calcule ensuite celle de l'arc de i" par une sorte d'interpolation qui repose sur ce (|ue le rapport entre la corde et l'arc diminue si l'arc augmente, c'est-à-dire que

corde o"4'^' corde i° corde i°3o'

Ptolémée indique nue jolie démonstration du théorème géométrique employé ici, et qu'utilisait aussi Aristarque. Une fois trouvée la corde de l'arc de i". le théorème de Ptolémée sert au calcul successif de toutes les autres cordes.

Et puisqu'une Table de cordes joue le même rôle qu'une Table de sinus, on peut, si l'on veut, avec cette Table el le théorème de Pythagore, délerminer tout élément (côte ou angle) d'un triangle rectangle plan au moyen de deux autres éléments, dont un côté; de la sorte, quoique par des calculs assez pénibles, il est possible d'o])tenir les déterminations que comporte la Trigonométrie plane. Il y a, dans la Syntaxe, différents exemples de semblables déterminations; mais il importait surtout aux astronomes de pouvoir faire des calculs de Trigonométrie sphérique, et, pour cela, il était indispensable, avant tout, d'avoir une Géométrie sphérique.

Dans les applications des Tables de cordes, Ptolémée fait usage d'une détermination de deux arcs, œ et /, connaissant leur somme et le rapport de leurs cordes : il la représente géométriquement, et elle correspond à notre formule

I , , sin r — sin r i ,

tans- ix — y) ^ -. — - tang- (x -f- y).

""2 "^ sm^'-rsinj 2

Seulement, comme il ne possède que des Tables de cordes, non seulement il est nécessaire d'y réduire noire second membre, mais, aussi, il faut déduire le rapport d'un côté d'un triangle rectangle à riiyjjoténuse de celui des deux côtés, comme cbaque fuis qu'il s"agit de déterminer un angle par sa tangente.

ig2 LES MATHÉMATIQUES GRECQUES.