Géométrie sphérique

En fait de Géométrie sphérique, nous n'avons que le théorème sur le rapport entre les volumes de sphères dans les Éléments d'Euclide.

Cependant les Grecs s'étaient occupés déjà de cette question pour l'Astronomie; au théorème mentionné chez Euclide, Archimède ajouta, il est vrai, la détermination exacte de la surface et du volume de la sphère, mais les astronomes ne pouvaient encore en rester là : il leur fallait, notamment, des moyens pour caractériser la position de points sur la sjdière, d'étoiles au ciel, de lieux sur la terre.

Ils y parviennent en ra[>porlant tout à un grand cercle, considéré comme connu d'une façon ou d'une autre, à l'horizon, l'équateur ou l'écliptique pour le ciel, à l'équateur sur la terre, et ce moyen ne ditîère guère de l'emploi actuel des coordonnées sphériques ordinaires; tel est du moins le procédé qu'emploie Eratosthène lorsque, pour déterminer la grandeur de la Terre, il mesure l'éloignement entre deux lieux de même longitude et dont on connaît la différence de latitude; toutefois les désignations de longitude et de latitude ne se trouvent que dans la Géographie de Ptolémée. Au reste, nous pouvons rappeler ici que la division de la sphère, utilisée au douzième Livre des Éléments par Euclide [cf. p. i40» répond exactement à une division par de telles coordonnées.

On peut réaliser une application plus ou moins directe des coordonnées sphériques pour figurer les i)oints célestes, ou terrestres, sur une sphère faite au tour : c'est, en tous cas, ce qui fut sûrement effectué pour les points célestes.

Grâce au développement élevé qu'ils avaient imprimé à la Géométrie, les Grecs étaient encore en état de résoudre des piohlèmes plus difficiles, comme ceux qui s'offrent quand on veut représenter convenablement une sphère sur un plan, et ils obtinrent même différentes applications de la projection stéréograi)hique, représentation importante et intéressante au point de vue géométrique. Cette projection consiste, comme on le sait, en une projection centrale de la sphère, à partir d'un point fixe de celle-ci, sur le grand cercle qui a pour pôle le i)oint fixe : elle se distingue essentiellement

GÉOMÉTRIK SPHÉRIQLE. igS

])ar ces faits que, i°, chaque cercle tracé sur !a sphère est |)rojeté sur le plan suivant un cercle et que, 2", les angles conservent leurs grandeurs.

On sait, d'ailleurs, par les applications de cette projection (|ui nous sont conservées, que les Grecs connaissaient au moins la première de ces i)ropriétés, qui est en relation étroite avec la théorie des deux systèmes de sections circulaires sur un cùne oblique : on trouve bien une détermination des sections cycliques chez Archimède, mais Apollonius développe encore bien davantage la théorie des difîerentes sections d'un même cùne.

La projeclion stéréographique peut donc être considérée comme un fruit indirect des théories d'Arcbimède et d'Apollonius. Elle fut appliquée, au temps d'Hipparque, à un appareil qui servait à la détermination du temps, pendant la nuit, d'après la hauteur, à un instant donné ('), d'une étoile connue. Pour cela, on employait deux disques, l'un portant des projections d'étoiles connues, l'autre des projections de l'horizon et de cercles horizontaux — ces deux figures étant projetées à partir du pôle sud du ciel : il s'agissait alors simplement de tourner l'un des disques, autour de l'image du ]i(Me nord, de telle sorte que l'étoile observée vînt se placer sur le cercle horizontal correspondant à sa hauteur.

On trouve également une autre application de cette projection dans la Géographie de Ptolémée.

A côté de cette projection, d'une géométrie assez subtile, il en existait encore une plus simple : la projection orthogonale des astres sur le plan horizontal, sur le plan méridien et le premier plan vertical. Cn petit Ouvrage de Ptolémée, (jui nous est conservé sous le nom d'Analemma, nous fait connaître les constructions ([ui se rattachaient à ce système de coordonnées rectangulaires pour l'espace, constructions (jui sont d'ailleurs semblables aux opérations de la Géométrie descriptive; il nous en montre aussi d'importantes applica-

( ' ) Le même appareil (astrolabe planisphère) servait également à de'terminer l'heure pendant le jour, eu observant la hauteur du soleil, à la condition de connaître, par une Table, le degré du zodiaque occupé par le soleil. Cet instrument est resté en usage jusqu'à l'invention des horloges astronomiques. (T.) Z. i3

lions, soit au calcul trigonométrique, soit à des déterminalions mécaniques.

Pour mieux comprendre encore la nature de ces applications, nous allons en considérer un cas particulièrement simple, celui dans lequel il s'agit de trouver la hauteur h et l'azimut co du soleil à l'équateur, étant données la hauteur du pôle, 9, et l'heure, v; avec les Grecs, nous compterons celle-ci <à partir du lever du soleil.

Dans ces conditions, soient ZHZ'H' le cercle méridien, ZOZ' l'axe vertical, POP' l'axe du monde, H OH' et EOE' les

Fis. 26.

traces de l'horizon et de l'équateur : l'arc HP ou ZE a donc la valeur donnée 9. Rahaltons alors Téquateur sur le plan du méridien autour de sa trace EE' : si le soleil prend la position S, l'arc PS est égal à l'heure connue, v, ce qui sert à déterminer le point S; la projection Sj, de S sur EE', sera la projection du soleil sur le plan du méridien, et la droite horizontale SiU, issue de Si, rencontrera le méridien en un points., tel que H'S. devienne égale à la hauteur cherchée h. En prenant pour unité le rayon du cercle méridien, nou> voyons par cette construction que

sin A = OU " OSi cos o = NScos o ^ sini; cos'^.

Ptolémée en tire la même conclusion que nous : toutefois, de légères modifications résultent de ce qu'il fait usage d'une Table des cordes, et qu'il en considère les rapports au dia-

r,fiO.Mf:TRIK SF'IIHIUQLE. 1 (j.>

mètre du cercle. D'autre part. S, S étant la distance du poini représentatif du soleil au plan du méridien, on voit que l'azimut 0), ou l'angle que fait avec le méridien un plan vertical passant par le soleil, est déterminé par la relalion

Si S cos V

tang w r^

UTi sin V sin

A la manière des Grecs, Ptolémée représente celte formule dans la tîgure en posant T,T = S, S, et en disant (|ue l'angle TiOT:=w est déterminé par le rapport des côtés du triangle rectangle T, OT, rapport qui délinil ceux cpii existent entre les côtés et l'hypoténuse.

Cependant, Ptolémée ne se borne pas aux seuls cas qui dépendraient, dans la Trigonométrie sphérique, de la résolution de triangles lectangles; il donne aussi la construction analogue (le la liauteur etde l'azimut d'un astre dont on possède la déclinaison et l'heure, connaissant la hauteur du pôle, et il montre comment on peut utiliser celte construction pour une détermination trigonométrique : or ce calcul dépendrait, dans notre Trigonométrie sphéri(jue, de la résolution d'un triangle sphérique quelconque à l'aide d'uri angle et des deux côtés adjacents. Il indique encore comment on peut obtenir l'arc diurne d'une étoile dont on possède la déclinaison; Hipiiarque connaissait déjà ce problème, et le résolvait probablement de la même manière.

Au temps de Ptolémée, il est vraisemblable que ces procédés étaient généralement connus des astronomes grecs: c'est de là qu'ils se sont propagés plus tard aux Hindous, aux Arabes et aux Européens modernes.

Néanmoins, dans la Grande Syntaxe, Ouvrage qui, avant tous, nous a conservé l'Astronomie grecque, Ptolémée ne lait aucun usage de pareilles méthodes : il exécute les calculs trigonométriques à l'aide d'un théorème qui comprend d'une manière très élégante les solutions de quatre des problèmes relatifs à un triangle sphérique rectangle. Il est vrai qu'à l'époque oi^i ce théorème fut trouvé par Ménélas, les procédés précédents, qui permettent de résoudre séparément les mêmes problèmes, doivent avoir été connus : mais, de toutes façons, ce théorème est établi dans les Sphœrica et, par

igÔ LES MATHÉMATIQUES GRECQUES.

diverses autres recherches géomét)iques intéressantes, cet Ouvrage sait encore se distinguer des Livres sphériques qu'on avait élaborés avant Ménélas en vue de l'Astronomie.

On voii notamment, dans les Sphœrica, que la notion du triangle sphérique, de ses côtés et de ses angles, était déjà courante : la dépendance d'égalité et d'inégalité des côtés et des angles, dans un ou dans deux triangles sphériques, est étudiée, aux deux premiers Livres de l'Ouvrage, avec un soin semblable à celui que met Euclide, au premier Livre de ses Éléments, pour élucider les questions correspondantes, quoique plus aisées, qui se rapportent aux triangles plans.

Le troisième Livre débute enfin par le théorème capital auquel nous faisions allusion tout à l'heure, extension sur la sphère d'un théorème planimétrique qui a beaucoup de rapports avec les sujets traités dans les Porismes d'EucIide, à savoir : si une transversale coupe en D, E, F les côtés d'un triangle ABC, opposés aux angles A, B et C de ce triangle, on a