Arithmétique grecque plus récente : Diophante

Nous avons déjà rencontré, dans les Livres d'Euclide (Livres 7-9), le fondement scientifique général fie l'Arithmétique grecque : sans doute, ce début n'a ni la largeur, ni la fermeté scientifique de la base sur laquelle, dans ses autres Livres, il établit la Géométrie et, sous forme géométrique, la théorie générale des grandeurs; toutefois, c'est encore la même généralité de forme. Ainsi, bien qu'il s'agisse de nombres, les propositions ne sont point expliquées par des exemples numériques, et, cependant, de tels exemples avaient dû servir pour constituer la théorie générale : c'est ainsi

2o4 LES MATHÉMATIQUES GRECQUES.

(lue déjà les Pythagoriciens connaissaient certainement de:^ exemples de nombres dits parfaits.

De même, en esquissant l'Arithmétique géométrique, nous avons parlé de diverses autres formes numériques, telles que les nombres polygonaux, dont on s'occupa de bonne heure; et, pour calculer pareils nombres, il fallut nécessairement,, dans les premiers temps, se livrer tout d'abord à des études pratiques.

Enfin nous avons vu que, dans la théorie des nombres^ l'attention avait été attirée par toute une classe de recherches qui concernaient Tapplicalion des solutions générales des équations du second degré aux équations numériques : on étudia les conditions pour que des compositions de nombres aboutissent à des solutions rationnelles des équations quadratiques, c'est-à-dire les conditions voulues pour que certaines figurations numériques soient des carrés — et, à cet effet, on traita les équations que nous appelons aujourd'hui équations indétenniiiées du deuxième degré.

Nous avons dit. aussi, que ces équations s'emploient dans l'extraction approximative de la racine carrée de certains nombres déterminés, tels que 2; on ne rencontre cependant que des exemples isolés de pareilles équations dans les Mathématiques grecques antérieures, mais nous croyons néanmoins devoir les mentionner ici d'une façon spéciale, parce que nous verrons, bientôt, qu'elles furent le point de départ d'une direction dans laquelle, par la suite, les Grecs poussèrent beaucoup plus avant. En effet, d'abord éveillé par le souci d'aboutir à des solutions rationnelles, l'intérêt se porta plus tard sur les équations indéterminées, elles-mêmes.

Durant la période Alexandrine, on poursuivit des études pratiques sur certaines classes de nombres entiers : il nous en est fourni une preuve avec Ératosthène et la manière dont il comptait les premiers nombres premiers à l'aide de la méthode dite crible d' Ératosthène (cribrum Eratosthenis) ; on écrit d'abord intégralement la suite des nombres jusqu'au point où l'on veut arrêter l'investi galion, puis on barre chaque deuxième nombre à partir de 4, cliaque troisième à partir de 6, chaque cinquième à partir de 10, etc. — Les nombres qui restent, passés pour ainsi dire au crible, sont les nombres premiers.

AUninifiTIOl F. (JUKCQllv PUS Hf'CE.NTE : rHOPIIAME. 200

C'eslpeiit-ètroà tort, il est vrai, que l'on atlrihiieà Aichimèdc (III problème arithmétif|ue assez compliqué sur les bœufs du Soleil, mais, en revanche, nous l'avons vu exécuter une autre (lélerminalion numérif|U(! théorique, celle de la somme des premiers nombres carrés : les sommes ainsi formées nous lournissent un exein|)l<' de ces nombres pyramidaux dont il lut question dans rViitlimélique géométrif|ue; elles donnent en etïet les nombres (jui correspondent à une pyramide à base carrée — puis, avec ceux-ci, on peut calculer sans difficulté tous les autres nombres pyramidaux.

Ainsi donc, lorsqu'il nous apprend la connaissance qu'avaient les Anciens sur les nombres figurés, non seulement en ce qui concerne les nombres polygonaux, mais encore les nombres pyramidaux, Nicomaque pouvait efTectivement s'apimyer sur des résultats qui dataient des grands mathématiciens. D'ailleurs, outre la théorie particulière de ces nombres, on rencontre chez lui une observation qui constitue une suite i\u théorème, déjà connu des Pythagoriciens, sur la formation des nombres carrés au moyen des sommes des premiers nombres impairs : tout nombre cubique peut également se représenter comme une somme de nombres impairs consécutifs.

Toutefois, le théorème général exprimé par la formule

ne paraît pas entièrement avoir été connu de Nicomaque. Un écrivain romain beaucoup plu^ récent nous apprend encore que l'on savait, dans l'anlicpiité, additionner les premiers nombres cubiques, en d'autres termes que Ion possédait la formule

Ce résultat peut avoir été déduit de celui qui est mentionné plusbaut ; cependant, chez un écrivain arabe, on en trouve une démonstration qui, par sa forme géométrique, trahit une origine grecque : elle pourrait bien alors avoir conduit, simultanément, au théorème de Nicomaque et à la sommation des nombres cubiques. Cette démonstration se rend de la façon

suivante en langage algébrique actuel :

/^ ( /? ^- I ) il [H — i) r= n -H n = /r ;

la différence entre les deux carrés se représente à la manière grecque par un gnomon, qui consiste ici dans les deux rectangles

et

it(n — \)

Jusque vers l'an 3oo (ap. J.-C.) il n'y eut, malgré louî, que d'éparses contribiilions à un développement de l'Arithmélique telle qu'elle était déjà connue aux meilleurs temps de la Géométrie grecque et, de plus, nous ignorons à quelle date fut connu ce qui nous est rapporté : c'est seulement chez Diophante d'Alexandrie que nous rencontrons quelque innovation d'un intérêt général assez grand, et son Ouvrage d'Arithmétique, que nous possédons, montre les Mathématiques grecques par des côtés dont nous n'avions encore qu'une notion rudimentaire et obscure par les écrits conservés des mathématiciens antérieurs. Sans doute, le fondement théorique de cet Ouvrage est le même que dans Euclide, et le but des intéressantes recherches de Diophante est toujours, comme nous l'avons déjà dit à propos de ses prédécesseurs, d'éviter les quantités irrationnelles; mais ces éludes ont cliez lui, cependant, une ampleur inconnue jusqu'alors : elles lui permettent d'établir des exemples pour des problèmes déterminés qui, sous des formes très variables, aboutissent à des équations avec solutions rationnelles, et, en particulier, de poser de nombreux problèmes indéterminés aux([uels il s'agit toujours de trouver des solutions rationnelles.

Entre lui elles modes des expositions antérieures qui nous ont été transmises, il existe en outre cette grande différence : il ne s'occupe que de problèmes numéricpies spéciaux et n'utilise, pour les résoudre, que des opérations purement