CD AE BF

et il est facile de voir que le même théorème subsiste si l'on échange les lignes droites avec des arcs de grands cercles sur une même sphère, en même temps que les segments reclilignes avec les sinus des segments d'arc — avec les cordes d'arcs doubles, comme eût dit Ménélas.

Les applications que donne Ménélas de ce théorème sont également imitées des théorèmes plans que l'on pouvait trouver dans les Éléments et Porismes d'Euclide, ou dans les Ouvrages semblables : et si nous employons pour plus de simplicité l'expression do sinus, comme le font les auteurs hébraïques et arabes qui nous ont transmis l'Œuvre de Ménélas, perdue en grec, il est à remarquer, dans ces applications, que les sinus ne se rapportent jamais aux angles des ligures sphériques, mais seulement à leurs côtés ou à des portions de grands cercles. Ces sinus — ou, dans un cas spécial, leurs rapports iww sinus des compléments, c'est-à-dire indirectement les tangentes — remplacent toujours les segments rectilignes de la figure plane : on en peut conclure ([ue les Grecs ne songeaient nullement à mettre les angles

géo.métfuf: si'ii(^;riqi i:. 197

ot les côtés des triangles, jjlans ou splirriqnes, eu relations jiénérales les uns avec les autres.

Comme exemple des résultats que peut obtenir Ménélas au moyen de son théorème principal, nous citerons l'extension à la sphère du théorème d'Euclide sur la proportionnalité entre deux côtés d'un triangle plan et les segments déterminés sur le troisième côté par la bissectrice de l'angle ojtposé. L'ne application encore plus immédiate du théorème de Ménélas fut, plus tard, d'un grand usage cliez les astronomes arabes sous le nom de règle des quatre grandeurs : elle s'obtient en faisant {voir la Jig. 27) AF =^ AE := go°, et la formule de Ménélas se réduit à

sinBF sinBD

sin CE sin CD

Au reste, puisque ^lénélas ne parle pas des applications du théorème général à des calculs réels, nous ignorons s'il a songé à cette dernière application; tanilis (|ue Ptolémée, qui nous rapporte les résultats pratiques déduits de ce théorème par les astronomes grecs, ne s'occupe que d'une figure encore plus particulière dans laquelle, également, l'angle B =: 90".

En effet, les calculs de Ptolémée sont identiques à ceux (jue l'on utilise en Trigonométrie sphérique pour un triangle

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rectangle, au moyen des quatre relations qui existent entre les trois côtés, ou entre deux côtés et un angle : soient ABC ce triangle, rectangle en B, et D, E, F, les points où le grand cercle ayant A pour pôle coupe les côtés du triangle sphé-

ig8 LES MATHÉMATIQUES GRECQUES.

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