Décadence de la Géométrie grecque

Le développement de la Géométrie calculante que nous venons de suivre, chez les Grecs, continua quelque temps après l'époque où la Géométrie grecque atteignit, par ailleurs, son apogée ; en efîet, dans les recherches géométriques, ou purement mathématiques sous forme géométrique, études plus abstraites et que les Grecs poussèrent particulièrement loin, nous n'avons plus à signaler aucun progrès de quelque importance après Apollonius. Non sans doute qu'il faille entendre par là que l'activité mathématique eût cessé aussitôt après lui : les bases jetées étaient si fermes, les méthodes en usage étaient si fécondes que, tant que les circonstances le permirent, il dut être facile aux disciples des grands mathématiciens de continuer l'œuvre dans les directions abordées. — C'est aussi ce qui arriva. Mais cette voie, faisant suite aux recherches plus simi)les des maîtres, ne pouvait dès lors embrasser que des questions plus spéciales et moins accessibles à tous : on s'explique alors fort bien qu'elle n'ait pas éveillé désormais un intérêt aussi grand, pendant une période de décadence, et qu'elle n'ait pas trouvé autant d'intelligences ouvertes qu'avaient pu le faire les études moins compliquées qui lui servaient de fondement.

C'est ])Ourquoi nous en connaissons fort peu de résultats.

Etîectivement, nous n'avons que des renseignements isolés sur les travaux géométriques des successeurs ou des contemporains des grands géomètres.

DÉCADENCE DE I.A GÉO^IÉTRIE GRECQfE. IQQ

Ainsi, nous avons déjà parlé (p. G7) de Xicomède et de sa Conchoide.

On nous rapporlc de Perséc qu'il fit des recherches sur les courbes dites spirù/ues : on admet que c'étaient des sections (') de la suilace formée par la rotation d'un cercle autour d'un axe situé dans son plan (tore), surface dont nous avons indirectement rencontré un cas spécial chez Archytas. L'une de ces courbes fut peut-être antérieurement étudiée par Eudoxe, Jors(|u'il emploie une courbe appelée hippopède pour la représentation des orbites apparentes des planètes et du nœud de leur orlute : on a supposé que c'est celle que nous nommons aujourd'hui lemniscate (-).

La cissoïde de Dioclès est bien connue de nos jours, et elle constitue un exemple utile pour l'application du Calcul différentiel et intégral à la Géométrie; d'ailleurs, on est encore redevable au même auteur d'une nouvelle solution de l'équalion cubique d'Archimède, à l'aide des sections coniques (p. 178).

En suivant la roule frayée par les diorismes des plus anciens géomètres, Zénodore compara les surfaces de polygones qui ont même périmètre : il aboutit à ce théorème que le cercle possède la plus grande surface parmi toutes les figures de même périmètre, il démontrait la même propriété pour la sphère, dans l'espace, et, du reste, nous eûmes déjà l'occasion d'indiquer une telle proposition chez Archimède (p. i52).

Quant aux plus importants des résultats fournis par Pappus, parmi ceux que l'on ne saurait faire remonter aux grands géomètres, il faut sûrement les placer à une époque immédiatement postérieure à celle de ces géomètres. Sans doute, d'autres propriétés purent se faire jour, plus tard, aux périodes passagères pendant lesquelles l'esprit mathématique se ranimait : aussi bien Pappus s'attribue à lui-même un de ces résultats, et nous allons en mentionner quelques-uns :

Outre la surface spirale plane (p. i5o), trouvée par Archi-

( ' ) l^robablement par im plan parallèle à l'axe de rotation. (T.)

(-) Lenimiscate sphérique. D'après la restitution de Schiaparelli, l'iiippopède

d'Eudoxe est l'intersection d'une sphère et d'un cylindre qui lui est tangent

intérieurement. (T.)

mède, on détermina des surfaces limitées par des spirales et qui sont, d'une manière correspondante, représentées sur la sphère : cette détermination reposait sur le calcul d'Archimède pour la surface sphérique.

La projection de la section d'une surface de vis à filet carré, par un plan contenant une génératrice, projection laite sur un plan perpendiculaire à l'axe de la surface, est une quadratrice.

Pappus s'attribue enfin l'important théorème général suivant :

Le volume du solide engendré par une aire plane, tournant autour d'une droite de son plan, est égal au produit de cette surface par le chemin parcouru par son centre de gravité durant la révolution.

Du reste, cette propriété prit plus tard le nom de règle de Guldin, d'après le nom de celui qui devait la retrouver; elle ne diffère pas sensiblement de la représentation géométrique qui était appliquée déjà, au temps d'Archimède, aux intégrations nécessaires pour déterminer le centre de gravité — mais Pappus a toutefois un réel mérite pour l'avoir énoncée d'une façon générale.

On trouve encore, chez ce mathématicien, une extension du lieu à quatre droites {cf. p. 176). Il définit, en effet, une certaine courbe par la propriété que voici : le rapport entre les produits des distances d'un point de la courbe à deux groupes de droites données en nombre arbitraire possède une valeur connue; — conformément au cinquième Livre d'Euclide, le rapport de ces produits est alors représenté comme étant un rapport composé [cf. p. 120), et si Pappus n'indique aucune propriété de la courbe qui résulte de cette définition, il y eut là néanmoins un point de départ important pour la Géométrie analytique de Descartes.

Quelque intéressants que puissent être plusieurs des résultats que nous signalons ici, une circonstance exprime bien, cependant, que l'intervalle de temps écoulé entre Apollonius et Pappus ne devait entraîner, en Géométrie, aucun progrès sérieux et durable : c'est que, en dehors des renseiguements nombreux et importants sur les travaux des anciens mathé-

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maliciens, renseignemenls dont nous nous sommes largemont servi, il n'y a rien à signaler, en fait, dans Pappus, comme théorèmes véritablement nouveaux. Il n'est donc pas étonnant que ces cinq cents années aient fait régresser considérablement la science et l'intelligence des trésors mathématiques du passé : on s'en aperçoit encore mieux, notamment, aux lemmes multiples que l'on croyait devoir joindre aux Ouvrages anci(Mis, et que Pappus nous a conservés pour cette période; ils donnent, en effet, pour chaque détail, une explication méticuleuse qui fait ressortir combien peu l'on avait su garder la compréhension de l'ensemble.

Et si, mainlenanl, on se demande comment une telle décadence fut possible pour une science aussi bien établie, aussi richement développée f|ue la Géométrie grecque, on est tenté, sans doute, d'en allriijiior la cause aux diverses circonstances extérieures (|ue nous indiquions dans notre aperçu historique. Encore n'est-il point là d'explication suffisante, comme nous en pouvons juger selon Pappus : beaucoup d'écrits anciens avaient été conservés; par eux, semble-t-il, l'esprit mathématique perdu eût pu être recouvré, et reprise l'évolution interrompue. Il n'en fut rien cependant, dans l'antiquité : il fallut, chez les Arabes, puis chez les Européens des temps modernes, que l'on apportât à l'étude des travaux antiques une originalité toute fraîche, féconde elle-même dans de nouvelles directions, avant de pouvoir s'approprier parfaitement la substance de ces recherches mêmes.

La raison de cette décadence, comme de cette impossibilité d'une résurrection, il la faut alors chercher dans les défauts que présentaient les écrits des anciens dont on était toujours en possession; sans doute nous les avons indiqués en passant, mais, une fois encore, il est utile de les bien tous mettre sous les yeux.

Un premier défaut tient précisément à ce qui, par ailleurs, excite notre plus grande admiration : ce souci extraordinaire que l'on avait d'assurer une correction logique inattaquable, par des formes précises. Voici, en effet, une conséquence immédiate de cette préoccupation : on élaguait tout ce qui eût pu faciliter l'abord des questions, en permettre l'aperçu d'un simple coup d'œil, ou rendre plus clair

le l)ut de chaque opération. Longtemps, sans doute, l'intelligence de ce que recelaient ces formes, sous leur précision, se maintint jusqu'à un certain point : on apprit même à les imiter en partie; mais, en y dépensant toute son énergie, sans embrasser l'ensemble par une compréhension plus générale, on en restait fatalement à s'intéresser à ces formes et à s'approprier le plus simple de leur contenu, tandis que, d'un autre côté, l'admiration de ces formes mêmes prêtait à ce qu'elles exprimaient un tel caractère de perfection que cela dut décourager des travaux personnels. Au début, du moins, les résultats de ces travaux n'eussent effectivement revêtu qu'une forme infiniment moins parfaite.

Un autre inconvénient tenait à la forme géométrique qu'avaient affectée l'Algèbre et la science des grandeurs, en général, pour l'exécution d'opérations algébriques. Assurément cette forme géométrique ne le cédait, ni en clarté, ni en commodité pratique, au langage algébrique moderne, autant qu'un lecteur moderne pourrait peut-être le supposer : quiconque est familiarisé avec ce genre de représentation, et connaît la signification des figures, peut les transposer pour opérer avec elles, aussi facilement que l'on transpose et que l'on assemble aujoiud'bui les expressions littérales; il peut, en outre, en montrant ces figures, faire comprendre oralement à ses élèves les opérations effectuées. Et, en temps de paix, aussi longtemps que l'enseignement verbal se développait à Alexandrie, il en résulta que l'intelligence mathématique put parfaitement se maintenir; mais, sitôt que la paix eut été troublée, et que se perdit la tradition conservée par cet enseignement, on n'eut plus alors d'autre recours que l'étude d'Ouvrages méticuleusemenl élaborés — et l'on régressa fatalement d'une manière sensible. Car la représentation géométrique de l'Algèbre est d'une lecture difficile, ce que l'on conçoit parfaitement en songeant que le texte et la figure interviennent chacun pour soi et que, de la sorte, il les faut étudier en allant sans cesse de l'un à l'autre.

A ces défauts, concernant principalement la forme, s'en ajoutait encore un autre que nous eûmes souvent l'occasion de mentionner déjà et qui, lui, est réellement relatif au fond même : les mathématiciens crées avaient une

AIUTIIMf;TIQLE GRECQUK PIAS HÉCKISTK : DIOl'IlANTi:. 2o3

si haute idée de leur dignité scicntilique qu'ils excluaient de leurs œuvres classiques tout ce qui ne leur semblait pas parfaitement rigoureux. En conséquence, comme nous l'avons vu à propos de l'exlraction de la racine carrée, de véritables calculs numériques, qui ne peuvent régulièrement fournir qu'une approximation, étaient écartés, et renvoyés à une science moins estimée, la logistique; on omettait ainsi du même coup les applications pratiques et cependant, plus lard, quand on en vint à moins considérer la valeur de la science en elle-même, ces résultats eussent pu communiquer des impulsions nouvelles aux mathématiciens, et tenir en éveil le goùl scientifique.

Cette négligence des Mathématiques appliquées devait entraîner des conséquences nuisibles : elles apparaissent plus nettement en les mettant vis-à-vis des conséquences avantageuses qui, pour certaines branches, allaient résulter de la méthode opposée. Nous venons de voir, en efl'et, que la Géométrie calculante dut son développement à ses propres applications à l'Astronomie, cependant que tout s'arrêtait encore par ailleurs et, en même temps, ce développement persistant permit de réaliser d'importants progrès dans l'exécution des calculs pratiques : il s'ensuivit une connaissance familière des nombres, qui contribua certainement à porter l'Arithmétique aussi loin que nous la voyons poussée chez Diophanle, c'està-dire bien au delà du point atteint par les mathématiciens grecs antérieurs.